Poszczególne elementy konstrukcyjne w czasie pracy przenoszą pewne obciążenia. W elementach tych panują więc naprężenia, które nazywamy naprężeniami rzeczywistymi.

      Naprężenia, które mogą występować w materiale bez obawy naruszenia warunku wytrzymałości i warunku sztywności, nazywamy naprężeniami dopuszczalnymi.
Oznaczamy je literą k z odpowiednim indeksem dolnym, charakteryzującym rodzaj odkształcenia:
      k_r - naprężenie dopuszczalne przy rozciąganiu,
      k_c - naprężenie dopuszczalne przy ściskaniu,
      k_g - naprężenie dopuszczalne przy zginaniu,
      k_t - naprężenie dopuszczalne przy ścinaniu,
      k_s - naprężenie dopuszczalne przy skręcaniu.

Liczbę n oznaczającą, ile razy naprężenie dopuszczalne jest mniejsze od granicy wytrzymałości (dla materiałów kruchych) lub od granicy plastyczności (dla materiałów plastycznych), nazywa się współczynnikiem bezpieczeństwa.

W przypadku rozciągania materiałów kruchych

                 

Dla materiałów plastycznych

                 

gdzie: R_m - granica wytrzymałości na rozciąganie, otrzymana w wyniku prób wytrzymałościowych, R_e - granica plastyczności.

Układy statycznie wyznaczalne charakteryzują się tym, że siły wewnętrzne występujące w poszczególnych elementach tych układów mogą być wyznaczone z równań równowagi.

Obliczenia wytrzymałościowe elementu rozciąganego lub ściskanego wykonuje się w celu sprawdzenia czy są spełnione warunki wytrzymałościowe

                 

gdzie P - siła rozciągająca (ściskająca), A - pole przekroju poprzecznego elementu rozciąganego (ściskanego), k_r - naprężenie dopuszczalne przy rozciąganiu, k_c - naprężenie dopuszczalne przy ściskaniu.

Naprężenie dopuszczalne na rozciąganie i ściskanie k_r  i k_c

                 

gdzie R_c, R_m, R_e - wytrzymałość na ściskanie i rozciąganie, n - współczynnik bezpieczeństwa.

Często spełnienie powyższych warunków wytrzymałościowych  nie wystarcza do właściwego zaprojektowania konstrukcji. Z tego względu musi być jeszcze spełniony warunek sztywności

                 

Według tego warunku odkształcenie lub przemieszczenie punktów projektowanego elementu nie powinno przekroczyć wartości odkształcenia lub przemieszczenia, przyjętego dla danej konstrukcji jako dopuszczalne.

Współczynnik bezpieczeństwa n – stosowana w inżynierii liczba niemianowana mówiąca, ile razy naprężenie σ występujące podczas normalnej pracy konstrukcji jest mniejsze od naprężenia niebezpiecznego σ_n.

Podczas projektowania wprowadza się współczynnik bezpieczeństwa, ponieważ z reguły nie jest możliwe dokładne określenie wszystkich możliwych obciążeń konstrukcji, metody obliczeniowe cechuje pewien błąd, materiały nie są idealnie jednorodne a ich parametry cechuje pewien rozrzut, mogą wystąpić niedokładności związane z technologią wykonania, a elementy ulegają zużyciu, korozji itp.

Współczynnik bezpieczeństwa jest to liczba większa od jedności mówiąca ile razy wielkość dopuszczalna jest mniejsza od wielkości uznawanej za niebezpieczną. Stosowany jest w odniesieniu do naprężeń obciążeń i stanowi przedmiot szeregu norm, szczególnie duże wartości osiąga w obliczeniach stateczności. Współczynnik bezpieczeństwa jest zmienny i wynosi od 1,5 do 3 dla materiałów elastycznych i od 8 do 12 dla materiałów kruchych, uwzględnia wartości technologiczne, warunki pracy i dopuszczalne błędy.

Warunki współczynników bezpieczeństwa:

• jednorodność materiału

• jakość wykonania

• naprężenia wstępne w czasie procesu technologicznego np. kucia, odlewu, spawania

• obciążenia przewidywane i przypadkowe

• czynnik niedoskonałości ludzkiej

• niedoskonałość metod obliczeniowych

• wpływ czasu pracy- procesy korozji, ścierania, wietrzenia

• zmęczenie materiału

• spiętrzenie naprężeń

Współczynnik bezpieczeństwa dla obciążeń stałych dobiera się:

• dla stali konstrukcyjnej x=2,0-2,3

• dla stali sprężynowej x=1,6

• dla żeliwa x=3,5

Aby określić współczynnik bezpieczeństwa należy ustalić następujące czynniki:

• stopień znaczenia części dla pewności działania maszyny

• poprawność przyjętego schematu obciążeń przy obliczeniach wytrzymałościowych

• prawidłowość uwzględnienia rodzaju obciążenia (stale, zmienne)

• pewność odnośnie do materiału

• przewidywana jakość wykonania

• kształt części i stan jej powierzchni

Współczynnik bezpieczeństwa zależy od rodzaju zastosowanego materiału, przeznaczenia zastosowanego elementu, czasu pracy, warunków pracy, grubości materiału itd. Obliczeniowy współczynnik wytrzymałościowy złącza spawanego składa się z dwóch elementów . z₁ zależy od rodzaju połączenia spawanego, z_dop zależy od technologii wykonania spoiny. Współczynnik ten przyznawany jest poszczególnym zakładom przez Urząd Dozoru Technicznego.

Momentem gnącym w danym przekroju belki nazywamy sumę momentów (względem środka ciężkości tego przekroju) wszystkich sił zewnętrznych działających na część belki odciętą tym przekrojem.

      Moment zginający uważamy za dodatni, jeśli wygina on belkę wypukłością ku dołowi. Momenty zginające wyginające belkę wypukłością do góry uważamy za ujemne.

      Siłą normalną w danym przekroju poprzecznym belki nazywamy rzut na kierunek normalnej wypadkowej wszystkich sił zewnętrznych działających na część belki odciętą tym przekrojem.

      Siłą tnącą w danym przekroju poprzecznym belki nazywamy rzut na płaszczyznę tego przekroju wypadkowej wszystkich sił zewnętrznych działających na część belki odciętą tym przekrojem.

      Obliczając siłę tnącą przez sumowanie sił zewnętrznych po lewej stronie przekroju, należy siły zewnętrzne zwrócone do góry uważać za dodatnie, a siły zwrócone w dół - za ujemne. Obliczając natomiast siłę tnącą przez sumowanie sił po prawej stronie przekroju, należy siły zewnętrzne zwrócone do góry uważać za ujemne, a siły zwrócone w dół za dodatnie.

   

      Wykresy momentów gnących i sił tnących ilustrują przebieg obciążenia belki wzdłuż jej osi.

Moment gnący w dowolnym przekroju belki zginanej to algebraiczna suma momentów sił zewnętrznych działających po jednej stronie (lewej lub prawej) rozważanego przekroju względem środka masy tego przekroju.

Ścinanie – odkształcenie ciała spowodowane naprężeniem stycznym do jego powierzchni. W wytrzymałości materiałów ścinanie traktuje się również jako stan obciążenia spowodowany takimi naprężeniami. Naprężenie styczne do powierzchni ciała nazywane jest naprężeniem ścinającym.

Ścinaniu zazwyczaj towarzyszą inne odkształcenia, występują inne typy stanów obciążenia, np. docisk. Dzieje się tak m.in. w połączeniach nitowych, klinowych i wpustowych.

Istnieje również pojęcie czystego ścinania, w którym naprężenia normalne są równe zero a naprężenia styczne są różne od zera. Przypadek taki ma miejsce w złożonym stanie naprężenia, gdy materiał jest rozciągany wzdłuż jednego kierunku i ściskany wzdłuż drugiego (prostopadłego) kierunku.

Obliczenia wytrzymałościowe

Zgodnie z definicją naprężenie tnące (ścinające) w przekroju wynosi

gdzie:

τ – średnie naprężenie tnące,

F – siła zewnętrzna tnąca,

S – pole przekroju poprzecznego.

Zgodnie z hipotezą wytężeniową naprężenie musi spełniać warunek:

gdzie — wytrzymałość na ścinanie.

Skocz do: nawigacji, szukaj

Naprężenie zrywające to minimalne naprężenie potrzebne do zniszczenia znormalizowanej próbki z badanego materiału poprzez jej zerwanie. Obciążenie zrywające oznacza się jako . Na podstawie statycznej próby rozciągania wyznacza się potrzebne wielkości, a następnie oblicza ze wzoru^[1]:

,

gdzie:

• - pole najmniejszego przekroju poprzecznego próbki po zerwaniu

• - minimalna siła potrzebna do zerwania próbki

Naprężenie – miara gęstości powierzchniowej sił wewnętrznych występujących w ośrodku ciągłym. Jest podstawową wielkością mechaniki ośrodków ciągłych. Jednostką naprężenia jest paskal.

Naprężenie w dowolnym punkcie zależy od kierunku, w którym jest rozpatrywane. Mimo iż pole powierzchni przekroju A dąży do zera, czyli przekrój dąży do punktu, istotne jest jaki kierunek miała normalna do powierzchni przekroju:

Wektor naprężenia występujący w dowolnym przekroju można rozłożyć na dwie składowe:

gdzie:

s – wektor naprężenia,

F – wektor sił wewnętrznych w ciele działających w przekroju,

A – pole przekroju,

σ – składowa normalna (prostopadła do powierzchni),

n – wektor normalny do powierzchni,

τ – składowa ścinająca (równoległa do powierzchni).

Kartezjański układ współrzędnych

Oznaczenia składowych stanu naprężenia.

Wprowadzając w kartezjańskim układzie współrzędnych w dowolnym punkcie^[1] ciała, w którym występuje stan naprężenia, trzy przekroje prostopadłe do osi współrzędnych dowolnie zorientowanego prostokątnego układu współrzędnych, można wyznaczyć dziewięć składowych stanu naprężenia, są to kolejno: σ_x, τ_xy, τ_xz, σ_y, τ_yx, τ_yz, σ_z, τ_zx, τ_zy.

Jeżeli zwrot wektora naprężenia normalnego skierowany jest od punktu, naprężenie normalne przyjmuje wartość dodatnią i nazywane jest naprężeniem rozciągającym. W przeciwnym razie jest naprężeniem ściskającym.

Na przykład dla powierzchni "górnej" (patrz rysunek), czyli prostopadłej do osi z zachodzi:

gdzie: k = n – wersor osi z, a jednocześnie wektor normalny do rozpatrywanej powierzchni; i, j – wersory osi odpowiednio x i y.

Składowe naprężeń stycznych spełniają następujące warunki:

τ_xy = τ_yx

τ_xz = τ_zx

τ_yz = τ_zy

W rozważanym punkcie można tak zorientować układ współrzędnych, iż naprężenia styczne są równe zeru a niezerowe pozostają wyłącznie naprężenia normalne. Tak zorientowany układ współrzędnych wyznacza kierunki główne stanu naprężenia. Odpowiadające mu niezerowe składowe normalne to wartości główne naprężeń lub po prostu naprężenia główne.

Zapis tensorowy

Naprężenie w oderwaniu od kierunku powierzchni przekroju może być opisane przez tensor naprężenia σ reprezentowany przez macierz zawierającą składowe naprężenia, której elementy przekształcają się wraz z przyjętym układem współrzędnych (np. jego obrotem). W każdym przypadku możliwe jest takie dobranie tensora naprężenia, aby prawdziwa była równość:

gdzie: g – wektory bazowe układu współrzędnych lub w notacji tensorowej:

Dowodzi się z prawa zachowania momentu pędu, że tensor naprężenia jest symetryczny, to jest:

Moment skręcający – w mechanice moment pary sił, którego wektor jest równoległy do osi elementu skręcanego, najczęściej pręta lub wału.

O wielkości skręcenia na jednostkę długości pręta, wywołanego przez dany moment skręcający decydują:

• wytrzymałość materiału, z którego wykonany jest poddany skręcaniu element, charakteryzowana przez moduł Kirchhoffa,

• "sztywność" przekroju konkretnego pręta, wyrażana przez wskaźnik wytrzymałości na skręcanie.

Wzory

• Moment pary sił odległych o o wartości wynosi .

Prawo Hooke'a – prawo mechaniki określające zależność odkształcenia od naprężenia. Głosi ono, że odkształcenie ciała pod wpływem działającej na nie siły jest wprost proporcjonalne do tej siły. Współczynnik między siłą a odkształceniem jest często nazywany współczynnikiem (modułem) sprężystości.

Ta prawidłowość, sformułowana przez Roberta Hooke'a (1635-1703) w formie ut tensio sic vis (gdzie naprężenie, tam siła), pozostaje prawdziwa tylko dla niezbyt dużych odkształceń, nie przekraczających tzw. granicy Hooke'a (zwanej też granicą proporcjonalności), i tylko dla niektórych materiałów. Prawo Hooke'a zakłada też, że odkształcenia ciała, w reakcji na działanie sił, następują w sposób natychmiastowy i całkowicie znikają, gdy przyłożone siły przestają działać. Takie uproszczenie jest wystarczające jedynie dla ciał o pomijalnie małej lepkości.

Osiowy stan naprężenia i odkształcenia

Zależność obciążenia i naprężenia od odkształceń z zaznaczonym zakresem stosowalności prawa Hooke'a

Najprostszym przykładem zastosowania prawa Hooke'a jest rozciąganie statyczne pręta. Bezwzględne wydłużenie takiego pręta jest wprost proporcjonalne do siły przyłożonej do pręta, do jego długości i odwrotnie proporcjonalne do pola przekroju poprzecznego pręta. Współczynnikiem proporcjonalności jest moduł Younga E

gdzie:

F – siła rozciągająca,

S – pole przekroju,

Δl – wydłużenie pręta,

l – długość początkowa.

W przypadku pręta bądź drutu o stałej średnicy można to wyrazić prościej: wydłużenie względne jest proporcjonalne do działającej siły.

Stosując definicje odkształcenia i naprężenia można powiedzieć, że względne wydłużenie jest proporcjonalne do naprężenia, co można zapisać:

gdzie:

– odkształcenie względne,

  – naprężenie.

Trójwymiarowy stan naprężenia i odkształcenia

Prawo Hooke’a dla ogólnego, trójwymiarowego układu naprężeń w przypadku materiału izotropowego może być zapisane w postaci układu równań:

dla odkształceń liniowych

dla odkształceń kątowych własnych

gdzie:

ε – odkształcenie liniowe w punkcie,

σ – naprężenie liniowe w punkcie,

γ – odkształcenie postaciowe (kątowe) w punkcie,

τ – naprężenie kątowe w punkcie,

G – współczynnik sprężystości postaciowej (poprzecznej) lub moduł Kirchhoffa,

E – moduł Younga

- współczynnik Poissona.

Zapis tensorowy

W ujęciu ogólnym (dla materiału anizotropowego) jako współczynnik proporcjonalności stosuje się tensor sztywności c

lub tensor podatności b