1. Co to jest statystyka

Statystka zajmuje się metodami opisu i analizy liczbowych prawidłowości występujących w tzw. Populacjach statystycznych tj. w zbiorowościach elementów zróżnicowanych ze względu na badane cechy.

1. Rodzaje cech statystycznych

Każda jednostka statystyczna charakteryzuje się odpowiednimi właściwościami, które nazywamy cechami statystycznymi.

Dzielimy je na stałe i zmienne:

Cechy stałe - określają jednostki pod względem rzeczowym (co?) czasowym (kiedy?), przestrzennym (gdzie?) nie podlegają one badaniom ale decydują o zaliczeniu danej jednostki do określonej zbiorowości.

Cechy zmienne – podlegają badaniom statystycznym dzielimy je na jakościowe (niemierzalne) i ilościowe ( mierzalne)

1. Rodzaje skal

- Jakościowa –niemierzalna ( nominalna)- operacje arytmetyczne niedozwolone np. pochodzenie społeczne, płeć

- porządkowa – qesi – ilościową (niemierzalna) – operacje arytmetyczne niedozwolone

- przedziałowa (mierzalna) zwana również interwałową – operacje arytmetyczne dozwolone określane za pomocą liczb o różnych miarach np. wzrost w cm

- ilorazowa (mierzalna) należy do skal porządkowych znaczenie ma nie tylko odległość ale również iloraz odległości

4. Kiedy badania są statystyczne

Aby badanie było statystyczne musi spełnić warunki:

- musi dotyczyć zbiorowości (masy) statystycznej

- musi określać prawidłowości charakteryzujące całą zbiorowość ( nie zaś opisywać własności poszczególnych jednostek)

- prawidłowości muszą dotyczyć zmiennych cech w tej zbiorowości

5. Metoda badań reprezentacyjnych

Oparta jest na próbie pobranej ze zbiorowości generalnej w sposób losowy zgodnie z odpowiednim schematem losowania umożliwia ta otrzymanie prób reprezentacyjnych stanowiących jakby miniaturkę populacji

6. interpolacja i ekstrapolacja

- interpolacja to szacowanie nieznanych wartości cechy na podstawie znanych wartości sąsiednich (późniejszych i wcześniejszych)

- ekstrapolacja to szacowanie wartości wykraczających poza przedział wartości znanych

7. Na ile sposobów można wyrzucić 8 kostek

8. Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania danej karty w brydżu

$$C_{1\ }^{1}\text{x\ }C_{12}^{51} = \left( \frac{1}{1} \right)x\left( \frac{51}{12} \right) = \frac{1!}{0!x1!}x\frac{51!}{39!x12!}$$

Inna wersja tego samego zadania

Na ile sposobów brydżysta otrzyma swoje karty

$$C_{52}^{13} = \left( \frac{52}{13} \right) = \frac{52!}{\left( 52 - 13 \right)!x13!}$$

Na ile sposobów brydżysta nie otrzyma konkretnej karty

$$C_{0}^{1}xC_{13}^{51} = \left( \frac{1}{0} \right)x\left( \frac{51}{13} \right) = \frac{1!}{1!x1!}x\frac{51!}{38!x13!}$$

9. Oblicz średnią arytmetyczną i wariancję z danego szeregu

Średnia – dodajemy liczby do siebie otrzymaną sumę dzielimy przez ilość liczb

Wariancja – wzór na wariancję x² - x²

Np. ()²

5 25

6 36

5 25

4 16

5 25

6 36

Średnia= 31/6 = 5$\ \frac{1}{\ 6}$

${\overset{\overline{}}{x}}^{2} = \left( 5\frac{1}{6} \right)$ ² Średnia do kwadratu

${\overset{\overline{}}{x}}^{2}$=$\ \frac{163}{6}$ Średnia z kwadratów tych liczb

10. Co to jest dystrybuanta

Dystrybuanta to funkcja mierzalna o wartości w (0,1) przynajmniej prawostronnie ( lewostronnie w przypadku definicji z nierównością ostrą) ciągła niemalejąca, której granica przy argumentach dążących do plus nieskończoności wynosi 1, zaś przy argumentach dążących do minus nieskończoności 0.

11. Etapy badań statystycznych

- przygotowanie (programowanie) badania

- obserwacja statystyczna

- opracowanie i prezentacja materiału statystycznego

- opis lub wnioskowanie statystyczne

12. Rodzaje błędów statystycznych

- systematyczne (tendencyjne) – wynikają z jednokierunkowej tendencji do zniekształcania badanej rzeczywistości

- niesystematyczne (przypadkowe) są popełniane z nieuwagi, nieumiejętności bądź ze zwykłego niedbalstwa

13. Co to jest szereg rozdzielczy

Szereg rozdzielczy jest statystycznym sposobem prezentacji rozkładu empirycznego. Uzyskuje się go dzieląc dane statystyczne na pewne kategorie i podając liczebność zbiorów danych przypadających na każdą z tych kategorii

14. Klasyfikacja szeregów statystycznych

Dzielimy na: szeregi szczegółowe (zawierają wszystkie wyniki uzyskane z obserwacji), szeregi rozdzielcze (szeregi cech mierzalnych i niemierzalnych), szeregi przestrzenne , szeregi czasowe ( szeregi momentów i okresów). Szeregi można przedstawić niemalejąco (rosnący lub stały) lub nierosnąco

15. Parametry statystyczne – wymienić

Lub charakterystyki statystyki s a to liczby służące do syntetycznego opisu struktury zbiorowości statystycznej

Dzielimy na :

- miary położenia – średnie, przeciętne

- miary zmienności – rozproszenia, dyspersji

- miary asymetrii

- miary koncentracji

Ważne w analizach są parametry miary położenia i zmienności znajomość rozkładu cechy (jej obraz graficzny) pozwala przy tym na dobór odpowiednich parametrów z tych grup

16. Co to jest rozkład normalny

Rozkład normalny, zwany też rozkładem Gaussa, lub krzywą dzwonową, jest jednym z najważniejszych rozkładów prawdopodobieństwa. Odgrywa ważną rolę w statystycznym opisie zagadnień przyrodniczych, przemysłowych, medycznych, socjalnych itp.

17. Miary zmienności rodzaju

- klasyczne ( wariancja, odch. Standardowe, odch. Przeciętne, współczynnik zmienności)

- pozycyjne ( rozstęp , odch. Ćwiartkowe, współczynnik zmienności)

18. Dokonać rangowania danego szeregu

- wynik należy ułożyć od najmniejszego do największego

- każdemu wynikowi nadajemy wartość olejnej liczby naturalnej zaczynając od jednostki

- określamy tzw. Rangi wiązane z tymi samymi wynikami

- rangom wiązanym nadajemy średnią arytmetyczną

19. Wyznaczyć dominantę z szeregu

- wyznaczamy poprzez wskazanie wartości najczęściej występującej w szeregu

D= x_D +$\ \frac{\left( n_{D} - n_{D - 1} \right)\ x\ x_{D}\ }{\left( n_{D} - n_{D - 1} \right) + \left( n_{D} - n_{D + 1} \right)}$

20. Wyznaczyć medianę z szeregu

Mediana (zwana też wartością środkową lub drugim kwartylem ) to w statystyce wartość cechy w szeregu uporządkowanym, powyżej i poniżej której znajduje się jednakowa liczba obserwacji. Mediana jest kwartylem rzędu ½ . mediana to taka wartość która dzieli nam zbiór na pół.

Liczebność nieparzysta

$$M_{c} = \frac{x_{N + 1}}{2}$$

Liczebność nieparzysta

$$M_{c} = \ \frac{x_{\frac{\text{\ N\ }}{2}} + x_{\frac{N}{2} + 1}}{2}$$

21. Minimum to -0 kwartyl, 0 decybel, 0 centyl

Kwantyle rzędu ¼, ½, ¾ są inaczej nazywane kwartynami

Kwantyle rzędu 1/10, 2/10 , …,9/10 to inaczej decyle

Kwantyle rzędu 1/100, 2/100,…, 99/100 to inaczej precentyle

22. Mediana to II kwanty, decybel, 50 centyl

23. Obliczyć rozstęp z szeregu

Empiryczny obszar zmienności różnica między wynikiem minimalnym a maksymalnym

Funkcja max – funkcja min

24. Jak na piechotę obliczyć wariancję

- obliczyć średnia arytmetyczną

- dal każdego wyniku obliczyć różnice pomiędzy nim a średnią

- różnice te podnieść do kwadratu

Wariancja – wzór na wariancję x² - x²

Np. ()²

7 25

8 36

6 25

7 16

8 25

9 36

1

Średnia= 31/6 = 5 ---

6

${\overset{\overline{}}{x}}^{2} = \left( 5\frac{1}{6} \right)$ ² Średnia do kwadratu

${\overset{\overline{}}{x}}^{2}$=$\ \frac{163}{6}$ Średnia z kwadratów tych liczb

25. Jaka jest różnica między wariancją a wariacją

Wariancja to miara zmienności. Ukazuje stopień zróżnicowania jednostek zbiorowości pod kątem badanej cechy. Jest średnią arytmetyczną kwadratów odchyleń poszczególnych wartości cechy od średniej arytmetycznej zbiorowości

Wariacją bez powtórzeń k – wyrazową zbioru n- elementowego A(k≤n) nazywa się każdy k- wyrazowy ciąg k różnych elementów tego zbioru, przy czym kolejność tych elementów ma znaczenie. Gdy k=n, wariację bez powtórzeń nazywa się permutacją.

Wariacją z powtórzeniami k – wyrazową zbioru n – elementowego A nazywa się każdy k – wyrazowy ciąg elementów tego zbioru ( dowolny element może wystąpić wielokrotnie w ciągu).

26. Wariancja dla małej i dużej grupy

To średnia arytmetyczna kwadratów odchyleń poszczególnych wartości cechy od średniej arytmetycznej zbiorowości ( populacji)

Dla n > 30 ( duża próba )

$\sigma^{2} = \frac{1}{n}\ \sum_{i = 1}^{n}{(x_{i}} - \overset{\overline{}}{x)}$²

Dla n < 30 ( mała próba)

$S^{2} = \frac{1}{n - 1}\ \sum_{i = 1}^{n}{(x_{i}} - \overset{\overline{}}{x)}$²

27. Czy odchylenie standardowe to pierwiastek z wariancji

Tak

Odch. Standardowe – klasyczna miara zmienności, obok średniej arytmetycznej najczęściej stosowane pojęcie statystyczne. Odch. Standardowe wartości cechy w populacji oznaczamy tradycyjnie przez σ ( małe greckie sigma) i definiujemy jako pierwiastek kwadratowy wariancji.

$$\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i - 1}^{N}{(x_{\text{i\ \ }} - \ \mu)^{2}}}{N}}$$

x_i - to kolejne wartości cechy populacji

μ - to wartość oczekiwana

N – to liczba elementów w populacji

27. Co to jest odchylenie przeciętne

Odchylenie przeciętne D to średnia arytmetyczna bezwzględnych wartości cechy od jej średniej arytmetycznej

$d = \frac{1}{\text{n\ \ }}\sum_{i = 1}^{n}\left| x_{1} - \overset{\overline{}}{x}\ \right|$

Odchylenie bezwzględne jest wykorzystywane jako miara zróżnicowania rozkładu. Ponieważ wykorzystuje wartość wszystkich elementów w zbiorze, jest miarą klasyczną.

28. Klasyczne współczynniki zmienności

Współczynnik zmienności to iloraz odchylenia standardowego lub średniego i wartości średniej

V = $\frac{s}{\overset{\overline{}}{x}}$

S - to odchylenie standardowe z próby

$\overset{\overline{}}{x}$ - to średnia arytmetyczna z próby

29. Miary asymetrii – rodzaje

- wskaźnik asymetrii

- współczynnik skośności

- współczynnik asymetrii

30. Jaka funkcja Excela odpowiada dominancie

- występuje najczęściej

31. Jaka funkcja w Excelu odpowiada odch standardowemu populacji

Odchylenie średnie

32. Wskaźnik asymetrii

$$Ws = \overset{\overline{}}{x} - \ Mo$$

Wskaźnik asymetrii (znany również miernikiem skośności) dla szeregu symetrycznego jest równy zero. W szeregach asymetrycznych miernik skośności może być większy lub mniejszy od zera, mówimy wówczas o asymetrii prawostronnej (dodatniej) lub asymetrii lewostronnej (ujemnej). W szeregu o skośności prawostronnej wartości skrajne położone są z prawej strony średniej. Powoduje to przesunięcie średniej arytmetycznej w kierunku prawym w stosunku do dominanty i mediany. W szeregu o skośności lewostronnej występuje sytuacja odwrotna.

33. współczynnik asymetrii

Współczynnik asymetrii to iloraz trzeciego momentu centralnego przez trzecią potęgę odchylenia standardowego:

A= $\frac{M_{3}}{S^{3}}$

34. Co to jest kurtoza

Kurtoza jest miarą koncentracji oznaczamy ją literą A funkcja (kurtoza)

K= $\frac{m_{4}}{s^{4}}$ – 3

35. Pozycyjny współczynnik zmienności

Współczynnik zmienności to klasyczna miara zróżnicowania rozkładu cechy. W odróżnieniu od odchylenia standardowego, które określa bezwzględne zróżnicowanie cechy, współczynnik jest miarą względną, czyli zależną od wielkości średniej arytmetycznej. Definiowany jest wzorem:

V = $\frac{s}{\overset{\overline{}}{x}}$

S - to odchylenie standardowe z próby

$\overset{\overline{}}{x}$ - to średnia arytmetyczna z próby

Wartości z próby mogą zostać zastąpione przez odpowiednie wartości z populacji: odchylenie standardowe(σ) i wartość oczekiwana (μ). Współczynnik wielkości zazwyczaj podaje się w procesach.

Współczynnik zmienności jest stosowany najczęściej przy porównywaniu zróżnicowania cechy w dwóch różnych rozkładach.

36. Oblicz prawdopodobieństwo wyrzucenia trójki kostką

A=3

n=1

N=6

P(A) =1/6=0,1666666

37. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania dwóch asów

Kombinacje dwuelementowe ze zbioru 52 – u elementowego

$C_{2}^{52} = \left( \frac{52}{2} \right) = \frac{52!}{2!x50!} = \frac{2652}{2}$ = 1326

Kombinacje dwuelementowe ze zbioru 4-o elementowego

$$C_{2}^{4} = \left( \frac{4}{2} \right) = \frac{4!}{2!x2!} = \frac{12}{2} = 6$$

P(A)=$\ \frac{6}{1326}$

Test

1. Podać definicję statystyki matematycznej

Statystyka matematyczna zajmuje się metodami wnioskowania statystycznego, które polegają na tym, że na podstawie wyników uzyskanych z próby formułujemy wnioski o całej zbiorowości. Wnioskowanie statystyczne obejmuje estymacje i weryfikację hipotez statystycznych. To dział statystyki, używający teorii prawdopodobieństwa i innych działów matematyki do rozwijania statystyki z czysto matematycznego punktu widzenia.

1. Czy coroczne spisy rolne to badania statystyczne

Tak

1. Podać metody badań statystycznych

- badania pełne , badania częściowe, monograficzne, reprezentacyjne, ankietowe , interpolacja, ekstrapolacja,

Jeśli rozpatrujemy prawdopodobieństwo zdarzenia które zachodzi po zajściu poprzedzającego go zdarzenia (np. wylosowanie kuli białej za drugim razem – jeśli z pierwszym razem wylosowaliśmy kulą czarną) to mamy do czynienia z prawd.

– zdarzenia warunkowego

5. Cechy stałe określają jednostki ( a tym samym i zbiorowość) pod względem :

Rzeczowym, czasowym, przestrzennym i nie podlegają ocenie.

5. Na jakich typach badań opiera się głównie statystyka :

Oraz które cechy statystyczne podlegają ocenie: zmienne – jakościowe (niemierzalne), ilościowe (mierzalne)

5. Wymienić rodzaje skal podkreślając te , na których można przeprowadzić operacje arytmetyczne:

Skala oceny, przedziałowa, ilościowa, jakościowa, nominalna, porządkowa, przedziałowa

5. Wybór odpowiedniej jednostki statystycznej zależy przede wszystkim od:

Celu badania

5. Aby określone badanie można było uznać za statystyczne musi ono spełniać następujące warunki:

1. Musi dotyczyć zbiorowości statystycznej

2. Musi określać prawidłowości charakteryzujące całą zbiorowość

3. Wykryte prawidłowości muszą dotyczyć zmiennych cech w tej zbiorowości.

5. Wyjaśnić czym różni się szacunek interpolacyjny od ekstrapolacyjnego:

- interpolacja to szacowanie nieznanych wartości cechy na podstawie znanych wartości sąsiednich (późniejszych i wcześniejszych)

- ekstrapolacja to szacowanie wartości wykraczających poza przedział wartości znanych

5. Losowość doboru próby polegająca na wyborze poszczególnych elementów zbiorowości statystycznej beztendencyjnie zgodnie z odpowiednimi schematami losowania.

6. Wymienić etapy badania statystycznego ( w logicznej kolejności)

- przygotowanie (programowanie) badania

- obserwacja statystyczna

- opracowanie i prezentacja materiału statystycznego

- opis lub wnioskowanie statystyczne

5. Jakie błędy można popełnić w trakcie obserwacji statystycznej

Systematyczne wynikające z jednokierunkowej tendencji do zniekształcenia badanej rzeczywistości.

Niesystematyczne są popełnione z nieuwagi , nieumiejętności bądź ze zwykłego niedbalstwa

5. Wymienić rodzaje wykresów statystycznych

Graficzny, dynamiczny, korelacyjny

5. Częściowe badania reprezentacyjne, których dokładność zależy głównie od zdobycia informacji o danej zbiorowości wymagają spełnienia przez nią określonych postulatów, z których najważniejszy jest szacunek statystyczny.

6. Wybór metody badań statystycznych jest uzależniony od:

Celu badania, rodzaju zbiorowości statystycznej, tematu badania, jego szczegółowości, środków jakimi dysponujemy.

5. Wśród metod badania pełnego wyróżniamy

Ciągłe, okresowe, doraźne.