O pomiarach i ich błędach

Jak postępować w takiej sytuacji? Błędu pomiaru, jeśli ma on naturę niesystematyczną (tzn.

jest dziełem przypadku) nie sposób uniknąć. Możemy jednak zminimalizować jego wpływ na

wyniki modelowania poprzez wykorzystanie w procesie modelowania większej niż

niezbędnie konieczna liczby pomiarów.

Teraz wypowiemy ważne zaklęcie, przywołując imię Gaussa, wielkiego niemieckiego

matematyka. Spośród wielu jego dokonań, jednym z najważniejszych było „wymyślenie”, czy

też może raczej odkrycie rozkładu, opisującego statystyki częstości cech w wielkich

populacjach, np. rozkład błędu pomiaru tej samej wielkości przez wiele urządzeń

pomiarowych, lub rozkład wielu niezależnych pomiarów tym samym urządzeniem. Załóżmy

więc, że błędy pomiaru prędkości i czasu mają rozkład normalny (Gaussa) o zerowej

wartości oczekiwanej (jak na rysunku poniżej). Co więcej, pomiary prędkości i czasu mają

rozkład wartości taki, że ich wartości oczekiwane są równe rzeczywistym. [Więcej informacji

o zmiennych losowych, rozkładach i innych pojęciach statystyki można znaleźć sięgając do

felietonów nt. zarządzania ryzykiem, również na CIRE].

Gdybyśmy dokonywali niezależnego wielokrotnego pomiaru czasu i położenia (np. za

pomocą ogromnej ilości urządzeń pomiarowych), wówczas średnia wartość pomiarów

odpowiadałaby rzeczywistej wartości mierzonej wielkości. Ale tak nie jest – czas płynie

nieodwracalnie, a my mamy dokładnie jeden zegarek i taśmę mierniczą. Nie należy się tym

zniechęcać – nadal możemy korzystać z przywołanego imienia Gaussa i uczynić pożytek

z posiadanej dużej liczby par pomiarów (x, t), poprawiając jakość szacowania v i x0.

Mylić się jest rzeczą ludzką, czyli twórcze wykorzystanie błędu w modelowaniu

Konsekwencją błędów pomiaru (x, t) może być błąd szacowania v i x0, co będzie skutkować

błędami predykcji położenia. A teraz Czytelniku, wzmóż czujność! Za chwilę dokonamy

bardzo ważnego zabiegu myślowego, który będzie nam towarzyszył przy każdym tekście

poświęconym aproksymacji.

Załóżmy, że mamy już jakiś model (tzn. wartości v i x0) – możemy go uzyskać np. po

„wejrzeniu w sufit”. Model ten daje predykcję

xm=x0

m+vmt

Pomiar czasu t jest obarczony błędem niesystematycznym (rozkład Gaussa). Jeśli „sufitowe”

wartości x0

m, vm są zgodne z rzeczywistymi, wówczas wartość xm obliczona z modelu różni

się od wartości x pomierzonej, a rozkład różnic (xm – x) jest – jak nietrudno się domyśleć –

Gaussowski o wartości oczekiwanej równej zeru.

Co się stanie wówczas, gdy mieliśmy pecha i „odczytaliśmy z sufitu” niewłaściwe wartości

x0

m, vm? Gauss i w tym przypadku nie zawiedzie – różnice (xm – x) będą nadal miały rozkład

Gaussa, jednak wartość oczekiwana będzie różna od zera – pojawi się błąd systematyczny.

Można to zaobserwować na poniższym rysunku. Linią ciągłą zaznaczono wartość

rzeczywistą położenia (nieznaną zarówno podczas pomiarów, jak i modelowania), niebieskim

trójkątem – wynik jego pomiaru, czerwonym kwadratem – aproksymację z modelu idealnego,

zaś zielonym kółkiem – aproksymację z modelu nieidealnego. Widać, że pomiary „trzymają

się” w otoczeniu wartości rzeczywistej, podobnie zresztą wynik modelowania z modelem

idealnym. Mamy tu zresztą do czynienia z sytuacją, gdy pomiar czasu jest obarczony

mniejszym błędem niż pomiar położenia. Ponieważ czas jest wejściem naszego modelu, a

prędkość jest niewielka, błąd aproksymacji położenia obiektu wyznaczonego z modelu jest

mniejszy niż błąd pomiaru tego położenia. Model odbiegający parametrami od rzeczywistych

(nieidealny) nawet optycznie odbiega od pomiarów (nie mówiąc o rzeczywistości, której nie

zawsze znamy).

Tradycyjna technika modelowania matematycznego polega na poszukiwaniu takiego

aproksymatora, którego błąd, odniesiony do obserwacji wartości modelowanej, ma zerową

wartość oczekiwaną. A zatem chodzi o to, aby model dający początkowo ciąg zielonych

kółek przekształcić tak, by zakończyć na modelu generującym ciąg czerwonych

kwadracików.

Omówienie technik pozwalających na dokonanie powyższego zabiegu (rozpoczynając od

technik regresji liniowej) zawrzemy w kolejnych odcinkach cyklu.