Podstawowy wzór teorii kinetyczno-molekularnej gazów

Rozpatrujemy gaz znajdujący się w naczyniu, które ma kształt sześcianu o krawędzi l. W naczyniu tym jest N cząsteczek, przy czym należy podkreślić, że N jest dużą liczbą. Jeżeli np. dysponowalibyśmy jednym molem gazu, liczba cząsteczek wynosiłaby

N = 6, 02 • 10²³

Cząsteczki poruszają się we wszystkich możliwych kierunkach, co oznacza, że statystycznie jednym z trzech zasadniczych kierunków (x,  y,  z) porusza się $\frac{N}{3}$ cząsteczek. Poruszające się cząsteczki zderzają się ze ścianami naczynia i wywierają w zbiorniku pewne ciśnienie.

Rozpatrzmy wybraną (statystyczną) cząsteczkę o średnich parametrach: prędkości v i tym samym średniej energii kinetycznej E_k.

1. Obliczenie F₁ - siły działania jednej cząsteczki na ścianę podczas zderzenia się jej z tą ścianą.

Pęd cząsteczki przed zderzeniem...

p = mv

...i po zderzeniu:

p = m(−v)

Podczas zderzenia cząsteczka zmienia swój pęd o:

p = mv − m(−v) = 2mv

Z uogólnionej zasady II dynamiki (popęd siły równy jest przyrostowi pędu):

F₁t = p

Uwzględniając obliczony przyrost pędu cząsteczki, otrzymamy:

F₁t = 2mv

Czas t jest czasem, w którym zachodzi rozpatrywana zmiana pędu. W czasie tym cząsteczka przebędzie drogę 2l, tj. od ściany do przeciwległej ściany i z powrotem, by ponownie zderzyć się z daną ścianą, a tym samym zmienić swój pęd.

Z równania drogi w ruchu jednostajnym prostoliniowym (mamy do czynienia z gazem doskonałym):

2l = vt

$$t = \frac{2l}{v}$$

Podstawiamy powyższe do wzoru na szukaną siłę:

$$F_{1} = \frac{2mv}{t} = \frac{2mv}{\frac{2l}{v}} = \frac{2mv^{2}}{2l}$$

Zauważmy, że energia kinetyczna wynosi...

$$E_{k} = \frac{mv^{2}}{2}$$

...a więc nasza siła:

$$F_{1} = \frac{mv^{2}}{2} \bullet \frac{2}{l}$$

$$F_{1} = \frac{2E_{k}}{l}$$

1. Obliczenie F - siły działania $\frac{N}{3}$cząsteczek na ścianę podczas zderzenia z tą ścianą.

Powyżej opisaliśmy sytuację dla jednej cząsteczki, teraz mamy ich $\frac{N}{3}$, tak więc:

$$F = \frac{1}{3}NF_{1} = \frac{1}{3}N \bullet \frac{2E_{k}}{l} = \frac{2}{3}\frac{NE_{k}}{l}$$

gdzie E_kto średnia energia kinetyczna cząsteczek.

C. Obliczenie ciśnienia p wywieranego przez gaz w zbiorniku.

Z definicji ciśnienia:

$$p = \frac{F}{S}$$

Ciśnienie to jest wywierane identycznie na każdą ze ścian naczynia w kształcie sześcianu, dla którego powierzchnia jednej ściany wynosi:

S = l²

Na podstawie tego możemy wyliczyć ciśnienie wywierane przez gaz w zbiorniku (a właściwie na jedną ścianę przez $\frac{1}{3}$ cząsteczek w nią uderzających:

$$p = \frac{\frac{2}{3}\frac{NE_{k}}{l}}{l^{2}} = \frac{2}{3}\frac{N}{l^{3}}E_{k}$$

Ponieważ l³ to objętość V naczynia, więc

$$p = \frac{2}{3}\frac{N}{V}E_{k}$$

Ciśnienie gazu w zbiorniku zamkniętym jest wprost proporcjonalne do liczby cząsteczek w naczyniu i średniej energii kinetycznej cząsteczek, a odwrotnie proporcjonalne do objętości naczynia.

Zauważcie, że ciśnienie gazu nie zależy od kształtu naczynia.