Mateusz Franckowiak	Fizyka metali – laboratorium	14.06.2013
Rok 1 magisterski Odlewnictwo 1	Wyznaczanie modułu sztywności metodą wahadła torsyjnego	Ocena:
L 6

1. Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z metodą wyznaczenia modułu sztywności dla metali i stopów, metodą wahadła torsyjnego.

1. Wstęp teoretyczny

Odkształcenie sprężyste - odkształcenie, które ustępuje po usunięciu siły, która je spowodowała. Siła, która powoduje, że odkształcenie jest sprężystym nosi nazwę siły sprężystości. Odkształcenie sprężyste metali zachodzi poprzez przemieszczanie się atomów na odległości nie większe niż odległości sieciowe, dzięki czemu nie następują zasadnicze zmiany w ułożeniu atomów w sieci.

Oscylator harmoniczny - model teoretyczny w naukach ścisłych opisujący układ w parabolicznym potencjale — potencjał oscylatora harmonicznego, bądź krócej potencjał harmoniczny, czyli kwadratowa zależność potencjału od odległości , gdzie r jest odległością w N-wymiarowej przestrzeni, N zależy od konkretnej realizacji modelu. Ze względu na skalę modelowanych zjawisk wyróżnia się klasyczny oscylator harmoniczny oraz kwantowy oscylator harmoniczny.

Sprężystość – właściwość fizyczna ciał odzyskiwania pierwotnego kształtu i wymiarów po usunięciu sił zewnętrznych wywołujących zniekształcenie – czyli zmianie tensora naprężeń towarzyszy zmiana tensora odkształceń i odwrotnie, przy czym zmiany te są w pełni odwracalne. Istotną cechą sprężystości jest zachowanie energii.

Ścinanie – odkształcenie ciała spowodowane naprężeniem stycznym do jego powierzchni. W wytrzymałości materiałów, ścinanie traktuje się również jako stan obciążenia spowodowany takimi naprężeniami. Naprężenie styczne do powierzchni ciała nazywane jest naprężeniem ścinającym.

Ściskanie osiowe - w wytrzymałości materiałów definiujemy dwa podstawowe przypadki ściskania osiowego:

• Ściskanie czyste pręta, w którym do ścianek poprzecznych jednorodnego i izotropowego pręta pryzmatycznego przyłożone jest obciążenie o stałej gęstości o zwrocie przeciwnym do wektora normalnego powierzchni ścianki poprzecznej (prostopadłym do ścianki, skierowanym do wewnątrz). Dla tego przypadku wytrzymałościowego znane jest rzeczywiste rozwiązanie zagadnienia brzegowego liniowej teorii sprężystości.

• Ściskanie proste pręta, które różni się od ściskania "czystego" tym, że obciążenie zastępujemy dwójką przeciwnie skierowanych, równych co do wartości i współliniowych sił skupionych, działających w osi tego pręta. Analityczne rozwiązanie tego przypadku jest praktycznie niemożliwe, dlatego stosujemy zgodnie z zasadą de Saint-Venanta rozwiązanie zagadnienia czystego ściskania przyjmując, że

gdzie A oznacza pole przekroju poprzecznego pręta.

Rozciąganie osiowe - w wytrzymałości materiałów definiujemy dwa podstawowe przypadki rozciągania osiowego:

• Rozciąganie czyste pręta, w którym do ścianek poprzecznych jednorodnego i izotropowego pręta pryzmatycznego przyłożone jest obciążenie o stałej gęstości o zwrocie zgodnym z wektorem normalnym powierzchni ścianki poprzecznej (prostopadłym do ścianki, skierowanym na zewnątrz). Dla tego przypadku wytrzymałościowego znane jest rzeczywiste rozwiązanie zagadnienia brzegowego liniowej teorii sprężystości.

• Rozciąganie proste pręta, które różni się od rozciągania "czystego" tym, że obciążenie zastępujemy dwójką przeciwnie skierowanych, równych co do wartości i współliniowych sił skupionych, działających w osi tego pręta. Analityczne rozwiązanie tego przypadku jest praktycznie niemożliwe, dlatego stosujemy zgodnie z zasadą de Saint-Venanta rozwiązanie zagadnienia czystego rozciągania przyjmując, że

gdzie A oznacza pole przekroju poprzecznego pręta.

Prawo Hooke’a – prawo mechaniki określające zależność odkształcenia od naprężenia. Głosi ono, że odkształcenie ciała pod wpływem działającej na nie siły jest wprost proporcjonalne do tej siły. Współczynnik między siłą a odkształceniem jest często nazywany współczynnikiem (modułem) sprężystości.

Najprostszym przykładem zastosowania prawa Hooke’a jest rozciąganie statyczne pręta. Bezwzględne wydłużenie takiego pręta jest wprost proporcjonalne do siły przyłożonej do pręta, do jego długości i odwrotnie proporcjonalne do pola przekroju poprzecznego pręta. Współczynnikiem proporcjonalności jest moduł Younga E.

gdzie:

F – siła rozciągająca, S – pole przekroju, Δl – wydłużenie pręta, l – długość początkowa.

Moduł Younga - wielkość określająca sprężystość materiału. Wyraża ona, charakterystyczną dla danego materiału, zależność względnego odkształcenia liniowego ε materiału od naprężenia σ, jakie w nim występuje w zakresie odkształceń sprężystych.

Jednostką modułu Younga jest paskal, czyli N/m².

Moduł Kirchhoffa - współczynnik uzależniający odkształcenie postaciowe materiału od naprężenia, jakie w nim występuje. Jednostką modułu Kirchhoffa jest paskal. Jest to wielkość określająca sprężystość materiału.

gdzie τ - naprężenia ścinające, γ - odkształcenie postaciowe

Moduł Kirchhoffa dla materiałów izotropowych bezpośrednio zależy od modułu Younga i współczynnika Poissona:

gdzie υ - współczynnik Poissona, E - moduł Younga

Wahadło – ciało zawieszone lub zamocowane ponad swoim środkiem ciężkości wykonujące w pionowej płaszczyźnie drgania pod wpływem siły grawitacji. W teorii mechaniki rozróżnia się dwa podstawowe rodzaje wahadeł:

• matematyczne

• fizyczne

W wahadle matematycznym poruszające się ciało jest punktem materialnym, zawieszonym na nieważkiej, nierozciągliwej nici o długościl. Ruch ciała ograniczony nicią jest ruchem po okręgu. Równanie ruchu wahadła określa wzór:

Wahadło fizyczne

Bryła sztywna, która może wykonywać obroty dookoła poziomej osi przechodzącej ponad środkiem ciężkości tej bryły.

Wzór na okres drgań wahadła fizycznego dla małych wychyleń:

Przez analogię do wahadła matematycznego wzór ten zapisuje się jako:

wprowadzając wielkość długość zredukowana wahadła

gdzie:

d - odległość od punktu zawieszenia do środka ciężkości, g - przyspieszenie ziemskie, I - moment bezwładności ciała względem osi obrotu, m - masa ciała.

Moment bezwładności – miara bezwładności ciała w ruchu obrotowym względem określonej, ustalonej osi obrotu. Im większy moment, tym trudniej zmienić ruch obrotowy ciała, np. rozkręcić dane ciało lub zmniejszyć jego prędkość kątową. Moment bezwładności odgrywa prawie taką samą rolę w dynamice ruchu obrotowego jak masa w dynamice ruchu postępowego, opisując relacje między momentem pędu, energią kinetyczną a prędkością kątową jak masa między pędem, energią kinetyczną a prędkością. Moment bezwładności zależy od osi obrotu ciała, a w ogólnym przypadku jest tensorem.

gdzie:  – masa punktu,  – odległość punktu od osi obrotu,  - prędkość kątowa.

1. Przebieg ćwiczenia

Podczas zajęć laboratoryjnych, wyznaczenie modułu sztywności przeprowadzono za pomocą wahadła torsyjnego (rys.1.)

Rys.1. Wahadło torsyjne

Badaniu poddano próbkę pręt stalowy i przeprowadzono je zgodnie z wytycznymi zawartymi w instrukcji do przeprowadzenia laboratorium. Uzyskane wartości umieszczono w tabeli 1.

Tabela 1.

Badany materiał	m [kg]	R [m]	r [m]	L [m]	t [s]	N [cykl]	Tn[s/cykl]
stal	2,1	0,13	0,001	0,85	300	160	1,875

gdzie: t – czas drgań wahadła, N – liczba cykli, m – masa wahadła, R – promień krążka, L – długość pręta, r – promień pręta.

Moduł sztywności wyliczono ze wzoru:

$$G = \frac{4\pi mR^{2}L}{r^{4}T_{n}^{2}}$$

$$G = \frac{4\pi*2,1*{0,13}^{2}*0,85}{{0,001}^{4}*{1,875}^{2}} = 107,8\ \lbrack GPa\rbrack$$

1. Wnioski

Na podstawie przeprowadzonych badań można sformułować następujące wnioski:

1. Przy użyciu wahadła torsyjnego możliwe jest w prosty sposób określenie modułu sztywności badanego stopu.

2. Metoda jest bardziej dokładna, gdy przyjmie się dłuższy czas pomiaru, a co za tym idzie zwiększy się liczba cykli wahadła.

3. Wadą tej metody jest ograniczenie co do wielkości badanej próbki (dla odlewu potrzeba by próbki o długości kilku pięter, aby ramię, a tym samym i moment siły pozostał stały mimo skręcania się dolnego końca pręta).