1. Pojęcie dyskretnego układu mechanicznego:

a) dany jest pewien zbiór n punktów materialnych [m_i,r_i­^-] (i=1,2,…,n) zanurzonych w przestrzeni trójwymiarowej

b) istnieje zbiór więzów ograniczających ruch układu w postaci pewnej liczby k równań więzów ogólnej postaci: g_alfa(r_y^—,V_y, t)=0 (alfa=1,2,…,k)

c) na każdy i-ty punkt układu działa pewna wypadkowa sił aktywnych P_i^- ogólnej postaci: P_i^-= P_i^-( r_y^—, V_y, t) (i=1,2,…,n). Parametr y może przyjmować wszystkie wartości od y=1 do y=n, r_y^—-wektor wodzący, V_y – prędkość, t – czas.

Więzy	niestacjonarne	Stacjonarne
Różniczkowe (kinematyczne)	galfa=(ri^—, ri^—* , t)=0	galfa=(ri^—, ri^—*)=0	anholonomiczne
Skończone (geometryczne)	galfa=(ri^—, t)=0	galfa=(ri^—)=0	holonomiczne
	reonomiczne	skleronomiczne	układy

2. Przemieszczenie możliwe i wirtualne (przygotowane):

Układ skrępowany k≤3 więzami niezależnych postaci: g_alfa=(r_y^—, t)=0 alfa=1,2,…,k

@ $\frac{dg_{\propto}}{\text{dt}} = \sum_{y = 1}^{n}{\frac{\partial g_{\propto}}{\partial r_{y}^{-}}*r^{- *} +}\frac{\partial g_{\propto}}{\partial t} = 0$ tych równań jest k

Dla ustalonej chwili t mamy ustalone r₁^-, r₂^-,…,r_n (tzw. konfiguracja układu). Współczynniki tych równań mogą zależeć tylko od (r_i^—, t). Jeśli k=3 dało by się z równania @ wyznaczyć dla każdej chwili położenia r_i^—(i=1,2,…,n) – prędkości r_i^—*. Na ogół jest r<3 – równań zbyt mało ->rozwiązań zbyt wiele. Te układy prędkości[ $\begin{matrix} r_{i}* \\ \ldots.. \\ r_{n} - * \\ \end{matrix}$], które spełniają @będziemy nazywać układem prędkości możliwych. Prędkości możliwe to prędkości dopuszczalne przez więzy. (slajd z wykładu 3 imag0473 sam dol przepisac i zostawic miejsce)

3. Ogólne równanie dynamiki – Zasada d’Alemberta

$$\sum_{}^{}{{\lbrack P}_{i}^{-} + ( - m_{i}*a_{i}^{-})\rbrack}\partial^{-}*r_{i}^{-} = P_{1}^{-}*\partial r_{1}^{-} + B_{1}*\partial r_{1}^{-} + P_{2}^{-}*\partial r_{2}^{-} + B_{2}*\partial r_{2}^{-} = 0$$

−m₁gsin ∝ *ds − m₁ads + m_2gds − m₂ads = 0

[−m₁gsin∝+m₂g−m₁a−m₂a]ds = 0

$$a = \frac{m_{2}g - m_{1}gsin \propto}{m_{1} + m_{2}}$$

4. Współrzędne i siły uogólnione

m_i{r_i^-}, i=1,2,…,n g_alfa= (r_i, t)=0 alfa=1,2,…,k s=3n-k , s – liczba stopni swobodnych. Do opisu ruchu układu nie jest konieczne podanie 3n równań parametrycznych. x₁=x₁(t),…. z₁=z_n(t)

Siła uogólniona dla sił bezwładności: $G_{\nu}^{B} = \sum_{i = 1}^{n}B_{i}*\frac{\partial r_{i}^{-}}{\partial g_{\nu}} = - \sum_{}^{}m_{i}a_{i}^{-}*\frac{\partial r_{i}^{-}}{\partial g_{\nu}} = - \sum_{i = 1}^{n}{m_{i}(x_{i}^{**}}*\frac{\partial x_{i}^{-}}{\partial g_{\nu}} + y_{i}^{**}*\frac{\partial y_{i}^{-}}{\partial g_{\nu}} + z_{i}^{**}*\frac{\partial z_{i}^{-}}{\partial g_{\nu}})$

5. Zasada krętu

1) $\frac{dk^{-}}{\text{dt}} = \sum_{}^{}{M_{i} = M^{-}}$. Moment M^- ma kierunek i zwrot przyrostu krętu dk^- prostopadły do płaszczyzny obu osi:ω^-, ω₁^-. 2) M=R_d*a. Ponieważ kręt ogólny układu jest stały (ω₁ – const., ω – const.) zgodnie z zasadą zachowania krętu $\sum_{}^{}{M_{i} = 0}$. Wynika stąd, że moment Mmusi być zrównoważony wewnątrz układu przez moment sił bezwładności M_ż^-. 3) M^-+ M_ż^-=0. M_ż^- - moment żyroskopowy o module 4) M_ż^-=I*ωω₁. Charakteryzuje to działanie żyrostatyczne szybkowirującej tarczy osadzonej na wale centrycznie i bez zboczenia przy wymuszonym obrocie jego osi geometrycznej 5) $R_{d} = \frac{M_{z}}{a} = \frac{\text{Iω}\omega_{1}}{a}$.

6. Żyroskop – zasada krętu

Przyrząd demonstrujący efekty żyroskopowe też jest nazywany żyroskopem, ma on postać krążka, który raz wprawiony w szybki ruch obrotowy zachowuje swoje pierwotne położenie osi obrotu, z niewielkimi ruchami precesyjnymi, które są uwzględniane w określaniu kierunku lub są eliminowane przez tłumienie. Warunkiem poprawnej pracy żyroskopu jest duża prędkość obrotowa i małe tarcie w łożyskach

dokonczyc ale co ??? zrobic rysunek zyroskopu slajd wyklad 6 imag0745)

7. Zderzenie proste środkowe i ukośne środkowe

Zderzenie środkowe charakteryzuje się tym, że normalna do płaszczyzny styku w punkcie styku obu ciał przechodzi przez środek masy tych ciał. (Zderzenie mimośrodowe nie spełnia tego warunku. ) Jeżeli prędkości obu tych ciał w chwili przed zderzeniem są prostopadłe do płaszczyzny styku zderzenie nazywamy prostym [1) m₁v₁ + m₂v₂ = (m₁+m₂)c, gdzie c – wspólna prędkość obu mas przy końcu pierwszego okresu 2) $c = \frac{m_{1}v_{1} + m_{2}v_{2}}{m_{1} + m_{2}}$ ]kierunki dowolne – uderzenie ukośne[1) m₁v₁ + m₂v₂ = m₁w₁ + m₂w₂,  gdzie w1 i w2 to prędkości ciał po rozłączeniu się]. W procesie zderzenia rozróżniamy dwa charakterystyczne okresy: 1) od chwili zetknięcia się ciał, aż do chwili największego zbliżenia ich środków mas, przy równoczesnym odkształceniu się obydwu ciał. 2) od chwili oddzielenia się obu mas (założenia: pomijamy siły tarcia, siły oporu, obroty, masy są punktami).

8. Równanie Lagrange’a

1) $\left( \frac{3}{2}M_{1} + M_{2} \right)s^{**} + \left( M_{2}\text{lcosφ} \right)\varphi^{**} - M_{2}\varphi^{*2}lsin\varphi + \left( c_{1} + c_{2} \right)s = 0$ 2)(M₂lcosφ)s^** + (M₂l)φ^** + (M₂gl)sinφ = 0 3) cosφ ≅ 1 sinφ ≅ φ 4) $\left( \frac{3}{2}M_{1} + M_{2} \right)s^{**} + \left( M_{2}l \right)\varphi^{**} + M_{2}l\varphi^{2}\varphi + \left( c_{1} + c_{2} \right)s = 0$ 5) (M₂l)s^** + (M₂l²)φ^** + (M₂gl)φ = 0 Dla małych drgań człon φ²φ jest małą wyższego rzędu i może być pominięty: 6) $\left( \frac{3}{2}M_{1} + M_{2} \right)s^{**} + \left( M_{2}l \right)\varphi^{**} + \left( c_{1} + c_{2} \right)s = 0$ 7) (M₂l)s^** + (M₂l²)φ^** + (M₂gl)φ = 0

10. Równanie Lagrange’a II

1) r_i^-= r_i^-(q₁,q₂,…,q_N,t) 2) $dr_{i}^{-} = \sum_{v = 1}^{n}\frac{\partial r_{i}^{-}}{\partial q_{v}}dq_{v} + \frac{\partial r_{i}^{-}}{\partial t}\text{dt}$ 3) $v_{i}^{-} = \sum_{j = 1}^{n}\frac{\partial r_{i}^{-}}{\partial q_{j}}q_{j}^{*} + \frac{\partial r_{i}^{-}}{\partial t}$ 4) $\frac{\partial v_{i}^{-}}{\partial q_{j}^{*}} = \frac{\partial r_{i}^{-}}{\partial q_{j}}$ 5) $E = \sum_{i = 1}^{n}\frac{m_{i}v_{i}^{2}}{2} = \frac{1}{2}\sum_{i = 1}^{n}{m_{i}v_{i}v_{i}}$ 6) E=E(q₁,q₂,…,q_N,q₁^*,q₂^*,…,q_N^*,t), 7) $\frac{\partial E}{\partial q_{j}} = \frac{1}{2}\left( \sum_{i = 1}^{n}{m_{i}v_{i}^{-}}\frac{\partial v_{i}^{-}}{\partial q_{j}} + \sum_{i = 1}^{n}{m_{i}v_{i}^{-}}\frac{\partial v_{i}^{-}}{\partial q_{j}} \right) = \sum_{i = 1}^{n}{m_{i}v_{i}^{-}}\frac{\partial v_{i}^{-}}{\partial q_{j}}$ 8) $\frac{\partial E}{\partial q_{j}^{*}} = \frac{1}{2}\left( \sum_{i = 1}^{n}{m_{i}v_{i}^{-}}\frac{\partial v_{i}^{-}}{\partial q_{j}^{*}} + \sum_{i = 1}^{n}{m_{i}v_{i}^{-}}\frac{\partial v_{i}^{-}}{\partial q_{j}^{*}} \right) = \sum_{i = 1}^{n}{m_{i}v_{i}^{-}}\frac{\partial v_{i}^{-}}{\partial q_{j}^{*}} = \sum_{i = 1}^{n}{m_{i}v_{i}^{-}}\frac{\partial v_{i}^{-}}{\partial q_{j}}$

9. Założenia metody ekstremalnej analizy modalnej

1) spełnienie zasady super pozycji przez badany układ fizyczny, tj. jeśli pobudzenia ( sygnały wejściowe) p_i(t) dają reakcję x_i(t) (dla i=1,2,…,n) układu, to pobudzenie sumaryczne $p_{i}\left( t \right) = \sum_{i = 1}^{n}{a_{i}p_{i}(t)}$ wymusza reakcję w postaci $x_{i}\left( t \right) = \sum_{i = 1}^{n}{a_{i}x_{i}(t)}$. 2) spełnienie zasady niezmienniczości w czasie tj. jeśli pobudzenie p(t) wymusza reakcje x(t) układu, to pobudzenie p(t+t₀) daje reakcję x(t+t₀) dla dowolnego przesunięcia czasu t₀

Popraw r żeby kreska i koleczko było nad jak drukniesz