Grafika komputerowa

Grafika komputerowa

Wykład

Modelowanie krzywych

i powierzchni nieregularnych

Interpolacja i aproksymacja

Linie i powierzchnie w przestrzeni 3D są określone zbiorem punktów o

współrzędnych (x, y, z).

Numeryczne metody modelowania geometrycznego (opisu kształtu) na

podstawie zdefiniowanych punktów klasyfikowane są na dwie kategorie:
- metody interpolacyjne;
- metody aproksymacyjne.

Interpolacja – metoda numeryczna polegająca na wyznaczaniu w danym

przedziale tzw.

funkcji interpolacyjnej f

(

x

), która

przyjmuje w nim z góry

przedziale tzw.

funkcji interpolacyjnej f

(

x

), która

przyjmuje w nim z góry

zadane wartości w ustalonych punktach

, nazywanych

węzłami

. Interpolacja

jest szczególnym przypadkiem metod numerycznych typu aproksymacja.

Aproksymacja – metoda numeryczna polegająca na przybliżaniu w danym

przedziale funkcji zwanej

funkcją aproksymowaną f

(

x

) inną funkcją zwaną

funkcją aproksymującą F

(

x

,

p

1,...,

pk

), tak aby dla przyjętego kryterium,

funkcja

F

(

x

,

p

1,...,

pk

)

możliwie dokładnie odtwarzała przebieg funkcji

aproksymowanej

f

(

x

).

p

1,...,

pk

– zdefiniowane punkty

Interpolacja i aproksymacja - idea

Przykłady:

Krzywe i powierzchnie utworzone metodami interpolacyjnymi zawierają

wszystkie punkty definiujące.
Linia lub powierzchnia utworzona jest metodą aproksymacyjną jeżeli

przechodzi blisko lecz niekoniecznie przez punkty definiujące.

interpolacja metodą Newtona

aproksymacja wielomianem Czybyszewa

Metody interpolacyjne

wykorzystywane do modelowania krzywych
- interpolacja liniowa;

*

- interpolacja wielomianowa;

*

- interpolacja paraboliczna;

*

- interpolacja Akima;

*

- interpolacja funkcjami v-sklejanymi;
- interpolacja macierzami sklejanymi;
- interpolacja funkcjami sklejanymi Bartelsa.

- interpolacja funkcjami sklejanymi Bartelsa.

wykorzystywane do modelowania powierzchni
- interpolacja Coonsa.

*

Metody aproksymacyjne

wykorzystywane do modelowania krzywych i

powierzchni
- aproksymacja Beziera;

*

- aproksymacja funkcjami B-sklejanymi;

*

- aproksymacja funkcjami β-sklejanymi;

*

- aproksymacja funkcjami β2-sklejanymi.

*

Nazwa tworzonych krzywych i powierzchni nosi nazwę

funkcji wykorzystywanej w danej metodzie, np.:

- powierzchnia Coonsa;

- krzywa lub powierzchnia Beziera;

- krzywa lub powierzchnia β-sklejana itp.

Krzywa

C(u)

może być wyrażona jako

liniowe złożenie:

C(u)

= ∑

c

i

F

i

(u)

gdzie:

-

F (u) –

funkcja bazowa

Równanie parametryczne krzywej

i=0

n

-

F

i

(u) –

funkcja bazowa

-

c

i

–

współczynnik liczbowy

Funkcja bazowa definiuje kształt i własności

modelowanej krzywej.

Współczynnik

c

i

może wyznaczać krzywą

C

i

(v)

, która także może być

wyrażona jako liniowe złożenie funkcji bazowych

G

k

(v)

:

C

i

(v)

= ∑

a

ik

G

k

(v)

Wprowadzając to wyrażenie do równania parametrycznego krzywej

otrzymamy równanie powierzchni, które jest iloczynem tensorowym

funkcji bazowych

F

i

(u)

i

G

k

(v)

:

Równanie parametryczne powierzchni

k=0

m

funkcji bazowych

F

i

(u)

i

G

k

(v)

:

S(u,v)

= ∑ ∑

a

ik

F

i

(u) G

k

(v)

gdzie:
-

F

i

(u), G

k

(v) –

funkcje bazowe

-

a

ik

–

współczynnik liczbowy

Funkcje bazowe definiują kształt i własności modelowanej

powierzchni.

i=0 k=0

n m

Łuki krzywej, płaty powierzchni

Krzywe i powierzchnie są często dzielone na mniejsze wycinki

lub segmenty, które mogą być niezależnie przetwarzane.

Krzywa

C(u)

może być dzielona na części wyznaczone przez

punkty

u

i

z dziedziny funkcji

F(u)

:

u

1

<

u

2

<

u

3

,....,

u

p

.

Wybrane punkty

u

i

nazywamy punktami przerwań lub

Wybrane punkty

u

i

nazywamy punktami przerwań lub

węzłami. Każdy przedział [

u

i

,

u

i+1

] jest nazywany łukiem.

Powierzchnia

S(u,v)

może być dzielona na części wyznaczone

przez linie definiowane przez punkty przerwań (węzły) z

dziedzin funkcji

F(u)

i

G(v)

:

u

1

<

u

2

<

u

3

,....,

u

p

oraz

v

1

<

v

2

<

v

3

,....,

v

q

.

Wybrane linie nazywamy liniami przerwań lub liniami

węzłowymi. Pojedynczy segment ograniczony kolejnymi

liniami przerwań (liniami węzłowymi) nazywamy płatem.

Interpolacja liniowa i wielomianowa

Problem interpolacji może być uogólniony w następujący
sposób:
„mając dane N+1 punktów P

i

, od i=0 do N, znaleźć krzywą

Q(t)

przechodzącą przez wszystkie punkty”

Dwa skrajne rozwiązania to:
1. Niezależne połączenie wszystkich par punktów

[P

i

, P

i+1

]

2. Znalezienie równania krzywej przechodzącej

przez wszystkie punkty P

i

Interpolacja liniowa i wielomianowa

Pierwszy przypadek jest przykładem interpolacji liniowej polegającej na połączeniu

kolejnych punktów P

i

liniami prostymi. Jeżeli założymy, że parametr

t

zmienia się w

zakresie [0, 1], to równanie opisujące liniową interpolację pomiędzy punktami P

i

i P

i+1

ma

postać:

Q(t)

=

(1-t)

P

i

+

t

P

i+1

Drugi przypadek jest przykładem interpolacji wielomianowej. Należy znaleźć

wielomian interpolacyjny opisujący przebieg krzywej

Q(t)

przechodzącej przez wszystkie

punkty węzłowe.
Do tego celu mogą być wykorzystane wielomiany Lagrange’a.

Do tego celu mogą być wykorzystane wielomiany Lagrange’a.

gdzie

L

iN

(t)

jest wielomianem Langrange’a:

Stopień wielomianu N jest bezpośrednio związany z liczbą punktów P

i

. Dla N+1 punktów

stopień wielomianu wynosi N.

)

).....(

)(

).....(

(

)

).....(

)(

).....(

(

)

(

1

1

0

1

1

0

N

i

i

i

i

i

i

N

i

i

iN

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

L

−

−

−

−

−

−

−

−

=

+

−

+

−

∑

=

=

N

i

iN

i

t

L

P

t

Q

0

)

(

)

(

















−

−

=

∏

≠

=

N

i

j

j

j

i

j

iN

t

t

t

t

t

L

,

0

)

(

Przykład interpolacji Langrange’a

cd.

Interpolacja wielomianowa

Wadą interpolacji wielomianowej jest tendencja do

znacznych oscylacji krzywej dla wysokiego stopnia N

oraz zależność stopnia wielomianu od liczby punktów

kontrolnych.

Praktyczne metody interpolacyjne modelowania

krzywych polegają na modelowaniu wycinków krzywej

krzywych polegają na modelowaniu wycinków krzywej

opisanej przez niewielką liczbę punktów definiujących

(od 3 do 5) a następnie łączenie ich przy zapewnieniu

odpowiedniej ciągłości połączenia (np. interpolacja

paraboliczna, interpolacja Akima).

Interpolacja paraboliczna

Interpolacja paraboliczna (Overhauser 1968 r.) jest przykładem interpolacji lokalnej
wykorzystującej cztery punkty węzłowe P

0

, P

1

, P

2

i P

3

.

W wyniku tej interpolacji znajdowane jest równanie krzywej łaczącej punkty środkowe

P

1

i P

2

poprzez złożenie liniowe dwóch paraboli:

-

K

1

(r)

zdefiniowanej przez punkty początkowe P

0

, P

1

i P

2

(

kolor zielony

)

-

K

2

(s)

zdefiniowanej przez punkty końcowe P

1

, P

2

i P

3

(

kolor niebieski

)

K

2

(s)

C(t)

Krzywa

C(t)

jest opisana równaniem:

C(t)

= [1 – (

t/t

0

)]

K

1

(r)

+

(t/t

0

) K

2

(s)

gdzie:

t

0

– odległość punktów P

1

i P

2

s

t

r

K

1

(r)

P

1

P

3

P

2

P

0

Interpolacja Akima (1970)

W interpolacji Akima wyznaczane jest równanie krzywej trzeciego stopnia łączącej dwa kolejne punkty P

i

i P

i+1

przy

założeniu, że przebieg tej krzywej zależy jedynie od stycznych M

i

i M

i+1

w tych punktach, które są wyznaczane na

podstawie położenia danego punktu oraz 2 punktów poprzedzających i 2 punktów następujących po tym punkcie.

Dla wyznaczenia krzywej łączącej punkty P

i

i P

i+1

wykorzystywane są więc:

- punkty P

i

i P

i+1

;

- punkty P

i-2

i P

i-1

poprzedzające punkt P

i

;

- punkty P

i+2

i P

i+3

następujące po punkcie P

i+1

Przykład:
wyznaczenie stycznej do punktu P

3

P

m

1

m

3

m

4

Wartość nachylenia stycznej M

3

do punktu P

3

jest obliczana na podstawie wartości nachyleń
(wsp. kier.)

m

1

,

m

2

,

m

3

i

m

4

odcinków łączących

odpowiednio punkty P

1

i P

2

, P

2

i P

3

, P

3

i P

4

oraz P

4

i P

5

.

gdzie:

dla punktów P

i

=

(x

i

, y

i

)

,

i

= 1,2,3 i 4.

)

)(

(

)

)(

(

)

)(

(

)

)(

(

2

4

1

2

3

4

1

3

2

4

1

2

3

3

4

1

3

2

3

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

M

−

−

+

−

−

−

−

+

−

−

=

i

i

i

i

i

x

x

y

y

m

−

−

=

+

+

1

1

styczn

a M

3

P

3

P

5

P

2

P

1

P

4

m

2

Interpolacja Akima (1970)

Do wyznaczenie krzywej 3 stopnia łączącej punkt P

1

=[

x

1

,

y

1

] z punktem P

2

=[

x

2

,

y

2

]

wykorzystywane jest równanie:

(1)

z warunkami brzegowymi:

1. Jeżeli

x

=

x

1

to

y

=

y

1

i

3

1

3

2

1

2

1

1

0

)

(

)

(

)

(

x

x

x

x

x

x

y

−

Ω

+

−

Ω

+

−

Ω

+

Ω

=

1

M

dx

dy

=

2. Jeżeli

x

=

x

2

to

y

=

y

2

i

Z równania (1) i warunków brzegowych można wyznaczyć wartości współczynników Ω:

W ten sposób znajdowane są równania krzywych łączących wszystkie kolejne pary punktów.

Do wyznaczenia łuków łączących dwa punkty początkowe i dwa punkty końcowe definiuje się

dodatkowe 2 punkty na każdym z końców. Wyznaczone równanie krzywej redukuje się do

równania 2 stopnia.

2

M

dx

dy

=

3

1

2

1

2

2

1

2

2

1

3

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2

1

1

1

0

)

(

)

(

2

)

(

)

(

)

(

3

)

(

2

x

x

y

y

x

x

m

m

x

x

y

y

x

x

m

m

M

y

−

−

−

−

+

=

Ω

−

−

+

−

−

−

=

Ω

=

Ω

=

Ω

Powierzchnie Coonsa

Dane są 4 krzywe definiujące brzeg płatu powierzchni. Zakładamy, że wycinek powierzchni S(u,v) jest

znormalizowany do kwadratu jednostkowego, parametry

u

i

v

należą do przedziału <0, 1>.

Krzywe brzegowe można przedstawić jako:

P(u,0)

,

P(u,1)

,

P(0,v)

i

P(1,v)

.

Płat powierzchni Coonsa buduje się interpolując punkty leżące na przeciwległych krzywych brzegowych.

Utworzona powierzchnia przedstawiona jest równaniem parametrycznym:

gdzie:

F

i

są odpowiednio dobieranymi funkcjami interpolującymi spełniającymi warunki brzegowe:

F

0

(0) =

1,

F

0

(1) =

0,

F

1

(0)

= 0 i

F

1

(1)

= 1

Najprostszymi funkcjami F są funkcje:

/złożenie liniowe powierzchni prostoliniowych

ang. ruled surfaces/

∑

∑

∑∑

=

=

=

=

−

+

=

1

0

1

0

1

0

1

0

)

,

(

)

(

)

(

)

,

(

)

(

)

,

(

)

(

)

,

(

i

j

i

j

j

i

j

i

j

i

P

v

F

u

F

j

u

P

v

F

v

i

P

u

F

v

u

S

S(u,v

)

P(u,1)

P(1,1)

P(0,0)

P(0,1)

P(1,0)

P(1,v)

P(u,0)

P(0,v)

Płat powierzchni Coonsa

P(u,1)

P(1,1)

P(0,0)

P(0,1)

P(1,0)

P(1,v)

P(u,0)

P(0,v)

u

v

u

v

Najprostszymi funkcjami F

i

są funkcje:

/złożenie liniowe powierzchni prostoliniowych

ang. ruled surfaces/

F

0

(u)

=1-

u

i

F

1

(u)

=

u

oraz

F

0

(v)

=1-

v

i

F

1

(v)

=

v

Inne przykładowe funkcje:

F

0

(u)

= cos

2

(½ ∏ u)

i

F

1

(u)

= sin

2

(½ ∏ u)

oraz

F

0

(v)

= cos

2

(½ ∏ v)

i

F

1

(v)

= sin

2

(½ ∏ v)

Powierzchnie Coonsa

Konstrukcja płatu powierzchni Coonsa

Powierzchnie Coonsa

Powierzchnie prostoliniowe (ang. ruled surfaces)
Powierzchnia prostoliniowa jest generowana na podstawie dwóch krzywych parametrycznych zdefiniowanych

za pomocą jednej zmiennej

u

. Poszczególne wartości zmiennej

u

definiują punkty na obu krzywych.

Powierzchnia prostoliniowa definiowana jest poprzez połączenie dwóch punktów o tej samej wartości

u

leżących na przeciwległych krzywych liniami prostymi z parametrem

v

.

Dwuliniowa interpolacja (ang. bilinear interpolation)
Powierzchnia generowana metodą dwuliniowej interpolacji powstaje w wyniku złożenia dwóch interpolacji

liniowych: dla jednego kierunku (parametr

u

) a następnie dla tak uzyskanych wartości przeprowadza się

interpolację liniową dla drugiego kierunku (parametr

v

). Powierzchnia generowana w wyniku interpolacji

dwuliniowej jest najprostszym przykładem powierzchni prostoliniowej, w której wszystkie 4 krzywe

brzegowe są liniami prostymi.

P

00

P

01

P

11

1

P

10

P

0,

v

P

1,

v

P

u,v

u

v

Łączenie płatów powierzchni Coonsa

Dla ciągłości połączenia dwóch płatów powierzchni Coonsa wystarczy, by miały

wspólny brzeg, czyli by odpowiednia krzywa brzegowa jednego płata była

równa krzywej brzegowej drugiego płata. Równanie definiujące wycinek

powierzchni Coonsa zapewnia równość brzegów. Uzyskujemy ciągłość

połączenia stopnia C

0

.

Dla uzyskania wyższego stopnia ciągłości połączenia, muszą być spełnione

dodatkowe warunki – równość wektorów stycznych w punktach brzegowych

łączonych płatów. Uzyskujemy wówczas ciągłość połączenia stopnia C

1

.

Analitycznie te dodatkowe warunki oznaczają, że pierwsze pochodne cząstkowe

funkcji definiujących płaty powierzchni w punktach łączenia są sobie równe:

Łączenie płatów powierzchni Coonsa

Płat powierzchni Coonsa zapewniający ciągłość połączenia z innymi
płatami stopnia

C

1

można zbudować wykorzystując wielomiany

trzeciego stopnia Hermite’a. Płat powierzchni jest opisany równaniem:

∑∑∑∑

=

=

=

=

+

=

=













=

1

0

1

0

,

1

1

0

1

0

)

,

(

)

(

)

(

)

,

(

i

j

j

v

u

l

k

l

k

k

l

lj

ki

dv

du

v

u

P

d

v

g

u

g

v

u

S

gdzie są funkcjami interpolacyjnymi Hermite’a 3 stopnia:

)

(u

g

ij

gdzie są funkcjami interpolacyjnymi Hermite’a 3 stopnia:

2

3

11

2

3

10

2

3

01

2

3

00

)

(

2

)

(

3

2

)

(

1

3

2

)

(

u

u

u

g

u

u

u

u

g

u

u

u

g

u

u

u

g

−

=

−

+

−

=

−

+

−

=

−

+

−

=

−

)

(u

g

ij

)

(

00

u

g

)

(

01

u

g

)

(

11

u

g

)

(

10

u

g

Krzywe Beziera

Krzywa Beziera jest definiowana przez N+1 punktów kontrolnych, tworzących łamaną
kontrolną (łamaną Beziera) o N+1 wierzchołkach.
Równanie parametryczne krzywej jest liniową kombinacją:

gdzie:
-

P

i

– punkty kontrolne

-

B

iN

– funkcja bazowa będąca wielomianem Bernsteina N-tego stopnia

∑

=

=

N

i

iN

i

t

B

P

t

C

0

)

(

)

(

iN

-

t

- parametr równania należący do przedziału <0, 1>

Przykład krzywej Beziera (P

1

, P

2

, P

3

, P

4

– punkty kontrolne)

węzły

łamana kontrolna

łuk (segment) krzywej

Krzywe Beziera

Wielomian Bernsteina N-tego stopnia jest opisany równaniem:

gdzie:

[

]

i

N

i

iN

t

t

t

B

−

−

=

)

1

(

C

)

(

N

i

i!

)!

i!

(N

N!

C

N

i

−

=

3

33

2

23

2

13

3

03

2

22

12

2

02

11

01

00

)

(

)

1

(

3

)

(

)

1

(

3

)

(

)

1

(

)

(

)

(

)

1

(

2

)

(

)

1

(

)

(

)

(

1

)

(

1

)

(

t

t

B

t

t

t

B

t

t

t

B

t

t

B

t

t

B

t

t

t

B

t

t

B

t

t

B

t

t

B

t

B

=

−

=

−

=

−

=

=

−

=

−

=

=

−

=

=

Krzywe Beziera

Przykład:

Wyznaczyć równanie krzywej Beziera opisanej przez 4 punkty kontrolne P

0

, P

1

, P

2

i P

3

.

Stopień wielomianów Bernsteina dla 4 punktów – N=3.

Krzywa jest określona równaniem:

3

3

2

2

1

2

0

3

33

3

23

2

13

1

03

0

3

0

)

1

(

3

)

1

(

3

)

1

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

P

t

P

t

t

P

t

t

P

t

t

B

P

t

B

P

t

B

P

t

B

P

t

B

P

t

C

i

iN

i

+

−

+

−

+

−

=

=

+

+

+

=

=

∑

=

Własności:
1. Węzły krzywej w punktach

t

=0 i

t

=1 (początkowy i końcowy punkt leżący na krzywej)

pokrywają się z pierwszym i ostatnim punktem kontrolnym:

2. Pierwsze pochodne równania krzywej w punktach węzłowych są równe:

świadczy to o tym, że krzywe Beziera są styczne do łamanej kontrolnej w tych punktach.
Umożliwia to łączenie ze sobą segmentów krzywych z zachowaniem ciągłości stopnia C

1

.

)

(

3

)

1

(

)

(

3

)

0

(

2

3

0

1

P

P

dt

dC

i

P

P

dt

dC

−

=

−

=

3

2

1

0

)

1

(

3

)

1

(

3

)

1

(

P

t

P

t

t

P

t

t

P

t

+

−

+

−

+

−

=

3

0

)

1

(

i

)

0

(

P

C

P

C

=

=

Własności krzywych Beziera

1.

Nie przechodzą przez wszystkie punkty kontrolne, przechodzą przez

początkowy i końcowy wierzchołek łamanej kontrolnej.

2.

Krzywe pozostają w wypukłej części łamanej kontrolnej - zawierają się

całkowicie w wielościanie wypukłym, którego wierzchołkami są

wierzchołki łamanej kontrolnej.

3.

Nie umożliwiają lokalnej kontroli kształtu – przesunięcie dowolnego

punktu kontrolnego powoduję zmianę położenia wszystkich punktów

tworzących krzywą (za wyjątkiem punktów węzłowych).

4.

Stopień wielomianu opisującego krzywą jest zależny od liczby punktów

4.

Stopień wielomianu opisującego krzywą jest zależny od liczby punktów

kontrolnych. Dla N punktów kontrolnych generowana jest krzywa

stopnia N-1.

5.

Krzywa Beziera jest styczna do łamanej kontrolnej w punktach

węzłowych. Styczne w tych punktach pokrywają się z odcinkami

odpowiednio P

0

P

1

i P

N-1

P

N

łamanej kontrolnej. Umożliwia to łączenie

krzywych z zachowaniem ciągłości połączenia C

1

.

Łączenie krzywych Beziera

W praktyce rzadko używa się krzywych Beziera wysokiego stopnia. Ponieważ każdy punkt krzywej
Beziera zależy od wszystkich punktów kontrolnych, więc w takiej sytuacji trudno kontrolować kształt
krzywej. Prościej jest złożyć całą krzywą z fragmentów, każdy niskiego stopnia.

Rozpatrzmy dwa segmenty krzywych P

0

, P

1

, P

2

, P

3

i R

0

, R

1

, R

2

, R

3

, połączone w punkcie P

3

=R

0

.

1. Jeżeli punkty P

2

, P

3

=R

0

, R

1

są współliniowe mówimy o ciągłości geometrycznej G

1

krzywej (rys. b).

2. Jeżeli punkty P

2

, P

3

=R

0

, R

1

są współliniowe i odcinki łamanej P

2

P

3

, R

0

R

1

są równej długości

to mówimy o ciągłości parametrycznej C

1

krzywej (rys. c).

R

3

a) bez zachowania ciągłości C

1

b) z zachowaniem ciągłości geometrycznej

b) z zachowaniem ciągłości parametrycznej

Konstrukcja krzywej Beziera N=1

Krzywa Beziera stopnia N=1 zdefiniowana jest przez punkty kontrolne P0 i P1.
Konstrukcja krzywej Beziera

B(t)

w przedziale

t

= [0,1] jest przykładem interpolacji

liniowej ze stałym krokiem.
Zmiana parametru

t

od 0 do 1 jest powiązana z generowaniem kolejnych punktów

krzywej

B(t)

od punktu P

0

do P

1

.

Bezier_1_big.gif

Konstrukcja krzywej Beziera N=2

Krzywa Beziera stopnia N=2 zdefiniowana jest przez 3 punkty kontrolne P

0

, P

1

i P

2

tworzące łamaną kontrolną.

Konstrukcja krzywej polega na wyznaczaniu dla każdej wartości parametru

t

= <0, 1>:

1. Wyznaczaniu punktów pośrednich Q

0

i Q

1

:

- punkt Q

0

wyznaczany jest pomiędzy punktami P

0

i P

1

zgodnie z równaniem Beziera

stopnia 1;

- punkt Q

1

wyznaczany jest pomiędzy punktami P

1

i P

2

zgodnie z równaniem Beziera

stopnia 1.

2. Wyznaczaniu kolejnych punktów krzywej

B(t)

pomiędzy punktami Q i Q zgodnie z

2. Wyznaczaniu kolejnych punktów krzywej

B(t)

pomiędzy punktami Q

0

i Q

1

zgodnie z

równaniem Beziera stopnia 2.

Bezier_2_big.gif

Konstrukcja krzywej Beziera N=3

Krzywa Beziera stopnia N=3 zdefiniowana jest przez 4 punkty kontrolne P

0

, P

1

, P

2

i P

3

tworzące łamaną

kontrolną.

Konstrukcja krzywej polega na wyznaczaniu dla każdej wartości parametru

t

= <0, 1>:

1. Punktów pośrednich Q

0

, Q

1

i Q

2

:

- punkt Q

0

wyznaczany jest pomiędzy punktami P

0

i P

1

zgodnie z równaniem Beziera stopnia 1;

- punkt Q

1

wyznaczany jest pomiędzy punktami P

1

i P

2

zgodnie z równaniem Beziera stopnia 1.

- punkt Q

2

wyznaczany jest pomiędzy punktami P

2

i P

3

zgodnie z równaniem Beziera stopnia 1

2. Wyznaczaniu punktów pośrednich R

0

i R

1

:

- punkt R

0

wyznaczany jest pomiędzy punktami Q

0

i Q

1

zgodnie z równaniem Beziera stopnia 2;

- punkt R

1

wyznaczany jest pomiędzy punktami Q

1

i Q

2

zgodnie z równaniem Beziera stopnia 2.

3. Wyznaczaniu kolejnych punktów krzywej

B(t)

pomiędzy punktami R

0

i R

1

zgodnie z równaniem

3. Wyznaczaniu kolejnych punktów krzywej

B(t)

pomiędzy punktami R

0

i R

1

zgodnie z równaniem

Beziera stopnia 3.

Bezier_3_big.gif

Konstrukcja krzywej Beziera N=4

Krzywa Beziera stopnia N=4 zdefiniowana jest przez 5 punktów kontrolny P

0

, P

1

, P

2

, P

3

i P

4

tworzących

łamaną kontrolną.

Konstrukcja krzywej polega na wyznaczaniu dla każdej wartości parametru

t

= <0, 1>:

1. Punktów pośrednich Q

0

, Q

1

, Q

2

i Q

3

:

- punkt Q

0

wyznaczany jest pomiędzy punktami P

0

i P

1

zgodnie z równaniem Beziera stopnia 1;

- punkt Q

1

wyznaczany jest pomiędzy punktami P

1

i P

2

zgodnie z równaniem Beziera stopnia 1;

- punkt Q

2

wyznaczany jest pomiędzy punktami P

2

i P

3

zgodnie z równaniem Beziera stopnia 1;

- punkt Q

3

wyznaczany jest pomiędzy punktami P

3

i P

4

zgodnie z równaniem Beziera stopnia 1;

2. Wyznaczaniu punktów pośrednich R

0

, R

1

i R

2

:

- punkt R

0

wyznaczany jest pomiędzy punktami Q

0

i Q

1

zgodnie z równaniem Beziera stopnia 2;

- punkt R

0

wyznaczany jest pomiędzy punktami Q

0

i Q

1

zgodnie z równaniem Beziera stopnia 2;

- punkt R

1

wyznaczany jest pomiędzy punktami Q

1

i Q

2

zgodnie z równaniem Beziera stopnia 2;

- punkt R

2

wyznaczany jest pomiędzy punktami Q

2

i Q

3

zgodnie z równaniem Beziera stopnia 2.

3. Wyznaczaniu punktów pośrednich S

0

i S

1

:

- punkt S

0

wyznaczany jest pomiędzy punktami R

0

i R

1

zgodnie z równaniem Beziera stopnia 3;

- punkt S

1

wyznaczany jest pomiędzy punktami R

1

i R

2

zgodnie z równaniem Beziera stopnia 3;

4. Wyznaczaniu kolejnych punktów krzywej

B(t)

pomiędzy punktami S

0

i S

1

zgodnie z równaniem

Beziera stopnia 4.

Bezier_4_big.gif

Powierzchnie Beziera

Powierzchnia Beziera jest definiowana przez siatkę punktów kontrolnych {P

0

, P

1

, ...., P

N

,}

oraz {P

0

, P

1

, ...., P

M

,} tworzących graf kontrolny Beziera o (N+1)x(M+1) wierzchołkach.

Równanie parametryczne powierzchni ma postać:

gdzie:
-

P

ij

– punkty kontrolne

-

B

iN

(u)

– funkcja bazowa z parametrem

u

będąca wielomianem Bernsteina N-tego stopnia

-

B

jm

(v)

– funkcja bazowa z parametrem

v

będąca wielomianem Bernsteina M-tego stopnia

-

u, v

– parametry równania należące do przedziału <0, 1>

∑∑

=

=

=

N

i

jM

M

j

iN

ij

v

B

u

B

P

v

u

S

0

0

)

(

)

(

)

,

(

Ogólna postać

i

-tego wielomianu Bernsteina stopnia K:

i

K

i

iK

w

w

i

K

i

K

w

B

−

−

−

=

)

1

(

)!

(

!

!

)

(

Powierzchnia Beziera definiowana
przez 16 punktów kontrolnych

Powierzchnie Beziera - własności

Powierzchnia Beziera jest iloczynem tensorowym krzywych Beziera. Stąd

większość własności krzywych Beziera przenosi się również na powierzchnie.
Ogólnie: właściwości powierzchni są analogiczne do właściwości krzywych

konstruowanych z wykorzystaniem tych samych funkcji bazowych

1.

Nie przechodzą przez wszystkie punkty kontrolne, przechodzą przez

początkowy i końcowy wierzchołek linii brzegowych (przez punkty

wierzchołkowe grafu punktów kontrolnych P

00

, P

0M

, P

N0

i P

NM

).

2.

Powierzchnie pozostają w wypukłej części grafu kontrolnego - zawierają się

2.

Powierzchnie pozostają w wypukłej części grafu kontrolnego - zawierają się

całkowicie w wielościanie wypukłym, którego wierzchołkami są wierzchołki

grafu.

3.

Nie umożliwiają lokalnej kontroli kształtu – przesunięcie dowolnego punktu

kontrolnego powoduję zmianę położenia wszystkich punktów tworzących

powierzchnię (za wyjątkiem punktów początkowych i końcowych linii

węzłowych).

4.

Stopień wielomianu opisującego powierzchnię jest zależny od liczby punktów

kontrolnych. Dla (N+1)x(M+1) punktów kontrolnych równanie powierzchni

jest stopnia NxM.

5.

Linie brzegowe powierzchni Beziera są krzywymi Beziera. Umożliwia to

łączenie płatów powierzchni z zachowaniem ciągłości połączenia C

1

.

Łączenie płatów powierzchni Beziera

Powierzchnia utworzona z dwóch płatów Beziera.
Gładkość (ang.

smooth

) powierzchni zapewnia ciągłość połączenia stopnia C

0

i C

1

.

Ciągłość C

0

uzyskujemy wyznaczając wspólne punkty kontrolne wzdłuż linii brzegowej.

Ciągłość C

1

uzyskujemy poprzez współliniowość punktów kontrolnych po obu stronach

linii brzegowej - współczynniki kierunkowe odpowiednich par odcinków L

i1

i L

i2

powinny

być równe. Dla zachowania ciągłości parametrycznej dodatkowo odcinki L

i1

i L

i2

powinny

być tej samej długości.

Linia brzegowa

L

02

L

01

L

11

L

12

L

21

L

22

1

Łączenie płatów powierzchni Beziera

Powierzchnia zbudowana poprzez łączenie bikubicznych płatów Beziera,
renderowana ze zwiększającym się poziomem tesselacji.
Białe punkty i białe linie pokazują grafy kontrolne płatów.
Czerwone punkty reprezentują punkty węzłowe linii brzegowych płatów.

Krzywe B-sklejane

Krzywa B-sklejana jest definiowana przez N+1 punktów kontrolnych P

i

, tworzących łamaną kontrolną o

N+1 wierzchołkach na której określone są węzły

t

i

. Równanie parametryczne krzywej jest liniową

kombinacją:

gdzie:
-

P

i

– punkty kontrolne

-

t

- parametr równania należący do przedziału <0, 1>

-

N

i,k

– funkcje bazowe B-sklejane stopnia

k

definiowane rekurencyjnie:

∑

=

=

N

i

k

i

i

t

N

P

t

C

0

,

)

(

)

(

Funkcja bazowa B-sklejana

N

i,k

(t)

stopnia

k

jest wielomianem stopnia

k-1

, który zapewnia ciągłość

stopnia C

k-2

na całej długości definiowanej krzywej. W praktyce najczęściej wykorzystywane są bikubiczne

krzywe B-sklejane ( stopień funkcji 4, stopień wielomianów 3).
Krzywe B-sklejane umożliwiają lokalną kontrolę kształtu, zmiana położenia punktu kontrolnego zmienia

przebieg krzywej tylko pomiędzy zdefiniowanymi węzłami.
Stopień wielomianu opisującego krzywą nie zależy od liczby punktów kontrolnych.

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

oraz

wypadku

przeciwnym

w

0

gdy

1

)

(

1

1

,

1

1

1

,

,

1

1

,

i

k

i

k

i

k

i

i

k

i

k

i

i

k

i

i

i

i

t

t

t

N

t

t

t

t

t

N

t

t

t

N

t

t

t

t

N

−

−

+

−

−

=







≤

≤

=

−

+

−

+

+

−

+

−

+

Krzywe B-sklejane

Krzywa B-sklejana jest określona w przedziale

t

=<0,1>, natomiast ciąg

m

+1 wartości

t

i

dzieli

ten przedział na podprzedziały, na których zdefiniowane są poszczególne krzywe

wielomianowe (funkcje bazowe).
Wartości

t

i

są nazywane węzłami krzywej (ang.

knot

) i spełniają one zależność

t

i

≤ t

i +1

.

Jest to niemalejący ciąg, a więc węzły mogą się powtarzać, mogą być wielokrotnie

definiowane. Najczęściej zakłada się także, że

t

0

= 0 i

t

m

= 1.

Jeśli węzły dzielą przedział [0,1] na równe części, wówczas krzywa jest określana jako

jednorodna (ang.

uniform

). Jeśli węzły dzielą przedział nierównomiernie to krzywa jest

określana jako niejednorodna (ang.

non-uniform

).

Rys. Krzywa B-sklejana stopnia k=3:

- <P

0

, P

1

, ..., P

7

> punkty kontrolne;

- <e

i,

, f

i

, g

i

> punkty węzłowe definiujące

i

-ty łuk krzywej;

- odcinki g

i

e

i

i e

i

f

i

styczne do krzywej w punktach łączenia

Krzywe B-sklejane

Wielokrotne zdefiniowanie tego samego punktu kontrolnego zmienia

kształt krzywej. Krzywa w większym stopniu przylega do wielokrotnie

definiowanego punktu kontrolnego.
Stopień funkcji bazowej wpływa na odległość krzywej od łamanej

kontrolnej. Dla stopnia k=2 funkcja bazowa jest funkcją liniową i pokrywa

się z łamaną kontrolną.

P

1

k=3, punkt P

1

zdefiniowany podwójnie

k=2

k=3
k=4

P

0

P

3

P

2

k=3, punkt P

1

zdefiniowany podwójnie

Krzywe B-sklejane - przykład

Rozważmy krzywą B-sklejaną:
- stopień krzywej k=6;
- liczba punktów kontrolnych 14: N=<0, 1, ... 13>
- liczba węzłów t

i

=21:

i

=<0. 1. ... 20>.

- krzywa jest jednorodna, węzły rozmieszczone są równomiernie w przedziale

t

=[0; 1]

i przyjmują wartości: <0.0, 0.05, 0.1, ....0.90, 0.95, 1..0>.

Krzywa B-sklejana jest generowana pomiędzy węzłami

t

i

=[

t

k

,

t

N-k

] = [

t

6

,

t

14

] = [0.3, 0.7] .

Krzywa jest styczna do pierwszego i ostatniego odcinka łamanej kontrolnej.
Pomimo braku łuków krzywej pomiędzy węzłami początkowymi i końcowymi, krzywa B-sklejana jest

definiowana na podstawie wszystkich punktów kontrolnych.
Z definicji funkcji bazowych B-sklejanych wynika, że jest k+1 niezerowych funkcji na łuku

Z definicji funkcji bazowych B-sklejanych wynika, że jest k+1 niezerowych funkcji na łuku

zdefiniowanym przez węzły [

t

i

,

t

i+1

]. Są to funkcje: B

0,k

(

t

), B

1,k

(

t

), ... , B

k,k

(

t

).

a) przebieg krzywej

b) funkcje bazowe B-sklejane

Krzywe B-sklejane - przykład

Szczególny przypadek krzywej B-sklejanej przechodzącej przez pierwszy i ostatni punkt kontrolny:
- liczba punktów kontrolnych 7: N=<0, 1, ... 6>
- liczba węzłów M=11, punkty węzłowe: t

i

gdzie:

i

=<0. 1. ... 10>.

- stopień krzywej k=3; k=M-N-1
- krzywa jest niejednorodna, węzły rozmieszczone są nierównomiernie w przedziale

t

=[0; 1]

i przyjmują wartości: t

0

=t

1

=t

2

=t

3

=0.0, t

4

=0.25, t

5

=0.5, t

6

=0,75, t

7

=t

8

=t

9

=t

10

=1.0.

Wielokrotne zdefiniowanie węzłów w tym samym punkcie kontrolnym (N

-

k) razy wymusza przejście

krzywej przez dany punkt kontrolny

Przykłady krzywych B-sklejanych

Jednorodne krzywe B-sklejane różnych stopni opisane tą samą łamaną kontrolną (P

0

, P

1

, P

2

, P

3

, P

4

). Węzły

u

i

oznaczone czarnymi punktami.

Po prawej stronie wykresy wielomianów funkcji bazowych. Na wykresach kolorami zaznaczono przedziały

poszczególnych krzywych.
Dla liniowej funkcji bazowej krzywa pokrywa się z łamaną kontrolną. Dla funkcji wyższych stopni

k

funkcji

bazowej krzywa B-sklejana jest przybliżana krzywymi wielomianowymi stopnia

k-1

połączonych z ciągłością

stopnia

C

k-2

.

Krzywe NURBS

Krzywe NURBS – ang.

Non-uniform Rational B-Splines

Wyjaśnienie wyrażeń w angielskiej nazwie:

B-spline

— krzywe NURBS to krzywe B-sklejane, a więc parametryczne krzywe, które są złożone z wycinków krzywych

wielomianowych.

Rational

— krzywe wymierne, ponieważ zdefiniowano je we współrzędnych jednorodnych Po przejściu na współrzędne

kartezjąńskie otrzymuje się funkcje wymierne. Współrzędne jednorodne - sposób reprezentacji punktów

n

-wymiarowych za pomocą

(n+1

) współrzędnych.

Non-uniform

— cecha krzywej B-sklejanej: węzły krzywej nie muszą być rozmieszczone równomiernie.

Na kształt krzywej NURBS wpływają następujące elementy:

- punkty kontrolne P

i

gdzie

i

=<0, N-k-1) ;

- węzły

t

u

gdzie

u

=<0, N) dzielące przedział

t

=[0,1] na N−1 podprzedziałów;

- wagi punktów kontrolnych

wi

gdzie

i

=<0, N-k-1 (liczby rzeczywiste) określające wpływ każdego z punktów

- wagi punktów kontrolnych

wi

gdzie

i

=<0, N-k-1 (liczby rzeczywiste) określające wpływ każdego z punktów

kontrolnych na krzywą;

- k

— stopień funkcji bazowej B-sklejanej.

Dowolny punkt na krzywej dany jest wzorem:

gdzie:

N

i,k

(t)

jest bazową funkcją B-sklejaną stopnia

k

.

Krzywa B-sklejana jest szczególnym przypadkiem krzywej NURBS dla równych sobie wag

w

i

różnych od zera.

Waga punktu wpływa na lokalny kształt krzywej. Za pomocą wagi punktu można kontrolować stopień przylegania krzywej
do łamanej kontrolnej. Krzywa "zbliża się" lub "oddala" od punktu, w zależności od jego wagi.
Odcinek krzywej jest liniowy, jeżeli punkt ma wagę równą zeru.

[

]

k

N

k

k

N

i

k

i

i

k

N

i

k

i

i

i

t

t

t

t

N

w

t

N

P

w

t

C

−

−

−

=

−

−

=

∈

=

∑

∑

,

dla

)

(

)

(

)

(

1

0

,

1

0

,

Krzywe NURBS – lokalna kontrola kształtu

1) Kontrola kształtu poprzez zmianę wartości węzłów

(na osiach liczbowych zaznaczono rozkład węzłów)

2) Kontrola kształtu poprzez zmianę wagi punktu (tutaj P

2

)

Powierzchnie B-sklejane

Powierzchnia B-sklejana jest definiowana przez siatkę punktów kontrolnych {P

0

, P

1

, ...., P

N

,} oraz

{P

0

, P

1

, ...., P

M

,} tworzących graf kontrolny o (N+1)x(M+1) wierzchołkach.

Równanie parametryczne powierzchni ma postać:

gdzie:
-

P

ij

– punkty kontrolne

-

N

i,k

(u)

– funkcja bazowa B-sklejana stopnia

k

z parametrem

u;

-

N

j,l

(v)

– funkcja bazowa B-sklejana stopnia

l

z parametrem

v;

-

u, v

– parametry równania należące do przedziału <0, 1>;

-

k

i

l

– stopnie funkcji bazowych B-sklejanych.

∑∑

=

=

=

N

i

l

j

M

j

k

i

ij

l

k

v

N

u

N

P

v

u

S

0

,

0

,

,

)

(

)

(

)

,

(

-

k

i

l

– stopnie funkcji bazowych B-sklejanych.

Przykład:
Powierzchnia B-sklejana definiowana przez siatkę 6x6 punktów kontrolnych.
Punkty węzłowe w kierunku parametru

u

{0,0,0}, {0.25,0.5,0.75}, {1,1,1) stopień funkcji bazowej – 2.

Punkty węzłowe w kierunku parametru

v

{0,0,0}, {0.,0.33,0.66}, {1,1,1) stopień funkcji bazowej – 3.

u

v

Lokalna kontrola kształtu

Zasada lokalnej modyfikacji kształtu:
Iloczyn tensorowy funkcji bazowych B-sklejanych

N

i,k

(

u

)

N

j,l

(

v

) definiujący płat powierzchni B-sklejanej

jest równy zero jeżeli punkt (

u, v

) leży na zewnątrz obszaru zdefiniowanego przez siatkę punktów

kontrolnych [

u

i

, u

i+k+1

] x [

vj

,

v

j+l+1

].

Wynika to bezpośrednio z definicji funkcji bazowej B-sklejanej:

Własności funkcji bazowej przenoszą się na iloczyn tensorowy tych samych funkcji.







≤

≤

≠

=

+

+

wypadku

przeciwnym

w

0

gdy

0

)

(

1

,

k

i

i

k

i

u

u

u

u

N

P

32

Przykład:
Jeżeli punkt kontrolny P

32

zostanie przesunięty, tylko płat powierzchni ograniczony najbliższymi

punktami węzłowymi zostanie zmodyfikowany. Pozostała część powierzchni pozostanie niezmieniona.

Własności krzywych i powierzchni B-sklejanych

Powierzchnia B-sklejana jest iloczynem tensorowym krzywych B-sklejanych.
Własności powierzchni są analogiczne do własności krzywych - konstruowane
są z wykorzystaniem tych samych funkcji bazowych

1.

Definiowane są na podstawie łamanych lub grafów kontrolnych oraz
węzłów dzielących łamane lub grafy na mniejsze przedziały.

2.

Krzywe pozostają w wypukłej części łamanej kontrolnej, powierzchnie
pozostają w wypukłej części grafu kontrolnego. Zawierają się
całkowicie w wielościanie wypukłym, którego wierzchołkami są
punkty kontrolne.

punkty kontrolne.

3.

Umożliwiają lokalną kontrolę kształtu tworzonej krzywej lub
powierzchni poprzez zmianę położenia punktów węzłowych,
wielokrotne definiowanie punktów kontrolnych, dobór stopnia funkcji
bazowej.

4.

Stopień

k

funkcji bazowej zapewnia ciągłość C

k-2

na całej długości

definiowanej krzywej.

5.

Gładkość powierzchni jest kontrolowana przez stopnie

k

i

l

funkcji

bazowych.

6.

Stopień wielomianu opisującego krzywą lub powierzchnię nie jest
zależny od liczby punktów kontrolnych.

Krzywe β-sklejane (Barsky 1984)

Niech wycinek

i

jednorodnej kubicznej krzywej B-sklejanej określonej przez N+1 punktów kontrolnych

będzie zdefiniowany równaniem:

gdzie:
-

P

i+r

– punkty kontrolne, i=<2, N-1>

-

t

- parametr równania należący do przedziału <0, 1>

-

b

r

(t) – funkcja bazowa.

Dla krzywych kubicznych B-sklejanych ciągłość połączenia w punktach brzegowych jest stopnia C @C @C :

∑

−

=

+

=

1

2

)

(

)

(

r

r

r

i

i

t

b

P

t

C

Dla krzywych kubicznych B-sklejanych ciągłość połączenia w punktach brzegowych jest stopnia C

0

@C

1

@C

2

:

Wykorzystując, te warunki ciągłości otrzymujemy wielomiany funkcji B-sklejanej:

2

2

2

1

2

1

1

)

(

)

(

).

3

)

(

)

(

).

2

)

(

)

(

).

1

dt

t

C

d

dt

t

C

d

dt

t

dC

dt

t

dC

t

C

t

C

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

=

=

=

−

−

−

6

3

3

1

)

(

6

3

6

4

)

(

6

3

3

3

1

)

(

6

)

(

3

2

2

3

2

1

3

2

0

3

1

t

t

t

t

b

t

t

t

b

t

t

t

t

b

t

t

b

−

+

−

=

+

−

=

−

+

+

=

=

−

−

Krzywe β-sklejane

Dla krzywych β-sklejanych zmodyfikowane zostały warunki wynikające z ciągłości
połączenia w punktach brzegowych:

2

2

1

2

2

1

2

2

1

1

1

1

)

(

)

(

)

(

).

3

)

(

)

(

).

2

)

(

)

(

).

1

dt

t

C

d

dt

t

dC

dt

t

C

d

dt

t

dC

dt

t

dC

t

C

t

C

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

=

+

=

=

−

−

−

−

β

β

β

Wycinek

i

krzywej β-sklejanej jest zdefiniowany jako:

gdzie:
-

P

i+r

– punkty kontrolne, i=<2, N-1>

-

t

- parametr równania należący do przedziału <0, 1>

-

b

r

(

β

1

, β

2

, t

) – bazowa funkcja β-sklejana.

-

β

1

, β

2

– parametry wpływające na kształt krzywej

∑

−

=

+

=

1

2

2

1

)

,

,

(

)

(

r

r

r

i

i

t

b

P

t

C

β

β

2

2

2

1

dt

dt

dt

Krzywe β-sklejane

Wykorzystując, nowe warunki ciągłości można wyznaczyć bazowe funkcje

β

-

sklejane:

µ

β

β

β

β

β

β

µ

β

β

β

β

β

µ

β

β

2

3

2

2

3

1

2

3

2

1

2

3

1

2

1

1

3

2

2

2

1

2

2

1

2

1

0

3

2

1

1

)

1

3

2

(

)

2

3

(

2

)

2

3

(

2

)

3

3

(

2

)

,

,

(

)

1

(

2

)

2

3

(

)

3

(

2

)

3

(

2

)

,

,

(

2

)

,

,

(

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

b

t

t

t

t

t

t

t

t

b

t

t

b

+

−

+

+

−

+

+

−

+

+

−

=

−

+

−

+

−

+

−

=

=

−

gdzie:

Parametr

β

1

wpływa na kierunek przylegania krzywej do łamanej kontrolnej

(ang.

bias

)

Parametr

β

2

) wpływa na stopień przylegania krzywej (napięcie krzywej) do

łamanej kontrolnej (ang.

tension)

Jeżeli

β

1

= 1 i

β

2

= 0 funkcje bazowe

β

–sklejane redukują się do jednorodnych

kubicznych funkcji bazowych B-sklejanych.

µ

β

β

β

3

2

3

1

2

1

2

)

1

(

2

)

,

,

(

t

t

t

b

−

=

−

2

4

4

2

2

1

2

1

3

1

+

+

+

+

=

β

β

β

β

µ

Dla

β

1

= 1 i

β

2

= 0 - funkcje bazowe

β

-sklejane redukują się do funkcji bazowych B-sklejanych

Dla

β

2

= 0

- β

1

= 1 krzywa jest równomiernie napięta

- β

1

= V, V>1 krzywa jest naciągana w kierunku początkowego punktu kontrolnego

- β

1

= 1/V, V>1 krzywa jest naciągana w kierunku przeciwnym, w kierunku końcowego

punktu kontrolnego

Wpływ parametrów

β

1

i

β

2

na kształt krzywej

Dla

β

1

= 1

-

β

2

= 0 krzywa normalnie przylega do łamanej kontrolnej, jest normalnie napięta

-

β

2

> 0 stopień przylegania krzywej do łamanej kontrolnej (napięcie krzywej) wzrasta wraz ze

wzrostem wartości parametru

β

1

= 1

β

2

= 0

β

1

= 0.5

β

2

= 0

β

1

= 2

β

2

= 0

β

1

= 1

β

2

= 0

β

1

= 1

β

2

= 5

β

1

= 1

β

2

= 90

Powierzchnie β-sklejane

Powierzchnia β-sklejana jest definiowana przez siatkę punktów kontrolnych
{P

0

, P

1

, ...., P

N

,} oraz {P

0

, P

1

, ...., P

M

,} tworzących przestrzenny graf kontrolny

o (N+1)x(M+1) wierzchołkach. Równanie parametryczne powierzchni ma postać:

gdzie:

∑ ∑

−

=

−

=

+

+

=

1

2

1

2

2

1

2

1

,

,

)

,

,

(

)

,

,

(

)

,

(

r

s

s

r

s

j

r

i

j

i

v

b

u

b

P

v

u

S

β

β

β

β

gdzie:
-

P

i+r,j+s

– punkty kontrolne gdzie: i=<2, N-1>, j=<2, M-1>;

-

u, v

– parametry równania należące do przedziału <0, 1>;

-

b

r

(

β

1

, β

2

, u

) – bazowa funkcja β-sklejana z parametrem

u;

-

b

s

(

β

1

, β

2

, v

) – bazowa funkcja β-sklejana z parametrem

v;

-

β

1

, β

2

– parametry wpływające na kształt powierzchni

Własności krzywych i powierzchni β-sklejanych

Powierzchnia β-sklejana jest iloczynem tensorowym krzywych β-sklejanych.
Własności powierzchni są analogiczne do własności krzywych - konstruowane
są z wykorzystaniem tych samych funkcji bazowych. Posiadają większość
własności krzywych i powierzchni B-sklejanych, a ponadto:

1.

Mogą być wykorzystywane w w procesie modelowania, w których
wymagana jest dokładna kontrola kształtu generowanych obiektów.

2.

Parametr

β

1

odpowiada za kierunek przylegania modelowanej krzywej

lub powierzchni do łamanej kontrolnej lub grafu kontrolnego.

3.

Parametr

β

2

odpowiada za stopień przylegania modelowanej krzywej

3.

Parametr

β

2

odpowiada za stopień przylegania modelowanej krzywej

lub powierzchni do łamanej kontrolnej lub grafu kontrolnego.

4.

Kontrola kształtu oraz transformacje mogą być dokonywane lokalnie.

5.

Parametry

β

1

i β

2

mogą być przedstawione w postaci funkcji, co

umożliwia ciągłą kontrolę kształtu.

6.

Stopień wielomianów bazowych funkcji β-sklejanych jest stały - 3 dla
krzywych i 6 dla powierzchni.

7.

Nie przechodzą przez punkty kontrolne, nawet przez punkt początkowy
i końcowy. Dla zapewnienia przejścia przez określony punkt kontrolny
należy zdefiniować dodatkowe punkty kontrolne.

Krzywe i powierzchnie β2-sklejane (Barsky 1985)

Wycinek

i

krzywej β2-sklejanej określonej przez N+1 punktów kontrolnych jest

zdefiniowany jako:

gdzie:

∑

−

=

+

=

1

2

2

)

,

(

)

(

r

r

r

i

i

t

b

P

t

C

β

gdzie:
-

P

i+r

– punkty kontrolne, i=<2, N-1>

-

t

- parametr równania należący do przedziału <0, 1>

-

b

r

(

β

2

, t

) – bazowa funkcja β2-sklejana.

-

β

2

– parametr wpływający na kształt krzywej

Funkcje β2-sklejane są prostsze od funkcji β-sklejanych i tym samym złożoność
obliczeniowa algorytmów wyznaczania wartości tych funkcji jest znacznie
mniejsza. Kształt generowanej krzywej jest kontrolowany przez jeden parametr
odpowiadający parametrowi β2 w funkcjachβ-sklejanej.

Krzywe i powierzchnie β2-sklejane (Barsky 1985)

Dla krzywych β2-sklejanych warunki wynikające z ciągłości połączenia w
punktach brzegowych są następujące:

2

2

1

2

2

1

2

1

1

)

(

)

(

)

(

).

3

)

(

)

(

).

2

)

(

)

(

).

1

dt

t

C

d

dt

t

dC

dt

t

C

d

dt

t

dC

dt

t

dC

t

C

t

C

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

=

+

=

=

−

−

−

−

β

Z warunków tych wyznaczyć można bazowe funkcje β-sklejane:

gdzie:

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

)

1

(

2

)

,

(

)

3

(

2

)

4

(

3

8

)

,

(

)

3

(

2

)

2

(

3

6

2

)

,

(

2

)

,

(

3

2

2

2

2

2

2

2

1

2

2

2

0

3

2

1

t

t

b

t

t

t

b

t

t

t

t

b

t

t

b

−

Ω

=

+

+

+

−

+

+

Ω

=

+

−

+

+

+

Ω

=

Ω

=

−

−

β

β

β

β

β

β

β

β

β

12

1

2

+

=

Ω

β

Powierzchnie β2-sklejane

Powierzchnia β2-sklejana jest definiowana przez siatkę punktów
kontrolnych {P

0

, P

1

, ...., P

N

,} oraz {P

0

, P

1

, ...., P

M

,} tworzących

przestrzenny graf kontrolny o (N+1)x(M+1) wierzchołkach.
Równanie parametryczne powierzchni ma postać:

∑ ∑

−

=

−

=

+

+

=

1

2

1

2

2

2

,

,

)

,

(

)

,

(

)

,

(

r

s

s

r

s

j

r

i

j

i

v

b

u

b

P

v

u

S

β

β

gdzie:
-

P

i+r,j+s

– punkty kontrolne gdzie: i=<2, N-1>, j=<2, M-1>;

-

u, v

– parametry równania należące do przedziału <0, 1>;

-

b

r

(

β

2

, u

) – bazowa funkcja β2-sklejana z parametrem

u;

-

b

s

(

β

2

, v

) – bazowa funkcja β2-sklejana z parametrem

v;

-

β

2

– parametr wpływające na kształt powierzchni

Grafika komputerowa

Grafika komputerowa

Wykład

Modelowanie brył

Metody opisu brył (ang.

solid representation)

1. Prymitywy przestrzenne
2. Lokalizacja przestrzenna
3. Drzewa ósemkowe (ang.

octrees

)

4. Zakreślanie przestrzeni (ang.

sweeping

)

5. Konstrukcyjna geometria brył – CSG

5. Konstrukcyjna geometria brył – CSG

(ang.

Constructive Solid Geometry

)

6. Siatki wielokątów
7. Opis brzegowy – BR (Brep)

(ang.

Boundary representation

)