Żeby funkcje można było aproksymowć musi spełniać warunki Drichleta. Warunki Dirichleta: warunki wystarczające aby funkcja okresowa posiadała reprezentację w postaci szeregu Fouriera oraz posiadała transformatę Fouriera: 1. funkcja f jest bezwzględnie całkowalna, tzn:[całka od –T/2 do T/2]: |f(x)|dx<nieskończoność, 2.funkcja f w przedziale jednego okresu ma skończoną liczbę maksimów lokalnych i minimów lokalnych, 3.funkcja f w przedziale jednego okresu posiada skończoną liczbę punktów nieciągłości pierwszego rodzaju, to f ma reprezentację w postaci szeregu Fouriera. Zbiory zupełne w których elementy są względem siebie ortogonalne: zbiór funkcji trygonom. sin(ῳt) cos(ῳt), zb. F. wykładniczej, Bessela, wielomiany Legenrea, funkcje Laguerra. Zaleta Laplacea: Ma taką zaletę, że nie trzeba liczyć każdego x oddzielnie tylko za pomocą metody zmiennych stanu liczymy całość od razu. Zastosowanie Laplacea: Transformata Laplace'a posiada kilka własności, które czynią ją szczególnie użyteczną w analizie liniowych układów dynamicznych. W inżynierii i fizyce jako narzędzie analizy graficznej wykorzystywana jest płaszczyzna S. Na płaszczyźnie S, mnożenie przez s, daje efekt różniczkowania, dzielenie przez s, daje efekt całkowania. Analiza pierwiastków zespolonych równania na płaszczyźnie 's' i przedstawienie ich na wykresie Arganda, może ujawnić informacje na temat charakterystyk częstotliwościowych i na temat stabilności układu (przebieg rzeczywistej funkcji czasu). Algorytmy genetyczne: metody optymalizacji, poszukiwanie maksimum funkcji rzeczywistych dodatnich [f(x)->min][1/f(x)_min ->max] Ewolucja: W algorytmie występuje naturalna selekcja, dobór najlepiej dostosowanych osobników, krzyżowanie fenotypów i większa szansa na przetrwanie osobników bardziej dostosowanych do środowiska (co można wytłumaczyć metodą ruletki) Analiza stabilności: ukł. techniczny jest stabilny jeżeli jest zdolny do pracy w różnych warunkach bez zagrożenia samozniszczeniem. [do wykresu: 1. Układ niestabilny 2. Stabilność nieasyptotyczna-wraca do innego stanu równowagi 3. Układ stabilny 4. Stabilność asymptotyczna–układ wytrącony z równowagi wraca do tego stanu] Metody Lapunowa: służą do określania stabilności punktu równowagi układu nieliniowego. Lapunow przedstawił dwie metody analizy stabilności. Pierwsza z tych metod nazywana jest metodą pośrednią i pozwala na badanie stabilności lokalnej, druga - nazywana jest metodą bezpośrednią i służy do badania stabilności w ograniczonym lub nieograniczonym obszarze przestrzeni stanów układów nieliniowych. Druga metoda Lapunowa stanowi najbardziej ogólną metodę określania stabilności systemów nieliniowych i/lub niestacjonarnych. Metoda ta ma zastosowanie do układów dowolnego rzędu (ciągłych i dyskretnych, liniowych i nieliniowych). Bardzo dogodne jest to, że korzystając z drugiej metody Lapunowa można określić stabilność układu bez rozwiązywania równań stanu. Metoda ta wymaga skonstruowania funkcji V(x) takiej, że:{ 1. V(x_e)=0 2. V(x)>0 dla każdego x≠x_e 3. Pierwsza pochodna po V(x)≤0 } - funkcja taka to funkcja Lapunowa. Jeśli układ posiada funkcję Lapunowa, to jest stabilny. Jeżeli w trzecim warunku mamy nierówność ostrą (dla x≠x_e), to układ jest asymptotycznie stabilny.

Trygonom szereg F.: $f\left( x \right) = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty}\left( a_{n}\cos\frac{2\text{nπx}}{T} + b_{n}\sin\frac{2\text{nπx}}{T} \right)$, a₀= 1/T[całka od –T do T]: f(x)dx, a_n= 2/T [całka od –T/2 do T/2]: f(x)cos(2npix/T)dx n=0,1,2…, b_n=2/T [całka od –T/2 do T/2]: f(x)sin(2npix/T)dx n=1,2… Wykładniczy szereg: 1/To [całka od t1 do t1+To]: {e^-jnwt (suma od -∞ do ∞): c_k e^jknwt} dt, , c_n= 2/T₀ [całka od t1 do t1+To]: f(x)e^-jnwtdt, c_k=2/T [całka od 0 do T₀]: f(x) e^-jknwt dt W postaci zwartej: $f\left( x \right) = c_{0} + \sum_{n = 1}^{\infty}{c_{n}\left( \cos\frac{2\text{nπx}}{T} \right)}$, c_o=a₀. F.parzysta: b_n=O, nieparzysta: a_n=a_o=0. Stanem układu nazywa się najmniej liczny zbiór wielkości, który należy określić w chwili t = t₀, aby można bylo przewidzieć jednoznacznie zachowanie się układu w każdej chwili t ≥ t₀, dla każdego sygnału wymuszającego należącego do danego zbioru sygnałów wymuszających, przy założeniu, że wszystkie elementy zbioru wymuszeń są znane dla t ≥ t₀. Wielkości te są nazywane zmiennymi lub współrzędnymi stanu. Wektor będący zbiorem n zmiennych stanu nazywamy wektorem stanu. Równanie stanu to nieliniowy wektor oddziaływań zewnętrznych(sterowania).