Macierze i wyznaczniki:

Sumą macierzy A i B o tych samych wymiarach m×n nazywamy macierz C której elementy są określone wzorem C_ij=A_ij+B_ij.

Różnica macierzy tak samo.

Iloczynem macierzy przez liczbę α nazywamy macierz C o tym samym wymiarze co macierz A której el. są określone: Cij=α*Aij.

Iloczynem dwóch macierzy A i B nazywamy macierz C w której el. dane są wzorem: Cij=(l=1)Σ(n) Ail*Blj. Element Cij macierzy C=A*B otrzymujemy sumując iloczyny odpowiadających sobie i-tego wiersza macierzy A i j-tej kolumny macierzy B.

Macierzą odwrotną do macierzy A nazywamy macierz oznaczoną przez A^-1, która spełnia następujący warunek:

A^-1*A=A*A^-1=I, detI=1.

Rzędem macierzy A m×n nazywamy:

1.liczbę 0 gdy macierz jest macierzą zerową

2.liczbę równą największemu ze stopni jej różnych od zera minorów,

rząd macierzy oznaczamy „rzA”,

rzA≤ min (m×n)

Wartości i wektory własne:

Def. Niech V=[Vij]m×n będzie macierzą kolumnową o n wierszach. Każdą liczbę spełniającą równanie AV=λV nazywamy wartością własną macierzy kwadratowej A, a macierz V (wektor V) nazywamy wektorem własnym macierzy A odpowiadającym wartości własnej λ.

( A- λI)V=0 Macierz (A- λI) jest macierzą charakterystyczną macierzy A, a wyznacznik rozpatrywany jako funkcja zmiennej λ jest wielomianem charakterystycznym tej macierzy. Pierwiastki wielomianu charakterystycznego są wartościami własnymi macierzy A.

Tw. C- H: Każda macierz kwadratowa spełnia swoje równanie charakterystyczne.

Układy równań:Układem Cramera nazywamy układ w którym macierz główna jest macierzą kwadratową nieosobliwą.

Ax-B i detA≠0 ⇒istniejeA^-1

Tw. Cramera: układ Cramera ma dokładnie jedno rozwiązanie następującej postaci:

detA₁ 

x=1/detA det A₂

det A_n

gdzie Aj, 1≤j≤n, oznacza macierz utworzoną z macierzy A przez zastąpienie j-tej kolumny kolumną wyrazów wolnych.

Tw. Kroneckera- Capellego:

Należy utworzyć macierz uzupełnioną (napisać ją ilość kolumn i wierszy m×n). układ z którego została utworzona macierz uzupełniona ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy rzA=rzU, przy czym gdy rzA=rzU=n to układ ten ma dokładnie jedno rozwiązanie. Jeżeli rzA=rzU=r<n to układ ten jest nieoznaczony, ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od (n-r) parametrów.

Geometria analityczna:

Równanie ogólne płaszczyzny: Ax+By+Cz+D=0

Równanie płaszczyzny w postaci odcinkowej: x/a+ y/b+ z/c=1

Równanie płaszczyzny przechodzącej przez dany punkt i prostopadłej do danego wektora:

A( x-x₀)+ B(y-y₀) +C(z-z₀)=0

Równania parametryczne prostej:

x= x0 +lv(x)

y= y0 +lv(y)

z= z0 +lv(z) l∈R

równanie kierunkowe prostej:

(x- x0)/v_x= (y- y₀)/v_y= (z-z₀)/v_z

wektor v to wektor kierunkowy prostej.

Wzajemne położenie płaszczyzn:

1.równoległe ↔n₁×n₂=0 ↔ n₁n₂

2.prstopadłe ↔n₁°n₂=0↔ n₁⊥ n₂

3.przecinają się ↔ n₁×n₂≠0

iloczynem skalarnym wektorów v i w nazywamy liczbę daną wzorem v°m= v*w*cos(v,w); gdzie v oznacza długość wektora v, a (v,w) miarę kąta między wektorami v i w.

możemy go wykorzystać do:

1.obliczenia długości wektora korzystając ze wzoru: v= √(v°v)

2.wyznaczenia cosinusa kąta między wektorami : cos (v,w)= (v°w)/(v*w)

3.sprawdzenia czy wektory są prostopadłe w oparciu o warunek: v°w=0

iloczynem wektorowym nazywamy wektor u= v× w spełniający warunki:

1.kierunek wektora u jest taki że wektor ten jest prostopadły do wektora v oraz do wektora w,

2.zwrot wektora u wyznaczony jest regułą śruby prawoskrętnej,

3.długość wektora u dana jest wzorem u= v*w*sin(v,w)

możemy go wykorzystać do:

1.obliczenia pola równoległoboku rozpiętego na wektorach v i w: P=v×w

2.obliczenia pola trójkąta rozpiętego na wektorach v i w: P= ½ v×w

3.sprawdzenia czy wektory są równoległe: v×w=0

iloczynem mieszanym wektorów v, w, u nazywamy liczbę równą iloczynowi skalarnemu wektora v i wektora będącego iloczynem wektorowym wektorów w i u, tzn. v°(w×u), jeśli zamienimy miejscami dwa wektory w iloczynie mieszanym to jego znak zmieni się na przeciwny.

Możemy go wykorzystać do:

1.obliczenia objętości równoległoboku rozpiętego na wektorach v, w, u: V=v°(w×u)

2.obliczenia objętości czworościanu rozpiętego na wektorach v, w, u: V= 1/6 v°(w×u)

3.sprawdzenia czy wektory leżą na jednej płaszczyźnie: v°(w×u)=0

Różniczki wielu zmiennych:

Granice Hainego- funkcja dwóch zmiennych f ma w punkcie (X₀,Y₀) granicę właściwą g wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego ciągu punktów (x_n, y_n) zbioru A⊂R² takiego że: Λ_n∈N (x_n, y_n)≠(x₀,y₀)∧ lim _n→∞ (x_n,y_n)= (x₀,y₀); granica ciągu o wyrazie ogólnym f(x_n,y_n)= g.

Funkcja dwóch zmiennych f ma w punkcie (x₀,y₀) granicę niewłaściwą +∞ wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnego ciągu punktów (x_n,y_n) zbioru A⊂R² takiego że: Λ_n∈N (x_n,y_n)≠(x₀,y₀)∧ lim_n→∞ (x_n,y_n)=+∞ Ciąg o wyrazie ogólnym F(x_n,y_n) jest rozbieżny do +∞

Funkcja dwóch zmiennych ma w punkcie (x0,y0) granicę niewłaściwą -∞ wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnego ciągu punktów (x_n,y_n) zbioru A⊂R² takiego że: Λ_n∈N (x_n,y_n)≠(x₀,y₀)∧ lim_n→∞ (x_n,y_n)=-∞ Ciąg o wyrazie ogólnym F(x_n,y_n) jest rozbieżny do -∞.

Granice Cauch'ego- funkcja dwóch zmiennych f ma w punkcie (X₀,Y₀) granicę właściwą g wtedy i tylko wtedy, gdy:Λ_ε→0 V_δ>0Λ_(xn,yn)∈A [0<√[(x-x₀)²+(y-y₀)²]<δ→f(x,y)-g<ε] funkcja dwóch zmiennych f ma w punkcie (X₀,Y₀) granicę niewłaściwą +∞ wtedy i tylko wtedy, gdy:

Λ_ε→0 V_δ>0Λ_(xn,yn)∈A [0<√[(x-x₀)²+(y-y₀)²]<δ→f(x,y)>ε]

funkcja dwóch zmiennych f ma w punkcie (X₀,Y₀) granicę niewłaściwą -∞ wtedy i tylko wtedy, gdy:

Λ_ε→0 V_δ>0Λ_(xn,yn)∈A [0<√[(x-x₀)²+(y-y₀)²]<δ→f(x,y)<ε]

Ciągłość: funkcja f:R² ⊃A→R jest ciągła w punkcie (x₀,y₀) jeśli lim_{(x,y)→(x0,y0)} f(x,y)=f(x0,y0). Funkcja f jest ciągła w zbiorze A jeżeli jest ciągła w każdym punkcie tego zbioru.

Pochodne cząstkowe: Jeżeli istnieje granica właściwa lim_h→0[f(x₀+h,y₀)-f(x₀,y₀)]/h to nazywamy ją pochodną cząstkową funkcji f w punkcie (x₀,y₀) względem zmiennej x i oznaczamy symbolem ∂f/∂x(x₀,y₀). Jeżeli istnieje granica właściwa lim_k→0[f(x₀,y₀ +k)-f(x₀,y₀)]/k to nazywamy ją pochodną cząstkową funkcji f w punkcie (x₀,y₀) względem zmiennej y i oznaczamy symbolem ∂f/∂y(x₀,y₀).

Pochodne cząstkowe drugiego rzędu określamy wzorami: ∂²f/∂x²(x,y)=∂/∂x(∂f/∂x)(x,y) ;; ∂²f/(∂x∂y)(x,y)=∂/∂x(∂f/∂y)(x,y) ;; ∂²f/∂y²(x,y)=∂/∂y(∂f/∂y)(x,y) ;;

∂²f/(∂y ∂x)(x,y)=∂/∂y(∂f/∂x)(x,y). Pochodne ∂²f/∂x² i ∂²f/∂y² są pochodnymi czystymi, a ∂²f/(∂x∂y) są pochodnymi mieszanymi.

Interpretacja geometryczna poch.cząst.: niech funkcja z=f(,x,y) ma pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie (x₀,y₀). Jeżeli przetniemy wykres tej funkcji płaszczyzną y=y₀ to otrzymana w ten sposób krzywa w punkcie (x₀,y₀) ma styczną której tangens kąta nachylenia jest równy pochodnej ∂f/∂y(x₀,y₀). Podobnie przecinając wykres tej funkcji płaszczyzną x=x₀ to otrzymamy krzywą którj tangens kąta nachylenia stycznej w punkcie (x₀,y₀) jest równy ∂f/∂y(x₀,y₀).

Różniczka n-tego rządu: def. Niech funkcja f ma w otoczeniu punktu (x₀,y₀) pochodne cząstkowe do rzędu n włącznie. Różniczką n-tego rzędu funkcji f w punkcie (x₀,y₀) nazywamy funkcję dⁿf(x₀,y₀) zmiennych dx i dy określoną wzorem: dⁿf(x₀,y₀)=(∂/∂x(x₀,y₀)*dx+∂/∂y(x₀,y₀)*dy)ⁿ

Pochodne fun. złożonych: jeżeli funkcja f(x,y) jest określona w pewnym obszarze D∈R², a z kolei x=g(l) i y=h(l) odwzorowują pewien przedział (α,β) w obszarze D, to funkcja F(l)=f(g(l),h(l)) określona na przedziale (α,β) jest funkcją złożoną z funkcji f z funkcjami g i h. Funkcja f jest funkcją zewnętrzną a g i h są funkcjami wewnętrznymi.

Niech funkcje x=g(l) i y=h(l) będą różniczkowalne w punkcie l₀ i ponadto funkcja z=f(x,y) ma ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie (g(l₀),h(l₀)). Wtedy funkcja złożona F(l) ma pochodną w punkcie l₀ oraz F'(l₀)=∂f/∂x(g(l₀),h(l₀))*g'(l₀)+∂f/∂y(g(l₀),h(l₀))*h'(l₀).

Tw. Taylora: niech funkcja f ma w otoczeniu punktu (x₀,y₀) ciągłe pochodne cząstkowe do rzędu n włącznie oraz niech (x₀+Δx,y₀+Δy) będzie dowolnym punktem z otoczenia punktu (x₀,y₀). Wtedy f(x₀+Δx,y₀+Δy)=f(x₀,y₀)+df(x₀,y₀)/1!+d²f(x₀,y₀)/2!+d³(x₀,y₀)/3!+...+d^n-1(x₀,y₀)/(n-1)! +dⁿ(x₀+θΔx,y₀+θΔy)/n! gdzie θ∈(0,1). Ostatni składnik tej sumy nazywamy resztą n-tego rzędu i oznaczamy przez R_n. Jeżeli (x₀,y₀)= (0,0) to wzór ten nazywa sie wzorem Maclaurina.

Ekstrema: funkcja f:R² ⊃A→R ma w punkcie (x₀,y₀)∈A minimum lokalne właściwe, jeżeli istnieje takie sąsiedztwo S punktu (x₀,y₀), że Λ_(x,y)∈Sf(x,y)>f(x₀,y₀). funkcja f:R² ⊃A→R ma w punkcie (x₀,y₀)∈A maksimum lokalne właściwe, jeżeli istnieje takie sąsiedztwo S punktu (x₀,y₀), że Λ_(x,y)∈Sf(x,y)<f(x₀,y₀). WK: jeżeli: 1.funkcja f ma pochodne cząstkowe pierwszago rzędu w punkcie (x₀,y₀), 2. f ma ekstremum w punkcie (x₀,y₀) to ∂f/∂x(x₀,y₀)=0 i ∂f/∂y(x₀,y₀)=0. WW: jeżeli: 1.funkcja f ma ciągłe pochodne cząstkowe drugiego rzędu w otoczeniu punktu (x₀,y₀), 2. ∂f/∂x(x₀,y₀)=0 i ∂f/∂y(x₀,y₀)=0 3. W(x₀,y₀)>0 (wyznacznik drugich pochodnych) oraz ∂²f/∂x²(x₀,y₀)>0 (∂²f/∂y²(x₀,y₀)>0) to minimum lokalne; ∂²f/∂x²(x₀,y₀)<0 (∂²f/∂y²(x₀,y₀)<0) to maksimum lokalne.

Całki:

Całka iterowana: dane funkcje są ograniczone i ciągłe w rozpatrywanych obszarach. Wówczas: 1.jeżeli obszar D jest obszarem normalnym względem osi Ox danym nierównościami: a<x<b, α(x)≤y≤β(x), to ∫∫_df(x,y)dσ=_a∫^b[_α(x)∫^β(x)f(x,y)dy]dx. 2. jeżeli obszar D jest obszarem normalnym względem osi Oy danym nierównościami: a<y<b, α(y)≤x≤β(y), to ∫∫_df(x,y)dσ=_a∫^b[_α(y)∫^β(y)f(x,y)dx]dy. Całki te nazywamy całkami iterowanymi.

Tw. o zamianie zmiennych: jeżeli: 1.odwzorowanie Φ:{x=x(u,v); y=y(u,v)} (u,v)∈G, przekształca wnętrze obszaru D na wnętrze obszaru G, 2.funkcje f(x,y) i y(u,v) są ciągłe wraz z pochodnymi cząstkowymi pierwszego rzedu na G, 3.funkcja f(x,y) jest ciągła w obszarze D, 4.jakobian J_Φ=∂x/∂u ∂x/∂v

∂y/∂u ∂y/∂v≠0 w D to _D∫∫f(x,y)dxdy=_G∫∫f(x(u,v),y(u,v))*J_Φdudv [J_Φ-wyznacznik].

Zastosowanie geometryczne:

1.pole obszaru płaskiego zawartego w płaszczyźnie OXY: D=_D∫∫dxdy

2.objętość bryły ograniczonej od góry przez z=f(x,y) a od dołu z=g(x,y): V=_D∫∫f(x,y)-g(x,y)dxdy,

3.pole płata powierzchniowego S={(x,y,z):z=f(x,y)∧(x,y)∈D}:S=_D∫∫√1+[∂f/∂x(x,y)]²+[∂f/∂y(x,y)]²] dxdy Zastosowanie fizyczne:

1.masa obszaru D⊂R² o gestości powierzchniowej g(x,y): m=∫∫g(x,y)dxdy

2.momenty statyczne względem osi okładu obszaru D⊂R² o gęstości powierzchniowej g(x,y): wzg. Ox- M_x=_D∫∫yg(x,y)dxdy, wzg. Oy- M_y=_D∫∫xg(x,y)dxdy

Całka krzywoliniowa:

Jeżeli dla każdego ciągu podziałów przedziału <α,β> takiego że średnica dąży do zera, gdy n dąży do nieskończoności, ciąg sum S_n jest zbieżny do tej samej granicy właściwej niezależnej od wyboru punktów τ_k to granicę tę nazywamy całką krzywoliniową skierowaną pary funkcji [P(x,y),Q(x,y)] po łuku AB i oznaczamy _AB∫P(x,y)dx+ Q(x,y)dy. Własności: 1._AB∫P(x,y)dx+ Q(x,y)dy= _AC∫ ...+ _CB∫... gdzie C∈AB; 2. _AB∫P(x,y)dx+ Q(x,y)dy=- _BA∫P(x,y)dx+ Q(x,y)dy; 3. _AB∫P(x,y)dx+ Q(x,y)dy= _AB∫P(x,y)dx+_AB∫Q(x,y)dy.

Elementy pola: gradientem funkcji f (funkcja f ma pochodne cząstkowe I rzędu) nazywamy wektor grad f=∇f=[∂f/∂x;∂f/∂y;∂f/∂z]. Niech f i g będą polami skalarnymi określonymi na tym samym obszarze V⊂R² i niech a,b będą liczbami rzeczywistymi. Własności: 1. grad (af+bg)= a*grad f + b*grad g. 2. grad (f*g)= g*grad f+ f*grad g. 3.grad (f/g)= 1/g²(g*grad f- f*grad g). 4. grad f=[0,0,0] wtedy i tylko wtedy gdy pole skalarne jest stałe. 5. grad h(f)=h'(f)grad f, gdzie h jest różniczkowalną funkcją jednej zmiennej. Rotacją pola wektorowego F^→ określamy wzorem: rot F^→=∇×F^→ Własności: 1. rot(aF+bG)=a*rot F+b*rot G; 2.rot(f*F)=(grad f)×F+f*rot F; 3.rot(grad f)=[0,0,0]. Dywergencję pola wektorowego F określamy wzorem: div F= ∇°F. Oczywiście mamy div F=∂P/∂x+∂Q/∂y+∂R/∂z. Własności:1.div(aF+bG)= a*div F+b*div G; 2.div(f*F)=(grad f)°F+f*div F; 3.div(F×G)=G°rot F- F°rot G; 4. div(rot F)=0, gdzie składowe pola wektorowego F mają ciągłe pochodne cząstkowe drugiego rzędu.

Szeregi liczbowe:

Niech a₁, a₂, a₂,..., a_n będzie ciągiem liczbowym wówczas ciąg sum:S₁=a₁; S₂=a₁+S₂; ...; S_n=a₁+a₂+...+a_n nazywamy szeregiem liczbowym o wyrazach a_n i oznaczamy symbolem _n-1Σ^∞. Sumy S₁, S₂,..., S_n,... będziemy nazywać sumami częściowymi szeregu . Ciąg S_n będziemy nazywać ciągiem sum częściowych powstałych na tle ciągu a_n . Szereg liczbowy nazywamy zbieżnym, jeżeli jego ciąg sum częściowych S_n jest ciągiem zbieżnym(ma granicę skończoną) tzn._n→∞lim S_n=S. Liczbę S będziemy nazywać sumą tego szeregu.

Jeżeli ciąg sum częściowych jest rozbieżny (tzn. ma granicę niewłaściwą +∞ lub -∞ albo nie ma żadnej) to mówimy, że szereg jest rozbieżny.

---