Dane do zadania:

Nr indeksu: 52070

Wysokość reperów stałych

A- 88,427[m]

B- 89,345[m]

C- 86,433[m]

Pomierzone różnice wysokości:

Nr.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
H [m]	0,391	0,474	0,799	1,774	0,08	1,38	1,38	0,71	0,817	2,195
L[km]	3,7	7,9	5,3	6,2	6	5,6	6,5	3,93	3,6	4,8

Równania obserwacji

Δh₁+v₁=P₁-A

Δh₂+v₂=P₁-P₂

Δh₃+v₃=B-P₂

Δh₄+v₄=P₁-P₄

Δh₅+v₅=P₃-P₂

Δh₆+v₆=A-P₄

Δh₇+v₇=P₃-P₄

Δh₈+v₈=B-P₃

Δh₉+v₉=P₄-C

Δh₁₀+v₁₀=P₃-C

Równania niewiadomych

P₁= P₁₀+ΔP₁

P₂= P₂₀+ ΔP₂

P₃= P₃₀+ ΔP₃

P₄= P₄₀+ ΔP₄

Wartości przybliżone niewiadomych

P₁₀=A + Δh₁= 88,818

P₂₀=B-Δh₃= 88,546

P₃₀₌B-Δh₆= 88,635

P₄₀=A- Δh₈=87,047

Równania błędów

V₁= ΔP₁

V₂= ΔP=1_- ΔP₂-0,202

V₃=- ΔP₂

V₄= ΔP₁- ΔP₄-0,003

V₅= ΔP₃- ΔP₂+0,009

V₆=- ΔP₄

V₇ = ΔP₃- ΔP₄+0,208

V₈=- ΔP₃

V₉= ΔP₄-0,203

V₁₀= ΔP₃+0,007

Nadokreślony układ równań liniowych

ΔP₁=0

ΔP₁- ΔP₂-0,202=0

- ΔP₂=0

ΔP₁- ΔP₄-0,003=0

ΔP₃- ΔP₂+0,009=0

- ΔP₄=0

ΔP₃- ΔP₄+0,208=0

- ΔP₃=0

ΔP₄-0,203=0

ΔP₃+0,007=0

Zapis macierzowy

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & - 1 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{bmatrix}$ * $\begin{bmatrix} \Delta P1 \\ \Delta P2 \\ \text{ΔP}3 \\ \Delta P4 \\ \end{bmatrix}$= $\begin{bmatrix} 0 \\ 0,202 \\ 0 \\ 0,003 \\ - 0,009 \\ 0 \\ - 0,208 \\ 0 \\ 0,203 \\ - 0,007 \\ \end{bmatrix}$

Macierz wagowa P

$$\begin{bmatrix} 0,27027 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0,126582 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0,188679 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0,16129 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0,16667 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0,17857 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0,153846 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0,254453 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0,277778 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0,208333 \\ \end{bmatrix}$$

Układ równań normalnych:

(A^T * P * A) * X = A^T*P*L

$\begin{bmatrix} 0,558142 & - 0,126582 & 0 & - 0,16129 \\ - 0,126582 & 0,481921 & - 0,16666 & 0 \\ 0 & - 0,1666 & 1,2396398 & - 0,153845 \\ - 0,16129 & 0 & - 0,153845 & 0,315135 \\ \end{bmatrix}$ - $\begin{bmatrix} \text{ΔP}1 \\ \text{ΔP}2 \\ \text{ΔP}3 \\ \text{ΔP}4 \\ \end{bmatrix}$= $\begin{bmatrix} 0,02605 \\ - 0,04069 \\ 0,021430 \\ 0,03151 \\ \end{bmatrix}$

Odwrotność macierzy równań normalnych:

$$\begin{bmatrix} 2,33218 & 0,70184 & 0,25813 & 1,31965 \\ 0,70184 & 2,39428 & 0,39010 & 0,54965 \\ 0,25813 & 0,39010 & 0,93010 & 0,58710 \\ 1,31965 & 0,54965 & 0,58710 & 4,13527 \\ \end{bmatrix}$$

Wektor niewiadomych X

X = (A^T * P *A)^-1 * A^T * P * L

X=$\begin{bmatrix} 0,009 \\ - 0,001 \\ 0,004 \\ 0,016 \\ \end{bmatrix}$

Wyrównanie niewiadomych:

P₁= P₁₀+ΔP₁=88,818m + 0,009m = 88,827m

P₂= P₂₀+ ΔP₂=88,546m - 0,001m= 88,545m

P₃= P₃₀+ ΔP₃=88,635 + 0,004m= 88,639m

P₄= P₄₀+ ΔP₄=87,047m + 0,016m=87,063m

Wektor poprawek:

V = A * X – L

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & - 1 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{bmatrix}$ *$\begin{bmatrix} 0,009 \\ - 0,001 \\ 0,004 \\ 0,016 \\ \end{bmatrix}$- $\begin{bmatrix} 0 \\ 0,202 \\ 0 \\ 0,003 \\ - 0,009 \\ 0 \\ - 0,208 \\ 0 \\ 0,203 \\ - 0,007 \\ \end{bmatrix}$= $\begin{bmatrix} 0,009 \\ - 0,192 \\ 0,001 \\ - 0,01 \\ 0,014 \\ - 0,004 \\ 0,196 \\ - 0,004 \\ - 0,199 \\ 0,011 \\ \end{bmatrix}$

Kontrola generalna

Strona lewa

Δh₁+v₁=0,391+0,009=0,4

Δh₂+v₂=0,474-0,192=0,282

Δh₃+v₃=0,799+0,001=0,8

Δh₄+v₄=1,774-0,01=1,764

Δh₅+v₅=0,08+0,014=0,094

Δh₆+v₆=1,38-0,004=1,376

Δh₇+v₇=1,38+0,196=1,576

Δh₈+v₈=0,71-0,004=0,706

Δh₉+v₉=0,817-0,199=0,619

Δh₁₀+v₁₀=2,195-0,011=2,206

Strona prawa

P₁-A=88,827-88,427=0,4

P₁-P₂=88,827-88,545=-0,282

B-P₂=89,345-88,545=0,8

P₁-P₄=88,827-87,063=1,764

P₃-P₂=88,639-88,545=0,094

A-P₄=88,427-87,063=1,364

P₃-P₄=88,639-87,063=1,576

B-P₃=89,345-88,639=0,706

P₄-C=87,063-86,433=0,620

P₃-C=88,639-86,433=2,206

Ocena dokładności:

• Błąd średni obserwacji

$mo = \pm \sqrt{\frac{Vt*P*V}{n - k}}$

mo = ±6mm/km

• Błędy średnie niewiadomych

Macierz kowalencyjna Q

Q= (A^T*P*A)^-1 =$\begin{bmatrix} 0,558142 & - 0,126582 & 0 & - 0,16129 \\ - 0,126582 & 0,481921 & - 0,16666 & 0 \\ 0 & - 0,16666 & 1,2396398 & - 0,15384 \\ - 0,16129 & 0 & 0,153845 & 0,3151135 \\ \end{bmatrix}$

Obliczanie błędów średnich

M_p= ± m_o*$\sqrt{Q}$

M_p1 =± 0.1mm

M_p2 =± 0.1mm

M_p3 =± 0.058mm

M_p4 =± 0.13mm