Zadanie 1. Ile liczb naturalnych pomiędzy 1 i 500 (włącznie) jest podzielnych dokładnie przezedną z liczb 2, 11 i 13.

a) Liczb z przedziału 1 i 500 podzielnych przez 2 jest:

500 / 2 = 250
250 * 2 = 500 czyli 250 liczb jest podzielnych przez 2.

b) Liczb z przedziału 1 i 500 podzielnych przez 11 jest:

500 / 11=45,454545…
45 * 11 =495 czyli 45 liczb jest podzielnych przez 11.

c) Liczb z przedziału 1 i 500 podzielnych przez 13 jest:

500 / 13 = 38,4615…
13 * 38 = 494 czyli 38 liczb naturalnych z przedziału 1 i 500 jest podzielnych przez 13.

Zadanie 2. Ile liczb parzystych z przedziału [100, 9999] ma różne cyfry.

Rozwiązaniem będzie suma permutacji:

1.2.3.4

_ _ _ _  (czterocyfrowe liczby bez 0)

6*7*8*4

_ _ _ 0  (liczby z 0 na 4. miejscu)

7*8*9*1

_ _ 0 _  (0 na 3.)

7*8*1*4

_ 0 _ _  (0 na 2.)

7*1*8*4

    1.2.3

    _ _ _  (trzycyfrowe liczby bez 0)

    7*8*4

    _ _ 0  (0 na 3.)

    8*9*1

    _ 0 _  (0 na 2.)

    8*1*4

Rozwiązanie:

6*7*8*4 + 7*8*9*1 + 7*8*1*4 + 7*1*8*4 + 7*8*4 + 8*9*1 + 8*1*4 = 2624

Zadanie 4. Proszę podać definicje grafu Eulera oraz jego charakteryzację (graf G jest grafem Eulera wtedy i tylko wtedy gdy …) wraz z uzasadnieniem.
Graf ma drogę Eulera (drogę przechodzącą przez wszystkie wierzchołki i krawędzie ) wtedy i tylko wtedy, gdy jest spójny i ma, co najwyżej dwa wierzchołki stopni nieparzystych.
Graf eulerowski, graf Eulera – rodzaj grafu rozpatrywany w teorii grafów. Graf eulerowski odznacza się tym, że da się w nim skonstruować cykl Eulera, czyli drogę, która przechodzi przez każdą jego krawędź dokładnie raz i wraca do punktu wyjściowego. Pierwszy raz problem poszukiwania cyklów w grafach został podniesiony przez szwajcarskiego matematyka, Leonharda Eulera w roku 1736, który chciał rozwiązać zagadnienie mostów królewieckich. Aby odszukać cykl Eulera w grafie można posłużyć się algorytmem Fleury'ego