Powierzchnie ograniczone krzywymi

W poprzednich paragrafach zdefiniowaliśmy i podaliśmy metody obliczania pól pod wykresami funkcji. Obecnie uogólnimy nieco osiągnięte rezultaty i użyjemy całek oznaczonych do obliczania pól powierzchni ograniczonych wykresami dwóch funkcji.

Rozważmy obszar S leżący pomiędzy wykresami funkcji y = f (x) oraz y = g(x) oraz pionowymi liniami x = a i x = b, gdzie f i g są funkcjami ciągłymi oraz f (x) g(x) dla x [a, b].

Tak jak poprzednio, podzielmy obszar S na n pasków o równej szerokości, a następnie przybliżmy i-ty pasek prostokątem o podstawie x i wysokości f (x_i^*) - g(x_i^*).

Suma Riemanna

[f (x_i^*) - g(x_i^*)]x

jest przybliżeniem wielkości, którą intuicyjnie rozpoznajemy jako pole powierzchni S. Przybliżenie to staje się bardziej dokładne, gdy n . Możemy wobec tego zdefiniować pole A obszaru S jako granicę sum pól powierzchni przybliżających prostokątów:

A = [f (x_i^*) - g(x_i^*)]x.

Z łatwością potrafimy rozpoznać występującą w powyższym wzorze sumę jako całkę z funkcji f - g. Wobec tego możemy napisać, że pole A obszaru ograniczonego krzywymi y = f (x), y = g(x) i pionowymi liniami x = a, x = b, gdzie f i g są funkcjami ciągłymi oraz f (x) g(x) dla x [a, b] równe jest

A = [f (x) - g(x)]dx

Przykład: Wyznaczyć pole obszaru ograniczonego wykresami parabol y = x² oraz y = 2x - x².

W pierwszej kolejności wyznaczamy punkty przecięcia parabol rozwiązując układ równań utworzony przez równania parabol. Otrzymujemy x² = 2x - x², czyli 2x² - 2x = 0, skąd dostajemy 2x(x - 1) = 0, a więc x = 0 lub x = 1. Tym samym punktami przecięcia się parabol będą (0, 0) oraz (1, 1).

Widzimy, że górna i dolna parabola mają równania, odpowiednio

y_T = 2x - x² oraz y_B = x².

Pole powierzchni przybliżającego prostokąta równe jest zatem

(y_T - y_B)x = (2x - x² - x²)x

i omawiany obszar leży między prostymi x = 0 i x = 1. Zatem całkowite pole powierzchni równe jest

A	=	(2x - 2x^2)dx = 2(x - x^2)dx =
	=	2[ - ]|0^1 =
	=	2( - ) =

Jeżeli musimy policzyć pole powierzchni ograniczone krzywymi y = f (x) i y = g(x), gdzie f (x) g(x) dla pewnych wartości x, ale f (x) g(x) dla innych, to wówczas możemy podzielić obszar S na kilka podobszarów S₁, S₂,... o polach A₁, A₂,....

Pole obszaru S możemy wtedy zdefiniować jako sumę pól obszarów S₁, S₂,..., czyli A = A₁ + A₂ +.... Ponieważ

| f (x) - g(x)| =

otrzymujemy następujący wzór na pole A powierzchni obszaru ograniczonego krzywymi y = f (x) i y = g(x) oraz liniami pionowymi x = i x = b:

A = | f (x) - g(x)| dx

Przykład: Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi y = sin x oraz y = cos x pomiędzy x = 0 oraz x = .

Punkt przecięcia się krzywych ma współrzędną x równą x = (jako że 0 x ). Zauważmy, że cos x sin x dla 0 x ale sin x cos x dla x . Tym samym szukane pole wynosi:

A	=	| cos x - sin x| dx = A1 + A2 =
	=	(cos x - sin x)dx + (sin x - cos x)dx =
	=	[sin x + cos x]|0 + [- cos x - sin x]| =
	=	( + -0 - 1) + (- 0 - 1 + + ) =
	=	2 - 2

Niektóre pola łatwiej jest policzyć traktując x jako funkcję y. Jeżeli dany obszar ograniczony jest krzywymi x = f (y), x = g(y), y = c oraz y = d, gdzie f i g są funkcjami ciągłymi oraz f (y) g(y) dla x y d, to jego pole wyraża się wzorem

A = [f (y) - g(y)].

Przykład: Obliczyć pole obszaru ograniczonego prostą y = x - 1 i parabolą y² = 2x + 6.

Rozwiązując odpowiedni układ równan przekonujemy się, że krzywe przecinają się w puntach (- 1, - 2) oraz (5, 4). Przekształcamy równanie paraboli tak, aby było funkcją zmiennej y. Tym samym nasz obszar ograniczony jest z lewej i z prawej strony krzywymi

x_L = y² -3 oraz x_R = y + 1.

Przeprowadzamy całkowanie od y = - 2 do y = 4:

A	=	(xR - xL)dy =
	=	[(y + 1) - (y^2 - 3)]dy =
	=	(- y^2 + y + 4)dy =
	=	- () + +4y|-2^4 =
	=	- (64) + 8 + 16 - ( + 2 - 8) = 18