Zginanie ukośne powstaje gdy para sił wywołująca zginanie nie działa w płaszczyźnie zawierającej główne centralne osie bezwładności przekrojów poprzecznych pręta. W takim przypadku wektor momentu gnącego nie pokrywa się z kierunkiem osi głównych przekrojów poprzecznych jeżeli wektor Mg tworzy kąt α z osią y to moment ten zapisujemy jako dwie składowe My=Mgcosα , Mz=Mgsinα, z,y – współrzędne punktu A. σA’=-My*z/Iy; σA’’=Mz*y/Iż; σA= σA’+ σA’’=-My*z/Iy + Mz*y/Iż; σA’=-Mgcosα*z/Iy; σA’’=Mgsinα*y/Iż; σA= σA’+ σA’’=-Mgcosα*z/Iy + Mgsinα*y/Iz – równanie osi obojętnej przekroju. oś obojętna jest prostą przechodzącą przez środek ciężkości przekroju poprzecznego, a jego współczynnik kierunkowy tgβo=tgα*Iy/Iz . Zginanie ze skręcaniem to przypadek, w którym w wyniku redukcji wszystkich sił zewnętrznych działających po jednej stronie przekroju myślowego otrzymamy w tym przekroju moment gnący i moment skręcający σg=Mg/Wg; τs=Ms/Wo; Wg=πd^3/32; Wo= πd^3/16; Wo=2Wg; $\sigma_{o}^{n} = \sqrt{\sigma_{g}^{2} + 3\tau_{s}^{2}}\ \sigma_{o} = \sqrt{(\frac{M_{g}}{W_{g}})^{2} + (3\frac{M_{s}}{{2W}_{g}})^{2}} = \sqrt{(\frac{M_{g}}{W_{g}})^{2} + (3\frac{M_{s}2}{{4W}_{g}2})} = \frac{1}{W_{g}}\sqrt{\text{Mg}^{2} + \frac{3}{4}\text{Ms}^{2}};\ \text{Mz} = \sqrt{\text{Mg}^{2} + \frac{3}{4}\text{Ms}^{2}}$ - moment zastępczy; σo=Mz/Wg <=kz – warunek wytrzymałości przy zginaniu ze skręcaniem. Zginanie ze ścinaniem przekrój 1-1: Dla A: S1=b*e(c+1/2e) by=b τA=T*S1/b*Iż. Dla B: by=g; τB=T*S1/g*Iż; oś obojętna: wartości τmax, σ=0; S2=S1+1/2g*c^2; τmax=T(S1+1/2g*c^2)/g*Iz obliczenia wytrzymałościowe: - we włóknach położonych najdalej od osi obojętnej, gdzie τ=0 i gdzie występują tylko naprężenia od zginania, należy sprawdzić warunek: σg=Mg(c+e)/Iz <=kV (c+e) – odl. maks. T(x)=dM(x)/dx = const $\sum_{}^{}{P_{i_{x}} = - \tau\left( y \right)\text{dxby} - \int_{y}^{y_{\max}}{\text{σdA} + \int_{y}^{y_{\max}}{\left( \sigma + \text{dσ} \right)\text{dA} = 0}}}$; ∫y^ymaxdσdA = τ(y)dxby Mg*y/Iz = σ(y) – naprężenie normalne powstałe od zginania; dσ(y)=dMg*y/Iz . $\int_{y}^{y_{\max}}{\frac{\text{dMg}_{x}}{I_{z}}ydA = \tau\left( y \right)\text{dxby}}$ $\text{dMg}\frac{1}{I_{z}}\int_{y}^{y_{\max}}{\text{ydA} = \tau\left( y \right)\text{dxby}}$ dMgx/dx=T(x) $\frac{\text{dMgx}}{\text{dx}}*\frac{1}{\text{by}*\text{Iz}}\int_{y}^{y_{\max}}{\text{ydA} = \tau\left( y \right)}$ ∫y^ymaxydA =  Sy^ymax −  moment statyczny zawierajacy sie od y do ymax $\tau\left( y \right) = \frac{T\left( x \right)*S_{y}^{y_{\max}}}{\text{by}*\text{Iz}} - \ \text{wz}or\ Z\text{urawskiego}\ \text{na}\ \text{warto}sc\ \text{napr}ezen\ w\ \text{przypadku}\ \text{zginania}\ \text{ze}\ s\text{cinaniem}$ T(x) – siła tnąca Sy^ymax - moment statyczny względem osi obojętnej tej części przekroju poprzecznego, która zawarta jest między współrzędnymi y i ymax odmierzanymi od osi obojętnej pokrywającą się z osią Z. by – szerokość przekroju poprzecznego belki na poziomie określonym współrzędną y. Iz – moment bezwładności względem osi Z. Wyboczenie prętów Wyboczeniem nazywamy taki przypadek, w którym na wynik redukcji wszystkich sił działających po jednej stronie myślowego przekroju otrzymamy siłę przyłożoną w środku ciężkości i ściskającą dany przekrój. W przypadku prętów smukłych, siła ta powoduje zakrzywienie zwane wyboczeniem. $- Mg\left( x \right) = EI\frac{d^{2}y}{dx^{2}} - \ rozniczkowe\ rownanie\ ugiecia\ linii\ preta$ $\text{EI}\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = - Mg\left( x \right) = - P*y$ ; $\text{EI}\frac{d^{2}y}{dx^{2}} + P*y = 0\ /:EI$ $\frac{d^{2}y}{dx^{2}} + \frac{\text{Py}}{\text{EI}} = 0$ ; P/EI = k^2 ; y”+k^2y=0 gdzie y”=d^2y/dx^2; y=Asinkx+Bcoskx; x=0 => y=0 => B=0 => A=/ 0 x=l => y=0; Asinkl = 0 A=0 i sinkl = 0 jeśli A = 0 pręt nie ulegnie wyboczeniu; k=n*π/l ; k^2=n^2π^2/l^2=P/EI ; P= n^2π^2EI/l^2; jeżeli n=0 => P=0; n=1 => P=$\frac{\pi^{2}\text{EI}}{l^{2}}$ => y=Asin$\frac{\pi}{l}x$; n=2 => P=$\frac{{4\pi}^{2}\text{EI}}{l^{2}}$ – 1 siła krytyczna Eulera $Pkr = \frac{\pi^{2}EI_{\min}}{lw^{2}}$ – ogólny wzór na siłę krytyczną Eulera gdzie lw – długość wyboczeniowa pręta zależna od warunków zamocowania: -przegubowe l=lw; -z jednej strony przegub z drugiej utwierdzenie lw=0,7l; -utwierdzenie obustronne lw=0,5l; -utwierdzenie jednostronne lw=2l; $\sigma_{\text{kr}} = \frac{P_{\text{kr}}}{A} = \frac{\pi^{2}EI_{\min}}{lw^{2}*A}$ $i_{\min} = \sqrt{\frac{I_{\min}}{A}} - \ promien\ bezwladnosci$ $\frac{P_{\text{kr}}}{A} = \frac{\pi^{2}Ei_{\min}^{2}}{lw^{2}} = \frac{\pi^{2}E}{{(\frac{l_{w}}{i_{\min}})}^{2}} = \frac{\pi^{2}E}{\text{lambda}^{2}}$; λ=lw/imin -> smukłość. Metoda Maxwella Mohra $f_{k} = \frac{1}{\text{EI}}\int_{l}^{}{\text{Mg}_{i}*\text{mg}_{i}*\text{dx}_{i}}$ gdzie Mg – moment gnący od siły rzeczywistej, mg – moment gnący od siły uogólnionej jednostkowej Równanie kanoniczne metody sił α11x1 + α12x2 + … + α1nxn + α10 = 0; α21x1 + α22x2 + … + α2nxn + α20 = 0; αn1x1 + αn2x2 + … + αnnxn + αn0 = 0 Twierdzenie Castigliano $V = \frac{1}{2}(P_{1}f_{1} + P_{2}f_{2} + \ldots + P_{i}f_{i} + \ldots + P_{n}f_{n})$; $\delta V = \frac{1}{2}(\delta Pi*\delta fi)$ δL = δPifi; $V_{2} = \partial V + V + \delta L = \frac{1}{2}\left( \text{δPifi} \right) + V + \delta Pifi$; V1=V2; $V + \frac{\partial V}{\partial Pi}\delta Pi = \frac{1}{2}\left( \text{δPiδfi} \right) + V + \delta Pifi$ δPiδfi ≈ 0 δPi ≠ 0; $\frac{\partial V}{\partial Pi} = fi$ ; pochodna cząstkowa energii sprężystej układu względem siły uogólnionej jest równa współrzędnej uogólnionej odpowiadającej tej sile. $V = \int_{0}^{l}{\frac{{M_{g}}^{2}\text{dx}}{2EI} = \frac{1}{2EI}\int_{0}^{l}{{M_{g}}^{2}\text{dx}}}$; $f = \frac{\partial V}{\partial P} = \frac{1}{\text{EI}}\int_{0}^{l}{M_{g}\frac{\partial M_{g}}{\partial P}}\text{dx}$. metoda analityczna wyznaczania linii ugięcia belek – wyprowadzenie Na skutek działania momentu Mg oś belki ulega odkształceniu. Wyjściowym wzorem jest wzór $\text{EI}\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = M_{g}$ Po scałkowaniu tego równania otrzymujemy kąt nachylenia dy/dx stycznej $\text{EI}\frac{\text{dy}}{\text{dx}} = C + \alpha$. W wyniku ponownego scałkowania otrzymamy równanie linii ugięcia belki y=f(x) EIy = D + Cx + β. Stałe całkowania wyznaczamy zakładając odpowiednie warunki brzegowe. metoda wykreślno-analityczna wyznaczania linii ugięcia (sposoby podparcia belek wtórnych w metodzie wykreślno-analitycznej) $M\left( x \right) = EI\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ całkując otrzymujemy równanie $\text{EI}\frac{\text{dy}}{\text{dx}} = \frac{d\overset{\overline{}}{M}(x)}{\text{dx}} = \overset{\overline{}}{T}(x)$. Po ponownym scałkowaniu otrzymujemy $EIy = \overset{\overline{}}{M}(x)$; $\frac{\text{dy}}{\text{dx}} = \theta i = \frac{\overset{\overline{}}{T}(x)}{\text{EI}}$ $y = fi = \frac{\overset{\overline{}}{M}(x)}{\text{EI}}$ . Aby zrównać stałe całkowania musimy przyjąć odpowiednie schematy. W tym celu muszą być spełnione następujące warunki: 1. jeżeli ugięcie w danym przekroju belki rzeczywistej jest równe 0, to w tym przekroju belki fikcyjnej $\overset{\overline{}}{\text{Mg}}$(x)=0. 2. jeżeli kąt obrotu przekroju belki rzeczywistej jest równy 0, to w tym przekroju belki fikcyjnej $\overset{\overline{}}{T}\left( x \right) = 0$. 3. jeżeli w którymkolwiek przekroju belki rzeczywistej ugięcie i kąt obrotu ≠ 0, to w tym przekroju belki wtórnej: $\overset{\overline{}}{\text{Mg}}\left( x \right) \neq 0\ \ i\ \overset{\overline{}}{T}(x) \neq 0$ Sposoby podparcia belek wtórnych: Metoda Clebsha 0 ≤ x1 ≤ a;  a ≤ x2 ≤ b;  b ≤ x3 ≤ c; c ≤ x4 ≤ d; $d \leq x_{5} \leq l;\ M_{g}\left( x_{5} \right) = R_{A}x_{5} - P\left( x_{5} - a \right) + M(x_{5} - b)^{0} - \frac{q(x_{5} - c)^{2}}{2} + \frac{q(x_{5} - d)^{2}}{2}$; $\text{EI}\frac{d^{2}y_{5}}{d{x_{5}}^{2}} = - R_{A}\frac{{x_{5}}^{1}}{1!} + P\frac{(x_{5} - a)^{1}}{1!} - M\frac{(x_{5} - b)^{0}}{0!} + \frac{q(x_{5} - c)^{2}}{2!} - \frac{q(x_{5} - d)^{2}}{2!}$ 5)$\left\{ \begin{matrix} \text{EI}\frac{dy_{5}}{dx_{5}} = - R_{A}\frac{{x_{5}}^{2}}{2!} + P\frac{(x_{5} - a)^{2}}{2!} - M\frac{(x_{5} - b)^{1}}{1!} + \frac{q(x_{5} - c)^{3}}{3!} - \frac{q(x_{5} - d)^{3}}{3!} + C_{5} \\ \text{EI}y_{5} = - R_{A}\frac{{x_{5}}^{3}}{3!} + P\frac{(x_{5} - a)^{3}}{3!} - M\frac{(x_{5} - b)^{2}}{2!} + \frac{q(x_{5} - c)^{4}}{4!} - \frac{q(x_{5} - d)^{4}}{4!} + C_{5}x_{5} + D_{5} \\ \end{matrix} \right.\ $ 4)$\left\{ \begin{matrix} \text{EI}\frac{dy_{4}}{dx_{4}} = - R_{A}\frac{{x_{4}}^{2}}{2!} + P\frac{(x_{4} - a)^{2}}{2!} - M\frac{(x_{4} - b)^{1}}{1!} + \frac{q(x_{4} - c)^{3}}{3!} + C_{4} \\ \text{EI}y_{4} = - R_{A}\frac{{x_{4}}^{3}}{3!} + P\frac{(x_{4} - a)^{3}}{3!} - M\frac{(x_{4} - b)^{2}}{2!} + \frac{q(x_{4} - c)^{4}}{4!} + C_{4}x_{4} + D_{4} \\ \end{matrix} \right.\ $ 3)$\ \left\{ \begin{matrix} \text{EI}\frac{dy_{3}}{dx_{3}} = - R_{A}\frac{{x_{3}}^{2}}{2!} + P\frac{(x_{3} - a)^{2}}{2!} - M\frac{(x_{3} - b)^{1}}{1!} + C_{3} \\ \text{EI}y_{3} = - R_{A}\frac{{x_{3}}^{3}}{3!} + P\frac{(x_{3} - a)^{3}}{3!} - M\frac{(x_{3} - b)^{2}}{2!} + C_{3}x_{3} + D_{3} \\ \end{matrix} \right.\ $ 2)$\ \left\{ \begin{matrix} \text{EI}\frac{dy_{2}}{dx_{2}} = - R_{A}\frac{{x_{2}}^{2}}{2!} + P\frac{(x_{2} - a)^{2}}{2!} + C_{2} \\ \text{EI}y_{2} = - R_{A}\frac{{x_{2}}^{3}}{3!} + P\frac{(x_{2} - a)^{3}}{3!} + C_{2}x_{2} + D_{2} \\ \end{matrix} \right.\ $ 1)$\ \left\{ \begin{matrix} \text{EI}\frac{dy_{1}}{dx_{1}} = - R_{A}\frac{{x_{1}}^{2}}{2!} + C_{1} \\ \text{EI}y_{1} = - R_{A}\frac{{x_{1}}^{3}}{3!} + C_{1}x_{1} + D_{1} \\ \end{matrix} \right.\ $ Jeżeli x4=d x5=d to $\left. \ \frac{d_{y_{4}}}{d_{x_{4}}} \right|x_{4} = d = \ \left. \ \frac{d_{y_{5}}}{d_{x_{5}}} \right|x_{5} = d = > \ C_{4} = C_{5}$; y4|x4=d = y5|x5=d => D4=D5; C5=C4=C3=C2=C1=C D5=D4=D3=D2=D1=D Równanie trzech momentów Metoda rozwiązywania belek wielopodporowych polega na wykorzystaniu warunku ciągłości belki, a więc faktu, że na każdej podporze końce linii ugięcia obu sąsiadujących ze sobą przęseł mają wspólną styczną.θn = θn1 + θn2; $\theta_{n_{1}} \rightarrow \theta = - \frac{\overset{\overline{}}{T}}{\text{EI}}$; $R^{'} = \frac{\varnothing_{n}*a_{n}}{l_{n}}$; $\overset{\overline{}}{T} = - \overset{\overline{}}{R}'$; $\theta_{n_{1}} = - \left( - \frac{\overset{\overline{}}{R}'}{\text{EI}} \right) = \frac{\varnothing_{n}*a_{n}}{l_{n}*EI}{;\ \theta}_{n_{2}} = \frac{M_{n}l_{n}}{3EJ} + \frac{M_{n - 1}*l_{n}}{6EI}$; $\theta_{n} = \theta_{n_{1}} + \theta_{n_{2}} = \frac{\varnothing_{n}*a_{n}}{l_{n}*EI} + \frac{M_{n}*l_{n}}{3EI} + \frac{M_{n - 1}*l_{n}}{6EI}$ Dla prawego przęsła ln+1; $\overset{\overline{}}{R}" = \frac{\varnothing_{n + 1}*b_{n + 1}}{l_{n + 1}}$ ; ${\theta_{n1}}^{'} = - \frac{\overset{\overline{}}{R"}}{\text{EI}} = \frac{{- \varnothing}_{n + 1}*b_{n + 1}}{l_{n + 1}}$; ${\theta_{n2}}^{'} = - \frac{M_{n}l_{n + 1}}{3EI} - \frac{M_{n + 1}l_{n + 1}}{6EI}$; θn^′ = θn1^′ + θn2^′; ${\theta_{n}}^{'} = \frac{- \varnothing_{n + 1}b_{n + 1}}{\text{EI}l_{n + 1}} - \frac{M_{n}l_{n + 1}}{3EI} - \frac{M_{n + 1}l_{n + 1}}{6EI}$; $\theta_{n} = {\theta_{n}}^{'};\ \frac{\varnothing a_{n}}{l_{n}} + \frac{1}{6}M_{n - 1}l_{n} + \frac{1}{3}M_{n}l_{n} = - (\frac{\varnothing_{n + 1}b_{n + 1}}{l_{n + 1}} + \frac{1}{3}M_{n}l_{n + 1} + \frac{1}{6}M_{n + 1}l_{n})$; $M_{n - 1}l_{n} + 2M_{n}\left( l_{n} + l_{n + 1} \right) + M_{n + 1}l_{n + 1} = - 6\left( \frac{\varnothing_{n}a_{n}}{l_{n}} + \frac{\varnothing_{n + 1\ }b_{n + 1}}{l_{n + 1}} \right) = - 6({\overset{\overline{}}{R}}^{'} + \overset{\overline{}}{R}")$

Zginanie ukośne powstaje gdy para sił wywołująca zginanie nie działa w płaszczyźnie zawierającej główne centralne osie bezwładności przekrojów poprzecznych pręta. W takim przypadku wektor momentu gnącego nie pokrywa się z kierunkiem osi głównych przekrojów poprzecznych jeżeli wektor Mg tworzy kąt α z osią y to moment ten zapisujemy jako dwie składowe My=Mgcosα , Mz=Mgsinα, z,y – współrzędne punktu A. σA’=-My*z/Iy; σA’’=Mz*y/Iż; σA= σA’+ σA’’=-My*z/Iy + Mz*y/Iż; σA’=-Mgcosα*z/Iy; σA’’=Mgsinα*y/Iż; σA= σA’+ σA’’=-Mgcosα*z/Iy + Mgsinα*y/Iz – równanie osi obojętnej przekroju. oś obojętna jest prostą przechodzącą przez środek ciężkości przekroju poprzecznego, a jego współczynnik kierunkowy tgβo=tgα*Iy/Iz . Zginanie ze skręcaniem to przypadek, w którym w wyniku redukcji wszystkich sił zewnętrznych działających po jednej stronie przekroju myślowego otrzymamy w tym przekroju moment gnący i moment skręcający σg=Mg/Wg; τs=Ms/Wo; Wg=πd^3/32; Wo= πd^3/16; Wo=2Wg; $\sigma_{o}^{n} = \sqrt{\sigma_{g}^{2} + 3\tau_{s}^{2}}\ \sigma_{o} = \sqrt{(\frac{M_{g}}{W_{g}})^{2} + (3\frac{M_{s}}{{2W}_{g}})^{2}} = \sqrt{(\frac{M_{g}}{W_{g}})^{2} + (3\frac{M_{s}2}{{4W}_{g}2})} = \frac{1}{W_{g}}\sqrt{\text{Mg}^{2} + \frac{3}{4}\text{Ms}^{2}};\ \text{Mz} = \sqrt{\text{Mg}^{2} + \frac{3}{4}\text{Ms}^{2}}$ - moment zastępczy; σo=Mz/Wg <=kz – warunek wytrzymałości przy zginaniu ze skręcaniem. Zginanie ze ścinaniem przekrój 1-1: Dla A: S1=b*e(c+1/2e) by=b τA=T*S1/b*Iż. Dla B: by=g; τB=T*S1/g*Iż; oś obojętna: wartości τmax, σ=0; S2=S1+1/2g*c^2; τmax=T(S1+1/2g*c^2)/g*Iz obliczenia wytrzymałościowe: - we włóknach położonych najdalej od osi obojętnej, gdzie τ=0 i gdzie występują tylko naprężenia od zginania, należy sprawdzić warunek: σg=Mg(c+e)/Iz <=kV (c+e) – odl. maks. T(x)=dM(x)/dx = const $\sum_{}^{}{P_{i_{x}} = - \tau\left( y \right)\text{dxby} - \int_{y}^{y_{\max}}{\text{σdA} + \int_{y}^{y_{\max}}{\left( \sigma + \text{dσ} \right)\text{dA} = 0}}}$; ∫y^ymaxdσdA = τ(y)dxby Mg*y/Iz = σ(y) – naprężenie normalne powstałe od zginania; dσ(y)=dMg*y/Iz . $\int_{y}^{y_{\max}}{\frac{\text{dMg}_{x}}{I_{z}}ydA = \tau\left( y \right)\text{dxby}}$ $\text{dMg}\frac{1}{I_{z}}\int_{y}^{y_{\max}}{\text{ydA} = \tau\left( y \right)\text{dxby}}$ dMgx/dx=T(x) $\frac{\text{dMgx}}{\text{dx}}*\frac{1}{by*Iz}\int_{y}^{y_{\max}}{ydA = \tau\left( y \right)}$ ∫y^ymaxydA =  Sy^ymax −  moment statyczny zawierajacy sie od y do ymax $\tau\left( y \right) = \frac{T\left( x \right)*S_{y}^{y_{\max}}}{\text{by}*\text{Iz}} - \ \text{wz}or\ Z\text{urawskiego}\ \text{na}\ \text{warto}sc\ \text{napr}ezen\ w\ \text{przypadku}\ \text{zginania}\ \text{ze}\ s\text{cinaniem}$ T(x) – siła tnąca Sy^ymax - moment statyczny względem osi obojętnej tej części przekroju poprzecznego, która zawarta jest między współrzędnymi y i ymax odmierzanymi od osi obojętnej pokrywającą się z osią Z. by – szerokość przekroju poprzecznego belki na poziomie określonym współrzędną y. Iz – moment bezwładności względem osi Z. Wyboczenie prętów Wyboczeniem nazywamy taki przypadek, w którym na wynik redukcji wszystkich sił działających po jednej stronie myślowego przekroju otrzymamy siłę przyłożoną w środku ciężkości i ściskającą dany przekrój. W przypadku prętów smukłych, siła ta powoduje zakrzywienie zwane wyboczeniem. $- Mg\left( x \right) = EI\frac{d^{2}y}{dx^{2}} - \ rozniczkowe\ rownanie\ ugiecia\ linii\ preta$ $\text{EI}\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = - Mg\left( x \right) = - P*y$ ; $\text{EI}\frac{d^{2}y}{dx^{2}} + P*y = 0\ /:EI$ $\frac{d^{2}y}{dx^{2}} + \frac{\text{Py}}{\text{EI}} = 0$ ; P/EI = k^2 ; y”+k^2y=0 gdzie y”=d^2y/dx^2; y=Asinkx+Bcoskx; x=0 => y=0 => B=0 => A=/ 0 x=l => y=0; Asinkl = 0 A=0 i sinkl = 0 jeśli A = 0 pręt nie ulegnie wyboczeniu; k=n*π/l ; k^2=n^2π^2/l^2=P/EI ; P= n^2π^2EI/l^2; jeżeli n=0 => P=0; n=1 => P=$\frac{\pi^{2}\text{EI}}{l^{2}}$ => y=Asin$\frac{\pi}{l}x$; n=2 => P=$\frac{{4\pi}^{2}\text{EI}}{l^{2}}$ – 1 siła krytyczna Eulera $Pkr = \frac{\pi^{2}EI_{\min}}{lw^{2}}$ – ogólny wzór na siłę krytyczną Eulera gdzie lw – długość wyboczeniowa pręta zależna od warunków zamocowania: -przegubowe l=lw; -z jednej strony przegub z drugiej utwierdzenie lw=0,7l; -utwierdzenie obustronne lw=0,5l; -utwierdzenie jednostronne lw=2l; $\sigma_{\text{kr}} = \frac{P_{\text{kr}}}{A} = \frac{\pi^{2}EI_{\min}}{lw^{2}*A}$ $i_{\min} = \sqrt{\frac{I_{\min}}{A}} - \ promien\ bezwladnosci$ $\frac{P_{\text{kr}}}{A} = \frac{\pi^{2}Ei_{\min}^{2}}{lw^{2}} = \frac{\pi^{2}E}{{(\frac{l_{w}}{i_{\min}})}^{2}} = \frac{\pi^{2}E}{\text{lambda}^{2}}$; λ=lw/imin -> smukłość. Metoda Maxwella Mohra $f_{k} = \frac{1}{\text{EI}}\int_{l}^{}{\text{Mg}_{i}*\text{mg}_{i}*\text{dx}_{i}}$ gdzie Mg – moment gnący od siły rzeczywistej, mg – moment gnący od siły uogólnionej jednostkowej Równanie kanoniczne metody sił α11x1 + α12x2 + … + α1nxn + α10 = 0; α21x1 + α22x2 + … + α2nxn + α20 = 0; αn1x1 + αn2x2 + … + αnnxn + αn0 = 0 Twierdzenie Castigliano $V = \frac{1}{2}(P_{1}f_{1} + P_{2}f_{2} + \ldots + P_{i}f_{i} + \ldots + P_{n}f_{n})$; $\delta V = \frac{1}{2}(\delta Pi*\delta fi)$ δL = δPifi; $V_{2} = \partial V + V + \delta L = \frac{1}{2}\left( \text{δPifi} \right) + V + \delta Pifi$; V1=V2; $V + \frac{\partial V}{\partial Pi}\delta Pi = \frac{1}{2}\left( \text{δPiδfi} \right) + V + \delta Pifi$ δPiδfi ≈ 0 δPi ≠ 0; $\frac{\partial V}{\partial Pi} = fi$ ; pochodna cząstkowa energii sprężystej układu względem siły uogólnionej jest równa współrzędnej uogólnionej odpowiadającej tej sile. $V = \int_{0}^{l}{\frac{{M_{g}}^{2}\text{dx}}{2EI} = \frac{1}{2EI}\int_{0}^{l}{{M_{g}}^{2}\text{dx}}}$; $f = \frac{\partial V}{\partial P} = \frac{1}{\text{EI}}\int_{0}^{l}{M_{g}\frac{\partial M_{g}}{\partial P}}\text{dx}$. metoda analityczna wyznaczania linii ugięcia belek – wyprowadzenie Na skutek działania momentu Mg oś belki ulega odkształceniu. Wyjściowym wzorem jest wzór $\text{EI}\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = M_{g}$ Po scałkowaniu tego równania otrzymujemy kąt nachylenia dy/dx stycznej $\text{EI}\frac{\text{dy}}{\text{dx}} = C + \alpha$. W wyniku ponownego scałkowania otrzymamy równanie linii ugięcia belki y=f(x) EIy = D + Cx + β. Stałe całkowania wyznaczamy zakładając odpowiednie warunki brzegowe. metoda wykreślno-analityczna wyznaczania linii ugięcia (sposoby podparcia belek wtórnych w metodzie wykreślno-analitycznej) $M\left( x \right) = EI\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ całkując otrzymujemy równanie $\text{EI}\frac{\text{dy}}{\text{dx}} = \frac{d\overset{\overline{}}{M}(x)}{\text{dx}} = \overset{\overline{}}{T}(x)$. Po ponownym scałkowaniu otrzymujemy $EIy = \overset{\overline{}}{M}(x)$; $\frac{\text{dy}}{\text{dx}} = \theta i = \frac{\overset{\overline{}}{T}(x)}{\text{EI}}$ $y = fi = \frac{\overset{\overline{}}{M}(x)}{\text{EI}}$ . Aby zrównać stałe całkowania musimy przyjąć odpowiednie schematy. W tym celu muszą być spełnione następujące warunki: 1. jeżeli ugięcie w danym przekroju belki rzeczywistej jest równe 0, to w tym przekroju belki fikcyjnej $\overset{\overline{}}{\text{Mg}}$(x)=0. 2. jeżeli kąt obrotu przekroju belki rzeczywistej jest równy 0, to w tym przekroju belki fikcyjnej $\overset{\overline{}}{T}\left( x \right) = 0$. 3. jeżeli w którymkolwiek przekroju belki rzeczywistej ugięcie i kąt obrotu ≠ 0, to w tym przekroju belki wtórnej: $\overset{\overline{}}{\text{Mg}}\left( x \right) \neq 0\ \ i\ \overset{\overline{}}{T}(x) \neq 0$ Sposoby podparcia belek wtórnych: Metoda Clebsha 0 ≤ x1 ≤ a;  a ≤ x2 ≤ b;  b ≤ x3 ≤ c; c ≤ x4 ≤ d; $d \leq x_{5} \leq l;\ M_{g}\left( x_{5} \right) = R_{A}x_{5} - P\left( x_{5} - a \right) + M(x_{5} - b)^{0} - \frac{q(x_{5} - c)^{2}}{2} + \frac{q(x_{5} - d)^{2}}{2}$; $\text{EI}\frac{d^{2}y_{5}}{d{x_{5}}^{2}} = - R_{A}\frac{{x_{5}}^{1}}{1!} + P\frac{(x_{5} - a)^{1}}{1!} - M\frac{(x_{5} - b)^{0}}{0!} + \frac{q(x_{5} - c)^{2}}{2!} - \frac{q(x_{5} - d)^{2}}{2!}$ 5)$\left\{ \begin{matrix} \text{EI}\frac{dy_{5}}{dx_{5}} = - R_{A}\frac{{x_{5}}^{2}}{2!} + P\frac{(x_{5} - a)^{2}}{2!} - M\frac{(x_{5} - b)^{1}}{1!} + \frac{q(x_{5} - c)^{3}}{3!} - \frac{q(x_{5} - d)^{3}}{3!} + C_{5} \\ \text{EI}y_{5} = - R_{A}\frac{{x_{5}}^{3}}{3!} + P\frac{(x_{5} - a)^{3}}{3!} - M\frac{(x_{5} - b)^{2}}{2!} + \frac{q(x_{5} - c)^{4}}{4!} - \frac{q(x_{5} - d)^{4}}{4!} + C_{5}x_{5} + D_{5} \\ \end{matrix} \right.\ $ 4)$\left\{ \begin{matrix} \text{EI}\frac{dy_{4}}{dx_{4}} = - R_{A}\frac{{x_{4}}^{2}}{2!} + P\frac{(x_{4} - a)^{2}}{2!} - M\frac{(x_{4} - b)^{1}}{1!} + \frac{q(x_{4} - c)^{3}}{3!} + C_{4} \\ \text{EI}y_{4} = - R_{A}\frac{{x_{4}}^{3}}{3!} + P\frac{(x_{4} - a)^{3}}{3!} - M\frac{(x_{4} - b)^{2}}{2!} + \frac{q(x_{4} - c)^{4}}{4!} + C_{4}x_{4} + D_{4} \\ \end{matrix} \right.\ $ 3)$\ \left\{ \begin{matrix} \text{EI}\frac{dy_{3}}{dx_{3}} = - R_{A}\frac{{x_{3}}^{2}}{2!} + P\frac{(x_{3} - a)^{2}}{2!} - M\frac{(x_{3} - b)^{1}}{1!} + C_{3} \\ \text{EI}y_{3} = - R_{A}\frac{{x_{3}}^{3}}{3!} + P\frac{(x_{3} - a)^{3}}{3!} - M\frac{(x_{3} - b)^{2}}{2!} + C_{3}x_{3} + D_{3} \\ \end{matrix} \right.\ $ 2)$\ \left\{ \begin{matrix} \text{EI}\frac{dy_{2}}{dx_{2}} = - R_{A}\frac{{x_{2}}^{2}}{2!} + P\frac{(x_{2} - a)^{2}}{2!} + C_{2} \\ \text{EI}y_{2} = - R_{A}\frac{{x_{2}}^{3}}{3!} + P\frac{(x_{2} - a)^{3}}{3!} + C_{2}x_{2} + D_{2} \\ \end{matrix} \right.\ $ 1)$\ \left\{ \begin{matrix} \text{EI}\frac{dy_{1}}{dx_{1}} = - R_{A}\frac{{x_{1}}^{2}}{2!} + C_{1} \\ \text{EI}y_{1} = - R_{A}\frac{{x_{1}}^{3}}{3!} + C_{1}x_{1} + D_{1} \\ \end{matrix} \right.\ $ Jeżeli x4=d x5=d to $\left. \ \frac{d_{y_{4}}}{d_{x_{4}}} \right|x_{4} = d = \ \left. \ \frac{d_{y_{5}}}{d_{x_{5}}} \right|x_{5} = d = > \ C_{4} = C_{5}$; y4|x4=d = y5|x5=d => D4=D5; C5=C4=C3=C2=C1=C D5=D4=D3=D2=D1=D Równanie trzech momentów Metoda rozwiązywania belek wielopodporowych polega na wykorzystaniu warunku ciągłości belki, a więc faktu, że na każdej podporze końce linii ugięcia obu sąsiadujących ze sobą przęseł mają wspólną styczną.θn = θn1 + θn2; $\theta_{n_{1}} \rightarrow \theta = - \frac{\overset{\overline{}}{T}}{\text{EI}}$; $R^{'} = \frac{\varnothing_{n}*a_{n}}{l_{n}}$; $\overset{\overline{}}{T} = - \overset{\overline{}}{R}'$; $\theta_{n_{1}} = - \left( - \frac{\overset{\overline{}}{R}'}{\text{EI}} \right) = \frac{\varnothing_{n}*a_{n}}{l_{n}*EI}{;\ \theta}_{n_{2}} = \frac{M_{n}l_{n}}{3EJ} + \frac{M_{n - 1}*l_{n}}{6EI}$; $\theta_{n} = \theta_{n_{1}} + \theta_{n_{2}} = \frac{\varnothing_{n}*a_{n}}{l_{n}*EI} + \frac{M_{n}*l_{n}}{3EI} + \frac{M_{n - 1}*l_{n}}{6EI}$ Dla prawego przęsła ln+1; $\overset{\overline{}}{R}" = \frac{\varnothing_{n + 1}*b_{n + 1}}{l_{n + 1}}$ ; ${\theta_{n1}}^{'} = - \frac{\overset{\overline{}}{R"}}{\text{EI}} = \frac{{- \varnothing}_{n + 1}*b_{n + 1}}{l_{n + 1}}$; ${\theta_{n2}}^{'} = - \frac{M_{n}l_{n + 1}}{3EI} - \frac{M_{n + 1}l_{n + 1}}{6EI}$; θn^′ = θn1^′ + θn2^′; ${\theta_{n}}^{'} = \frac{- \varnothing_{n + 1}b_{n + 1}}{\text{EI}l_{n + 1}} - \frac{M_{n}l_{n + 1}}{3EI} - \frac{M_{n + 1}l_{n + 1}}{6EI}$; $\theta_{n} = {\theta_{n}}^{'};\ \frac{\varnothing a_{n}}{l_{n}} + \frac{1}{6}M_{n - 1}l_{n} + \frac{1}{3}M_{n}l_{n} = - (\frac{\varnothing_{n + 1}b_{n + 1}}{l_{n + 1}} + \frac{1}{3}M_{n}l_{n + 1} + \frac{1}{6}M_{n + 1}l_{n})$; $M_{n - 1}l_{n} + 2M_{n}\left( l_{n} + l_{n + 1} \right) + M_{n + 1}l_{n + 1} = - 6\left( \frac{\varnothing_{n}a_{n}}{l_{n}} + \frac{\varnothing_{n + 1\ }b_{n + 1}}{l_{n + 1}} \right) = - 6({\overset{\overline{}}{R}}^{'} + \overset{\overline{}}{R}")$

Zginanie ukośne powstaje gdy para sił wywołująca zginanie nie działa w płaszczyźnie zawierającej główne centralne osie bezwładności przekrojów poprzecznych pręta. W takim przypadku wektor momentu gnącego nie pokrywa się z kierunkiem osi głównych przekrojów poprzecznych jeżeli wektor Mg tworzy kąt α z osią y to moment ten zapisujemy jako dwie składowe My=Mgcosα , Mz=Mgsinα, z,y – współrzędne punktu A. σA’=-My*z/Iy; σA’’=Mz*y/Iż; σA= σA’+ σA’’=-My*z/Iy + Mz*y/Iż; σA’=-Mgcosα*z/Iy; σA’’=Mgsinα*y/Iż; σA= σA’+ σA’’=-Mgcosα*z/Iy + Mgsinα*y/Iz – równanie osi obojętnej przekroju. oś obojętna jest prostą przechodzącą przez środek ciężkości przekroju poprzecznego, a jego współczynnik kierunkowy tgβo=tgα*Iy/Iz . Zginanie ze skręcaniem to przypadek, w którym w wyniku redukcji wszystkich sił zewnętrznych działających po jednej stronie przekroju myślowego otrzymamy w tym przekroju moment gnący i moment skręcający σg=Mg/Wg; τs=Ms/Wo; Wg=πd^3/32; Wo= πd^3/16; Wo=2Wg; $\sigma_{o}^{n} = \sqrt{\sigma_{g}^{2} + 3\tau_{s}^{2}}\ \sigma_{o} = \sqrt{(\frac{M_{g}}{W_{g}})^{2} + (3\frac{M_{s}}{{2W}_{g}})^{2}} = \sqrt{(\frac{M_{g}}{W_{g}})^{2} + (3\frac{M_{s}2}{{4W}_{g}2})} = \frac{1}{W_{g}}\sqrt{\text{Mg}^{2} + \frac{3}{4}\text{Ms}^{2}};\ \text{Mz} = \sqrt{\text{Mg}^{2} + \frac{3}{4}\text{Ms}^{2}}$ - moment zastępczy; σo=Mz/Wg <=kz – warunek wytrzymałości przy zginaniu ze skręcaniem. Zginanie ze ścinaniem przekrój 1-1: Dla A: S1=b*e(c+1/2e) by=b τA=T*S1/b*Iż. Dla B: by=g; τB=T*S1/g*Iż; oś obojętna: wartości τmax, σ=0; S2=S1+1/2g*c^2; τmax=T(S1+1/2g*c^2)/g*Iz obliczenia wytrzymałościowe: - we włóknach położonych najdalej od osi obojętnej, gdzie τ=0 i gdzie występują tylko naprężenia od zginania, należy sprawdzić warunek: σg=Mg(c+e)/Iz <=kV (c+e) – odl. maks. T(x)=dM(x)/dx = const $\sum_{}^{}{P_{i_{x}} = - \tau\left( y \right)\text{dxby} - \int_{y}^{y_{\max}}{\text{σdA} + \int_{y}^{y_{\max}}{\left( \sigma + \text{dσ} \right)\text{dA} = 0}}}$; ∫y^ymaxdσdA = τ(y)dxby Mg*y/Iz = σ(y) – naprężenie normalne powstałe od zginania; dσ(y)=dMg*y/Iz . $\int_{y}^{y_{\max}}{\frac{\text{dMg}_{x}}{I_{z}}ydA = \tau\left( y \right)\text{dxby}}$ $\text{dMg}\frac{1}{I_{z}}\int_{y}^{y_{\max}}{\text{ydA} = \tau\left( y \right)\text{dxby}}$ dMgx/dx=T(x) $\frac{\text{dMgx}}{\text{dx}}*\frac{1}{by*Iz}\int_{y}^{y_{\max}}{ydA = \tau\left( y \right)}$ ∫y^ymaxydA =  Sy^ymax −  moment statyczny zawierajacy sie od y do ymax $\tau\left( y \right) = \frac{T\left( x \right)*S_{y}^{y_{\max}}}{\text{by}*\text{Iz}} - \ \text{wz}or\ Z\text{urawskiego}\ \text{na}\ \text{warto}sc\ \text{napr}ezen\ w\ \text{przypadku}\ \text{zginania}\ \text{ze}\ s\text{cinaniem}$ T(x) – siła tnąca Sy^ymax - moment statyczny względem osi obojętnej tej części przekroju poprzecznego, która zawarta jest między współrzędnymi y i ymax odmierzanymi od osi obojętnej pokrywającą się z osią Z. by – szerokość przekroju poprzecznego belki na poziomie określonym współrzędną y. Iz – moment bezwładności względem osi Z. Wyboczenie prętów Wyboczeniem nazywamy taki przypadek, w którym na wynik redukcji wszystkich sił działających po jednej stronie myślowego przekroju otrzymamy siłę przyłożoną w środku ciężkości i ściskającą dany przekrój. W przypadku prętów smukłych, siła ta powoduje zakrzywienie zwane wyboczeniem. $- Mg\left( x \right) = EI\frac{d^{2}y}{dx^{2}} - \ rozniczkowe\ rownanie\ ugiecia\ linii\ preta$ $\text{EI}\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = - Mg\left( x \right) = - P*y$ ; $\text{EI}\frac{d^{2}y}{dx^{2}} + P*y = 0\ /:EI$ $\frac{d^{2}y}{dx^{2}} + \frac{\text{Py}}{\text{EI}} = 0$ ; P/EI = k^2 ; y”+k^2y=0 gdzie y”=d^2y/dx^2; y=Asinkx+Bcoskx; x=0 => y=0 => B=0 => A=/ 0 x=l => y=0; Asinkl = 0 A=0 i sinkl = 0 jeśli A = 0 pręt nie ulegnie wyboczeniu; k=n*π/l ; k^2=n^2π^2/l^2=P/EI ; P= n^2π^2EI/l^2; jeżeli n=0 => P=0; n=1 => P=$\frac{\pi^{2}\text{EI}}{l^{2}}$ => y=Asin$\frac{\pi}{l}x$; n=2 => P=$\frac{{4\pi}^{2}\text{EI}}{l^{2}}$ – 1 siła krytyczna Eulera $Pkr = \frac{\pi^{2}EI_{\min}}{lw^{2}}$ – ogólny wzór na siłę krytyczną Eulera gdzie lw – długość wyboczeniowa pręta zależna od warunków zamocowania: -przegubowe l=lw; -z jednej strony przegub z drugiej utwierdzenie lw=0,7l; -utwierdzenie obustronne lw=0,5l; -utwierdzenie jednostronne lw=2l; $\sigma_{\text{kr}} = \frac{P_{\text{kr}}}{A} = \frac{\pi^{2}EI_{\min}}{lw^{2}*A}$ $i_{\min} = \sqrt{\frac{I_{\min}}{A}} - \ promien\ bezwladnosci$ $\frac{P_{\text{kr}}}{A} = \frac{\pi^{2}Ei_{\min}^{2}}{lw^{2}} = \frac{\pi^{2}E}{{(\frac{l_{w}}{i_{\min}})}^{2}} = \frac{\pi^{2}E}{\text{lambda}^{2}}$; λ=lw/imin -> smukłość. Metoda Maxwella Mohra $f_{k} = \frac{1}{\text{EI}}\int_{l}^{}{\text{Mg}_{i}*\text{mg}_{i}*\text{dx}_{i}}$ gdzie Mg – moment gnący od siły rzeczywistej, mg – moment gnący od siły uogólnionej jednostkowej Równanie kanoniczne metody sił α11x1 + α12x2 + … + α1nxn + α10 = 0; α21x1 + α22x2 + … + α2nxn + α20 = 0; αn1x1 + αn2x2 + … + αnnxn + αn0 = 0 Twierdzenie Castigliano $V = \frac{1}{2}(P_{1}f_{1} + P_{2}f_{2} + \ldots + P_{i}f_{i} + \ldots + P_{n}f_{n})$; $\delta V = \frac{1}{2}(\delta Pi*\delta fi)$ δL = δPifi; $V_{2} = \partial V + V + \delta L = \frac{1}{2}\left( \text{δPifi} \right) + V + \delta Pifi$; V1=V2; $V + \frac{\partial V}{\partial Pi}\delta Pi = \frac{1}{2}\left( \text{δPiδfi} \right) + V + \delta Pifi$ δPiδfi ≈ 0 δPi ≠ 0; $\frac{\partial V}{\partial Pi} = fi$ ; pochodna cząstkowa energii sprężystej układu względem siły uogólnionej jest równa współrzędnej uogólnionej odpowiadającej tej sile. $V = \int_{0}^{l}{\frac{{M_{g}}^{2}\text{dx}}{2EI} = \frac{1}{2EI}\int_{0}^{l}{{M_{g}}^{2}\text{dx}}}$; $f = \frac{\partial V}{\partial P} = \frac{1}{\text{EI}}\int_{0}^{l}{M_{g}\frac{\partial M_{g}}{\partial P}}\text{dx}$. metoda analityczna wyznaczania linii ugięcia belek – wyprowadzenie Na skutek działania momentu Mg oś belki ulega odkształceniu. Wyjściowym wzorem jest wzór $\text{EI}\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = M_{g}$ Po scałkowaniu tego równania otrzymujemy kąt nachylenia dy/dx stycznej $\text{EI}\frac{\text{dy}}{\text{dx}} = C + \alpha$. W wyniku ponownego scałkowania otrzymamy równanie linii ugięcia belki y=f(x) EIy = D + Cx + β. Stałe całkowania wyznaczamy zakładając odpowiednie warunki brzegowe. metoda wykreślno-analityczna wyznaczania linii ugięcia (sposoby podparcia belek wtórnych w metodzie wykreślno-analitycznej) $M\left( x \right) = EI\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ całkując otrzymujemy równanie $\text{EI}\frac{\text{dy}}{\text{dx}} = \frac{d\overset{\overline{}}{M}(x)}{\text{dx}} = \overset{\overline{}}{T}(x)$. Po ponownym scałkowaniu otrzymujemy $EIy = \overset{\overline{}}{M}(x)$; $\frac{\text{dy}}{\text{dx}} = \theta i = \frac{\overset{\overline{}}{T}(x)}{\text{EI}}$ $y = fi = \frac{\overset{\overline{}}{M}(x)}{\text{EI}}$ . Aby zrównać stałe całkowania musimy przyjąć odpowiednie schematy. W tym celu muszą być spełnione następujące warunki: 1. jeżeli ugięcie w danym przekroju belki rzeczywistej jest równe 0, to w tym przekroju belki fikcyjnej $\overset{\overline{}}{\text{Mg}}$(x)=0. 2. jeżeli kąt obrotu przekroju belki rzeczywistej jest równy 0, to w tym przekroju belki fikcyjnej $\overset{\overline{}}{T}\left( x \right) = 0$. 3. jeżeli w którymkolwiek przekroju belki rzeczywistej ugięcie i kąt obrotu ≠ 0, to w tym przekroju belki wtórnej: $\overset{\overline{}}{\text{Mg}}\left( x \right) \neq 0\ \ i\ \overset{\overline{}}{T}(x) \neq 0$ Sposoby podparcia belek wtórnych: Metoda Clebsha 0 ≤ x1 ≤ a;  a ≤ x2 ≤ b;  b ≤ x3 ≤ c; c ≤ x4 ≤ d; $d \leq x_{5} \leq l;\ M_{g}\left( x_{5} \right) = R_{A}x_{5} - P\left( x_{5} - a \right) + M(x_{5} - b)^{0} - \frac{q(x_{5} - c)^{2}}{2} + \frac{q(x_{5} - d)^{2}}{2}$; $\text{EI}\frac{d^{2}y_{5}}{d{x_{5}}^{2}} = - R_{A}\frac{{x_{5}}^{1}}{1!} + P\frac{(x_{5} - a)^{1}}{1!} - M\frac{(x_{5} - b)^{0}}{0!} + \frac{q(x_{5} - c)^{2}}{2!} - \frac{q(x_{5} - d)^{2}}{2!}$ 5)$\left\{ \begin{matrix} \text{EI}\frac{dy_{5}}{dx_{5}} = - R_{A}\frac{{x_{5}}^{2}}{2!} + P\frac{(x_{5} - a)^{2}}{2!} - M\frac{(x_{5} - b)^{1}}{1!} + \frac{q(x_{5} - c)^{3}}{3!} - \frac{q(x_{5} - d)^{3}}{3!} + C_{5} \\ \text{EI}y_{5} = - R_{A}\frac{{x_{5}}^{3}}{3!} + P\frac{(x_{5} - a)^{3}}{3!} - M\frac{(x_{5} - b)^{2}}{2!} + \frac{q(x_{5} - c)^{4}}{4!} - \frac{q(x_{5} - d)^{4}}{4!} + C_{5}x_{5} + D_{5} \\ \end{matrix} \right.\ $ 4)$\left\{ \begin{matrix} \text{EI}\frac{dy_{4}}{dx_{4}} = - R_{A}\frac{{x_{4}}^{2}}{2!} + P\frac{(x_{4} - a)^{2}}{2!} - M\frac{(x_{4} - b)^{1}}{1!} + \frac{q(x_{4} - c)^{3}}{3!} + C_{4} \\ \text{EI}y_{4} = - R_{A}\frac{{x_{4}}^{3}}{3!} + P\frac{(x_{4} - a)^{3}}{3!} - M\frac{(x_{4} - b)^{2}}{2!} + \frac{q(x_{4} - c)^{4}}{4!} + C_{4}x_{4} + D_{4} \\ \end{matrix} \right.\ $ 3)$\ \left\{ \begin{matrix} \text{EI}\frac{dy_{3}}{dx_{3}} = - R_{A}\frac{{x_{3}}^{2}}{2!} + P\frac{(x_{3} - a)^{2}}{2!} - M\frac{(x_{3} - b)^{1}}{1!} + C_{3} \\ \text{EI}y_{3} = - R_{A}\frac{{x_{3}}^{3}}{3!} + P\frac{(x_{3} - a)^{3}}{3!} - M\frac{(x_{3} - b)^{2}}{2!} + C_{3}x_{3} + D_{3} \\ \end{matrix} \right.\ $ 2)$\ \left\{ \begin{matrix} \text{EI}\frac{dy_{2}}{dx_{2}} = - R_{A}\frac{{x_{2}}^{2}}{2!} + P\frac{(x_{2} - a)^{2}}{2!} + C_{2} \\ \text{EI}y_{2} = - R_{A}\frac{{x_{2}}^{3}}{3!} + P\frac{(x_{2} - a)^{3}}{3!} + C_{2}x_{2} + D_{2} \\ \end{matrix} \right.\ $ 1)$\ \left\{ \begin{matrix} \text{EI}\frac{dy_{1}}{dx_{1}} = - R_{A}\frac{{x_{1}}^{2}}{2!} + C_{1} \\ \text{EI}y_{1} = - R_{A}\frac{{x_{1}}^{3}}{3!} + C_{1}x_{1} + D_{1} \\ \end{matrix} \right.\ $ Jeżeli x4=d x5=d to $\left. \ \frac{d_{y_{4}}}{d_{x_{4}}} \right|x_{4} = d = \ \left. \ \frac{d_{y_{5}}}{d_{x_{5}}} \right|x_{5} = d = > \ C_{4} = C_{5}$; y4|x4=d = y5|x5=d => D4=D5; C5=C4=C3=C2=C1=C D5=D4=D3=D2=D1=D Równanie trzech momentów Metoda rozwiązywania belek wielopodporowych polega na wykorzystaniu warunku ciągłości belki, a więc faktu, że na każdej podporze końce linii ugięcia obu sąsiadujących ze sobą przęseł mają wspólną styczną.θn = θn1 + θn2; $\theta_{n_{1}} \rightarrow \theta = - \frac{\overset{\overline{}}{T}}{\text{EI}}$; $R^{'} = \frac{\varnothing_{n}*a_{n}}{l_{n}}$; $\overset{\overline{}}{T} = - \overset{\overline{}}{R}'$; $\theta_{n_{1}} = - \left( - \frac{\overset{\overline{}}{R}'}{\text{EI}} \right) = \frac{\varnothing_{n}*a_{n}}{l_{n}*EI}{;\ \theta}_{n_{2}} = \frac{M_{n}l_{n}}{3EJ} + \frac{M_{n - 1}*l_{n}}{6EI}$; $\theta_{n} = \theta_{n_{1}} + \theta_{n_{2}} = \frac{\varnothing_{n}*a_{n}}{l_{n}*EI} + \frac{M_{n}*l_{n}}{3EI} + \frac{M_{n - 1}*l_{n}}{6EI}$ Dla prawego przęsła ln+1; $\overset{\overline{}}{R}" = \frac{\varnothing_{n + 1}*b_{n + 1}}{l_{n + 1}}$ ; ${\theta_{n1}}^{'} = - \frac{\overset{\overline{}}{R"}}{\text{EI}} = \frac{{- \varnothing}_{n + 1}*b_{n + 1}}{l_{n + 1}}$; ${\theta_{n2}}^{'} = - \frac{M_{n}l_{n + 1}}{3EI} - \frac{M_{n + 1}l_{n + 1}}{6EI}$; θn^′ = θn1^′ + θn2^′; ${\theta_{n}}^{'} = \frac{- \varnothing_{n + 1}b_{n + 1}}{\text{EI}l_{n + 1}} - \frac{M_{n}l_{n + 1}}{3EI} - \frac{M_{n + 1}l_{n + 1}}{6EI}$; $\theta_{n} = {\theta_{n}}^{'};\ \frac{\varnothing a_{n}}{l_{n}} + \frac{1}{6}M_{n - 1}l_{n} + \frac{1}{3}M_{n}l_{n} = - (\frac{\varnothing_{n + 1}b_{n + 1}}{l_{n + 1}} + \frac{1}{3}M_{n}l_{n + 1} + \frac{1}{6}M_{n + 1}l_{n})$; $M_{n - 1}l_{n} + 2M_{n}\left( l_{n} + l_{n + 1} \right) + M_{n + 1}l_{n + 1} = - 6\left( \frac{\varnothing_{n}a_{n}}{l_{n}} + \frac{\varnothing_{n + 1\ }b_{n + 1}}{l_{n + 1}} \right) = - 6({\overset{\overline{}}{R}}^{'} + \overset{\overline{}}{R}")$

Zginanie ukośne powstaje gdy para sił wywołująca zginanie nie działa w płaszczyźnie zawierającej główne centralne osie bezwładności przekrojów poprzecznych pręta. W takim przypadku wektor momentu gnącego nie pokrywa się z kierunkiem osi głównych przekrojów poprzecznych jeżeli wektor Mg tworzy kąt α z osią y to moment ten zapisujemy jako dwie składowe My=Mgcosα , Mz=Mgsinα, z,y – współrzędne punktu A. σA’=-My*z/Iy; σA’’=Mz*y/Iż; σA= σA’+ σA’’=-My*z/Iy + Mz*y/Iż; σA’=-Mgcosα*z/Iy; σA’’=Mgsinα*y/Iż; σA= σA’+ σA’’=-Mgcosα*z/Iy + Mgsinα*y/Iz – równanie osi obojętnej przekroju. oś obojętna jest prostą przechodzącą przez środek ciężkości przekroju poprzecznego, a jego współczynnik kierunkowy tgβo=tgα*Iy/Iz . Zginanie ze skręcaniem to przypadek, w którym w wyniku redukcji wszystkich sił zewnętrznych działających po jednej stronie przekroju myślowego otrzymamy w tym przekroju moment gnący i moment skręcający σg=Mg/Wg; τs=Ms/Wo; Wg=πd^3/32; Wo= πd^3/16; Wo=2Wg; $\sigma_{o}^{n} = \sqrt{\sigma_{g}^{2} + 3\tau_{s}^{2}}\ \sigma_{o} = \sqrt{(\frac{M_{g}}{W_{g}})^{2} + (3\frac{M_{s}}{{2W}_{g}})^{2}} = \sqrt{(\frac{M_{g}}{W_{g}})^{2} + (3\frac{M_{s}2}{{4W}_{g}2})} = \frac{1}{W_{g}}\sqrt{\text{Mg}^{2} + \frac{3}{4}\text{Ms}^{2}};\ \text{Mz} = \sqrt{\text{Mg}^{2} + \frac{3}{4}\text{Ms}^{2}}$ - moment zastępczy; σo=Mz/Wg <=kz – warunek wytrzymałości przy zginaniu ze skręcaniem. Zginanie ze ścinaniem przekrój 1-1: Dla A: S1=b*e(c+1/2e) by=b τA=T*S1/b*Iż. Dla B: by=g; τB=T*S1/g*Iż; oś obojętna: wartości τmax, σ=0; S2=S1+1/2g*c^2; τmax=T(S1+1/2g*c^2)/g*Iz obliczenia wytrzymałościowe: - we włóknach położonych najdalej od osi obojętnej, gdzie τ=0 i gdzie występują tylko naprężenia od zginania, należy sprawdzić warunek: σg=Mg(c+e)/Iz <=kV (c+e) – odl. maks. T(x)=dM(x)/dx = const $\sum_{}^{}{P_{i_{x}} = - \tau\left( y \right)\text{dxby} - \int_{y}^{y_{\max}}{\text{σdA} + \int_{y}^{y_{\max}}{\left( \sigma + \text{dσ} \right)\text{dA} = 0}}}$; ∫y^ymaxdσdA = τ(y)dxby Mg*y/Iz = σ(y) – naprężenie normalne powstałe od zginania; dσ(y)=dMg*y/Iz . $\int_{y}^{y_{\max}}{\frac{\text{dMg}_{x}}{I_{z}}ydA = \tau\left( y \right)\text{dxby}}$ $\text{dMg}\frac{1}{I_{z}}\int_{y}^{y_{\max}}{\text{ydA} = \tau\left( y \right)\text{dxby}}$ dMgx/dx=T(x) $\frac{\text{dMgx}}{\text{dx}}*\frac{1}{by*Iz}\int_{y}^{y_{\max}}{ydA = \tau\left( y \right)}$ ∫y^ymaxydA =  Sy^ymax −  moment statyczny zawierajacy sie od y do ymax $\tau\left( y \right) = \frac{T\left( x \right)*S_{y}^{y_{\max}}}{\text{by}*\text{Iz}} - \ \text{wz}or\ Z\text{urawskiego}\ \text{na}\ \text{warto}sc\ \text{napr}ezen\ w\ \text{przypadku}\ \text{zginania}\ \text{ze}\ s\text{cinaniem}$ T(x) – siła tnąca Sy^ymax - moment statyczny względem osi obojętnej tej części przekroju poprzecznego, która zawarta jest między współrzędnymi y i ymax odmierzanymi od osi obojętnej pokrywającą się z osią Z. by – szerokość przekroju poprzecznego belki na poziomie określonym współrzędną y. Iz – moment bezwładności względem osi Z. Wyboczenie prętów Wyboczeniem nazywamy taki przypadek, w którym na wynik redukcji wszystkich sił działających po jednej stronie myślowego przekroju otrzymamy siłę przyłożoną w środku ciężkości i ściskającą dany przekrój. W przypadku prętów smukłych, siła ta powoduje zakrzywienie zwane wyboczeniem. $- Mg\left( x \right) = EI\frac{d^{2}y}{dx^{2}} - \ rozniczkowe\ rownanie\ ugiecia\ linii\ preta$ $\text{EI}\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = - Mg\left( x \right) = - P*y$ ; $\text{EI}\frac{d^{2}y}{dx^{2}} + P*y = 0\ /:EI$ $\frac{d^{2}y}{dx^{2}} + \frac{\text{Py}}{\text{EI}} = 0$ ; P/EI = k^2 ; y”+k^2y=0 gdzie y”=d^2y/dx^2; y=Asinkx+Bcoskx; x=0 => y=0 => B=0 => A=/ 0 x=l => y=0; Asinkl = 0 A=0 i sinkl = 0 jeśli A = 0 pręt nie ulegnie wyboczeniu; k=n*π/l ; k^2=n^2π^2/l^2=P/EI ; P= n^2π^2EI/l^2; jeżeli n=0 => P=0; n=1 => P=$\frac{\pi^{2}\text{EI}}{l^{2}}$ => y=Asin$\frac{\pi}{l}x$; n=2 => P=$\frac{{4\pi}^{2}\text{EI}}{l^{2}}$ – 1 siła krytyczna Eulera $Pkr = \frac{\pi^{2}EI_{\min}}{lw^{2}}$ – ogólny wzór na siłę krytyczną Eulera gdzie lw – długość wyboczeniowa pręta zależna od warunków zamocowania: -przegubowe l=lw; -z jednej strony przegub z drugiej utwierdzenie lw=0,7l; -utwierdzenie obustronne lw=0,5l; -utwierdzenie jednostronne lw=2l; $\sigma_{\text{kr}} = \frac{P_{\text{kr}}}{A} = \frac{\pi^{2}EI_{\min}}{lw^{2}*A}$ $i_{\min} = \sqrt{\frac{I_{\min}}{A}} - \ promien\ bezwladnosci$ $\frac{P_{\text{kr}}}{A} = \frac{\pi^{2}Ei_{\min}^{2}}{lw^{2}} = \frac{\pi^{2}E}{{(\frac{l_{w}}{i_{\min}})}^{2}} = \frac{\pi^{2}E}{\text{lambda}^{2}}$; λ=lw/imin -> smukłość. Metoda Maxwella Mohra $f_{k} = \frac{1}{\text{EI}}\int_{l}^{}{\text{Mg}_{i}*\text{mg}_{i}*\text{dx}_{i}}$ gdzie Mg – moment gnący od siły rzeczywistej, mg – moment gnący od siły uogólnionej jednostkowej Równanie kanoniczne metody sił α11x1 + α12x2 + … + α1nxn + α10 = 0; α21x1 + α22x2 + … + α2nxn + α20 = 0; αn1x1 + αn2x2 + … + αnnxn + αn0 = 0 Twierdzenie Castigliano $V = \frac{1}{2}(P_{1}f_{1} + P_{2}f_{2} + \ldots + P_{i}f_{i} + \ldots + P_{n}f_{n})$; $\delta V = \frac{1}{2}(\delta Pi*\delta fi)$ δL = δPifi; $V_{2} = \partial V + V + \delta L = \frac{1}{2}\left( \text{δPifi} \right) + V + \delta Pifi$; V1=V2; $V + \frac{\partial V}{\partial Pi}\delta Pi = \frac{1}{2}\left( \text{δPiδfi} \right) + V + \delta Pifi$ δPiδfi ≈ 0 δPi ≠ 0; $\frac{\partial V}{\partial Pi} = fi$ ; pochodna cząstkowa energii sprężystej układu względem siły uogólnionej jest równa współrzędnej uogólnionej odpowiadającej tej sile. $V = \int_{0}^{l}{\frac{{M_{g}}^{2}\text{dx}}{2EI} = \frac{1}{2EI}\int_{0}^{l}{{M_{g}}^{2}\text{dx}}}$; $f = \frac{\partial V}{\partial P} = \frac{1}{\text{EI}}\int_{0}^{l}{M_{g}\frac{\partial M_{g}}{\partial P}}\text{dx}$. metoda analityczna wyznaczania linii ugięcia belek – wyprowadzenie Na skutek działania momentu Mg oś belki ulega odkształceniu. Wyjściowym wzorem jest wzór $\text{EI}\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = M_{g}$ Po scałkowaniu tego równania otrzymujemy kąt nachylenia dy/dx stycznej $\text{EI}\frac{\text{dy}}{\text{dx}} = C + \alpha$. W wyniku ponownego scałkowania otrzymamy równanie linii ugięcia belki y=f(x) EIy = D + Cx + β. Stałe całkowania wyznaczamy zakładając odpowiednie warunki brzegowe. metoda wykreślno-analityczna wyznaczania linii ugięcia (sposoby podparcia belek wtórnych w metodzie wykreślno-analitycznej) $M\left( x \right) = EI\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ całkując otrzymujemy równanie $\text{EI}\frac{\text{dy}}{\text{dx}} = \frac{d\overset{\overline{}}{M}(x)}{\text{dx}} = \overset{\overline{}}{T}(x)$. Po ponownym scałkowaniu otrzymujemy $EIy = \overset{\overline{}}{M}(x)$; $\frac{\text{dy}}{\text{dx}} = \theta i = \frac{\overset{\overline{}}{T}(x)}{\text{EI}}$ $y = fi = \frac{\overset{\overline{}}{M}(x)}{\text{EI}}$ . Aby zrównać stałe całkowania musimy przyjąć odpowiednie schematy. W tym celu muszą być spełnione następujące warunki: 1. jeżeli ugięcie w danym przekroju belki rzeczywistej jest równe 0, to w tym przekroju belki fikcyjnej $\overset{\overline{}}{\text{Mg}}$(x)=0. 2. jeżeli kąt obrotu przekroju belki rzeczywistej jest równy 0, to w tym przekroju belki fikcyjnej $\overset{\overline{}}{T}\left( x \right) = 0$. 3. jeżeli w którymkolwiek przekroju belki rzeczywistej ugięcie i kąt obrotu ≠ 0, to w tym przekroju belki wtórnej: $\overset{\overline{}}{\text{Mg}}\left( x \right) \neq 0\ \ i\ \overset{\overline{}}{T}(x) \neq 0$ Sposoby podparcia belek wtórnych: Metoda Clebsha 0 ≤ x1 ≤ a;  a ≤ x2 ≤ b;  b ≤ x3 ≤ c; c ≤ x4 ≤ d; $d \leq x_{5} \leq l;\ M_{g}\left( x_{5} \right) = R_{A}x_{5} - P\left( x_{5} - a \right) + M(x_{5} - b)^{0} - \frac{q(x_{5} - c)^{2}}{2} + \frac{q(x_{5} - d)^{2}}{2}$; $\text{EI}\frac{d^{2}y_{5}}{d{x_{5}}^{2}} = - R_{A}\frac{{x_{5}}^{1}}{1!} + P\frac{(x_{5} - a)^{1}}{1!} - M\frac{(x_{5} - b)^{0}}{0!} + \frac{q(x_{5} - c)^{2}}{2!} - \frac{q(x_{5} - d)^{2}}{2!}$ 5)$\left\{ \begin{matrix} \text{EI}\frac{dy_{5}}{dx_{5}} = - R_{A}\frac{{x_{5}}^{2}}{2!} + P\frac{(x_{5} - a)^{2}}{2!} - M\frac{(x_{5} - b)^{1}}{1!} + \frac{q(x_{5} - c)^{3}}{3!} - \frac{q(x_{5} - d)^{3}}{3!} + C_{5} \\ \text{EI}y_{5} = - R_{A}\frac{{x_{5}}^{3}}{3!} + P\frac{(x_{5} - a)^{3}}{3!} - M\frac{(x_{5} - b)^{2}}{2!} + \frac{q(x_{5} - c)^{4}}{4!} - \frac{q(x_{5} - d)^{4}}{4!} + C_{5}x_{5} + D_{5} \\ \end{matrix} \right.\ $ 4)$\left\{ \begin{matrix} \text{EI}\frac{dy_{4}}{dx_{4}} = - R_{A}\frac{{x_{4}}^{2}}{2!} + P\frac{(x_{4} - a)^{2}}{2!} - M\frac{(x_{4} - b)^{1}}{1!} + \frac{q(x_{4} - c)^{3}}{3!} + C_{4} \\ \text{EI}y_{4} = - R_{A}\frac{{x_{4}}^{3}}{3!} + P\frac{(x_{4} - a)^{3}}{3!} - M\frac{(x_{4} - b)^{2}}{2!} + \frac{q(x_{4} - c)^{4}}{4!} + C_{4}x_{4} + D_{4} \\ \end{matrix} \right.\ $ 3)$\ \left\{ \begin{matrix} \text{EI}\frac{dy_{3}}{dx_{3}} = - R_{A}\frac{{x_{3}}^{2}}{2!} + P\frac{(x_{3} - a)^{2}}{2!} - M\frac{(x_{3} - b)^{1}}{1!} + C_{3} \\ \text{EI}y_{3} = - R_{A}\frac{{x_{3}}^{3}}{3!} + P\frac{(x_{3} - a)^{3}}{3!} - M\frac{(x_{3} - b)^{2}}{2!} + C_{3}x_{3} + D_{3} \\ \end{matrix} \right.\ $ 2)$\ \left\{ \begin{matrix} \text{EI}\frac{dy_{2}}{dx_{2}} = - R_{A}\frac{{x_{2}}^{2}}{2!} + P\frac{(x_{2} - a)^{2}}{2!} + C_{2} \\ \text{EI}y_{2} = - R_{A}\frac{{x_{2}}^{3}}{3!} + P\frac{(x_{2} - a)^{3}}{3!} + C_{2}x_{2} + D_{2} \\ \end{matrix} \right.\ $ 1)$\ \left\{ \begin{matrix} \text{EI}\frac{dy_{1}}{dx_{1}} = - R_{A}\frac{{x_{1}}^{2}}{2!} + C_{1} \\ \text{EI}y_{1} = - R_{A}\frac{{x_{1}}^{3}}{3!} + C_{1}x_{1} + D_{1} \\ \end{matrix} \right.\ $ Jeżeli x4=d x5=d to $\left. \ \frac{d_{y_{4}}}{d_{x_{4}}} \right|x_{4} = d = \ \left. \ \frac{d_{y_{5}}}{d_{x_{5}}} \right|x_{5} = d = > \ C_{4} = C_{5}$; y4|x4=d = y5|x5=d => D4=D5; C5=C4=C3=C2=C1=C D5=D4=D3=D2=D1=D Równanie trzech momentów Metoda rozwiązywania belek wielopodporowych polega na wykorzystaniu warunku ciągłości belki, a więc faktu, że na każdej podporze końce linii ugięcia obu sąsiadujących ze sobą przęseł mają wspólną styczną.θn = θn1 + θn2; $\theta_{n_{1}} \rightarrow \theta = - \frac{\overset{\overline{}}{T}}{\text{EI}}$; $R^{'} = \frac{\varnothing_{n}*a_{n}}{l_{n}}$; $\overset{\overline{}}{T} = - \overset{\overline{}}{R}'$; $\theta_{n_{1}} = - \left( - \frac{\overset{\overline{}}{R}'}{\text{EI}} \right) = \frac{\varnothing_{n}*a_{n}}{l_{n}*EI}{;\ \theta}_{n_{2}} = \frac{M_{n}l_{n}}{3EJ} + \frac{M_{n - 1}*l_{n}}{6EI}$; $\theta_{n} = \theta_{n_{1}} + \theta_{n_{2}} = \frac{\varnothing_{n}*a_{n}}{l_{n}*EI} + \frac{M_{n}*l_{n}}{3EI} + \frac{M_{n - 1}*l_{n}}{6EI}$ Dla prawego przęsła ln+1; $\overset{\overline{}}{R}" = \frac{\varnothing_{n + 1}*b_{n + 1}}{l_{n + 1}}$ ; ${\theta_{n1}}^{'} = - \frac{\overset{\overline{}}{R"}}{\text{EI}} = \frac{{- \varnothing}_{n + 1}*b_{n + 1}}{l_{n + 1}}$; ${\theta_{n2}}^{'} = - \frac{M_{n}l_{n + 1}}{3EI} - \frac{M_{n + 1}l_{n + 1}}{6EI}$; θn^′ = θn1^′ + θn2^′; ${\theta_{n}}^{'} = \frac{- \varnothing_{n + 1}b_{n + 1}}{\text{EI}l_{n + 1}} - \frac{M_{n}l_{n + 1}}{3EI} - \frac{M_{n + 1}l_{n + 1}}{6EI}$; $\theta_{n} = {\theta_{n}}^{'};\ \frac{\varnothing a_{n}}{l_{n}} + \frac{1}{6}M_{n - 1}l_{n} + \frac{1}{3}M_{n}l_{n} = - (\frac{\varnothing_{n + 1}b_{n + 1}}{l_{n + 1}} + \frac{1}{3}M_{n}l_{n + 1} + \frac{1}{6}M_{n + 1}l_{n})$; $M_{n - 1}l_{n} + 2M_{n}\left( l_{n} + l_{n + 1} \right) + M_{n + 1}l_{n + 1} = - 6\left( \frac{\varnothing_{n}a_{n}}{l_{n}} + \frac{\varnothing_{n + 1\ }b_{n + 1}}{l_{n + 1}} \right) = - 6({\overset{\overline{}}{R}}^{'} + \overset{\overline{}}{R}")$