1. Stosując kwantyfikatory podaj definicję granicy ciągu an

2. Podaj twierdzenia o działaniach na ciągach

3. Podaj definicję liczby e

Jako granica ciągu, e jest określana przez

Jako suma szeregu, e jest określana przez

gdzie n! jest silnią liczby n.

4. Co to jest szereg liczbowy?

5. Podaj warunek konieczny zbieżności szeregu

6. Podaj kryteria zbieżności szeregu

7. Co to jest szereg naprzemienny?

8. Co oznacza zbieżność bezwzględna i warunkowa?

9. Podaj definicję szeregu harmonicznego rzędu k oraz określ warunki zbieżności

Szeregiem harmonicznym rzędu α nazywamy szereg postaci:

Szereg ten jest zbieżny dla α>1 i rozbieżny w przeciwnym przypadku.

10. Podaj definicję szeregu geometrycznego oraz określ warunki zbieżności

Szeregiem geometrycznym nazywamy szereg

 gdzie 

Załóżmy, że . Szereg geometryczny  jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy wartość bezwzględna jego ilorazu q jest mniejsza od 1 (symbolicznie ). Suma szeregu dana jest wzorem:

11. Granica funkcji i jej własności (zeszyt)

• Jeśli funkcje  i , określone na zbiorze , mają granice właściwe  i , to:

  • 

  • 

  •  gdy  oraz 

•  oraz  w pewnym sąsiedztwie 

•  oraz 

•  oraz 

•  oraz  w pewnym sąsiedztwie 

•  oraz  w pewnym sąsiedztwie 

12. Stosując kwantyfikatory podaj definicję granicy funkcji w punkcie x0, w

definicja Heinego 

dla każdego ciągu  takiego, że dla dowolnego  oraz  ciąg wartości funkcji  dąży do  przy 

definicja Cauchy'ego 

dla każdej liczby  istnieje liczba  taka, że dla każdego  z nierówności  wynika nierówność  w zapisie symbolicznym:

13. Podaj własności granicy ciągu

• Ciąg ma najwyżej jedną granicę (właściwą).

• Jeśli ciąg ma granicę właściwą, to jest on ograniczony^[2][3].

Jeśli ciąg liczb rzeczywistych bądź zespolonych ma granicę niewłaściwą, to jest nieograniczony.

• Jeśli ciągi  i  są zbieżne oraz  dla każdego naturalnego  to 

• Twierdzenie o trzech ciągach: jeśli ciągi  i  są zbieżne do wspólnej granicy  przy czym  dla każdego naturalnego  to ciąg  również jest zbieżny i to do granicy 

• Jeśli ciągi  są ciągami zbieżnymi odpowiednio do  oraz do  to wykonalne są działania:

  • 

  • 

  • 

  •  o ile tylko  oraz  dla każdego 

• Każdy liczbowy ciąg monotoniczny i ograniczony ma granicę^[4][5].

14. Co to są symbole nieoznaczone

Symbol bądź wyrażenie nieoznaczone – wyrażenie algebraiczne, które nie ma sensu liczbowego, będące umownym sposobem zapisu przy obliczaniu granic funkcji. Zalicza się do nich:

15. Podaj definicję ciągłości funkcji w punkcie x0

Definicja Heinego
Funkcja f jest ciągła w punkcie x₀ wtedy, gdy dla każdego ciągu (x_n) o wyrazach x_n∈U, zbieżnego do x₀
                limx→x0f(xn)=f(x0).

Definicja Cauchy'ego
Funkcja f jest ciągła w punkcie x₀ wtedy, i tylko wtedy, gdy
                ∀ε>0∃δ>0∀x(|x−x0|<δ⇒|f(x)−f(x0)|<ε).

16. Podaj definicję pochodnej funkcji w punkcie

17. Wyprowadź kilka wzorów na pochodną funkcji np. f(x) = x, f(x) =x2, f(x) =sinx, f(x) =cosx, f(x) =, f(x) =

18. Podaj twierdzenia o pochodnych – Rolla, Lagrange'a

Twierdzenie Rolle'a
Jeżeli funkcja f spełnia następujące warunki:
    - jest ciągła w przedziale domkniętym <a, b>,
    - jest różniczkowalna w przedziale otwartym (a, b),
    - f(a) = f(b),
to istnieje taki punkt c∈(a, b), dla którego f '(c) = 0.

Twierdzenie Lagrange'a (o przyrostach funkcji)
Jeżeli funkcja f spełnia następujące warunki:
    - jest ciągła w przedziale domkniętym <x₀, x>,
    - jest różniczkowalna w przedziale otwartym (x₀, x),
to istnieje taki punkt c∈(x₀, x), dla którego f(x) - f(x₀) = f '(c)(x - x₀).

Dla funkcji f ciągłej w przedziale domkniętym <a, b> i różniczkowalnej w przedziale otwartym (a, b) z twierdzenia Lagrange'a wynikają następujące wnioski:
    - funkcja f jest stała w przedziale <a, b> wtedy, gdy dla każdego x∈(a, b) f '(x) = 0.
    - jeżeli f '(x) > 0 dla każdego x∈(a, b), to funkcja f jest w tym przedziale rosnąca.
    - jeżeli f '(x) < 0 dla każdego x∈(a, b), to funkcja f jest w tym przedziale malejąca.

19. Podaj własności pochodnej funkcji

20. Podaj wzór Taylora

21. Monotoniczność funkcji, a pochodna funkcji – podaj związek

22. Podaj Regułę de l'Hospitala

23. Podaj definicję minimum i maksimum lokalnego funkcji.

• minimum lokalne, jeśli istnieje otoczenie otwarte  punktu  takie, że dla każdego 

więc nie występują w okolicy punktu  wartości funkcji mniejsze od  (ani nieporównywalne), choć mogą występować wartości równe;

• maksimum lokalne, gdy istnieje otoczenie otwarte  punktu  takie, że dla każdego 

więc nie występują w okolicy punktu  wartości funkcji większe od  (ani nieporównywalne), choć mogą występować wartości równe;

24. Podaj warunki konieczne i wystarczające na minimum i maksimum lokalne funkcji.

Warunkiem koniecznym istnienia ekstremów lokalnych funkcji  w pewnym punkcie  jest

Geometrycznie oznacza to, że styczna do wykresu funkcji jest w tym punkcie prostą poziomą. Jest to tzw. twierdzenie Fermata

Funkcja ciągła  różniczkowalna w przedziale  i mająca skończoną liczbę punktów stacjonarnych (tj. takich, w których zeruje się jej pierwsza pochodna)^[5] ma w punkcie :

• minimum lokalne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie  że:

  • 

  •  dla 

  •  dla 

• maksimum lokalne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie  że

  • 

  •  dla 

  •  dla 

25. Podaj warunki konieczne i wystarczające na punkt przegięcia funkcji (zeszyt)

26. Jak stosujemy pochodne do badania funkcji

Przedziały wzrostu i malenia, przedziały wklęsłości i wypukłości, punkty przegięcia

27. Wyjaśnij co to są asymptoty funkcji, podaj wzory

Asymptota krzywej to prosta, do której coraz bardziej zbliża się dana krzywa, gdy się wzdłuż niej przemieszczamy. W dostatecznie odległych punktach krzywa prawie pokrywa się ze swoją asymptotą.

Asymptota ukośna ma wzór: , gdzie:

28. Całka – podaj definicję (zeszyt)

29. Co to jest funkcja pierwotna? (zeszyt)

30. Podaj własności całki

$$\frac{d}{\text{dx}}\int_{}^{}{f\left( x \right)dx = f(x)}$$

∫F^′(x)dx = F(x) + C

∫(af(x)+bg(x))dx = a∫f(x)dx + b∫g(x)dx

$$\int_{}^{}{\frac{f^{'}(x)}{f(x)}dx = \ln{\left| f(x) \right| + C}}$$

31. Na czym polega całkowanie przez części

Twierdzenie (o całkowaniu przez części): Jeżeli u, v są funkcjami zmiennej x mającymi ciągła pochodną, to:

u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - u'(x)v(x)dx.

32. Na czym polega całkowanie przez podstawienie

Twierdzenie (o całkowaniu przez podstawienie): Jeżeli dla a  x  b funkcja g(x) = u jest ciągła i ma ciągłą pochodną oraz A  g(x)  B, zaś funkcja f (u) jest ciągła w przedziale [A, B], to:

f (g(x))g'(x)dx = f (u)du,

33. Co to jest funkcja wymierna?

Funkcją wymierną nazywamy iloraz dwóch wielomianów R(x)=$\frac{P(x)}{Q(x)}$

34. Na czym polega całkowanie funkcji wymiernych

Przy obliczaniu całek z funkcji wymiernych postępujemy w następujący sposób:

1. Jeżeli n  m, to licznik dzielimy przez mianownik i funkcję podcałkową przedstawiamy jako sumę wielomianu oraz funkcji wymiernej, w której stopień licznika jest już mniejszy niż stopień mianownika (n < m).

2. Jeżeli n < m, to funkcję podcałkową rozkładamy na tzw. ułamki proste, tj. na wyrażenia postaci

 oraz ,

gdzie A, B, C, a, b, c, d, e są stałe, przy czym d² -4ce < 0 (wyróżnik trójmianu cx² + dx + e jest ujemny), zaś k i p są liczbami naturalnymi.

35. Na czym polega całkowanie funkcji niewymiernych

Całkowanie funkcji elementarnych polega na sprowadzeniu funkcji do funkcji elementarnych (wymierne, trygonometryczne, odwrotne do trygonometrycznych, wykładnicze i logarytmiczne).

Podstawowymi całkami funkcji niewymiernych, do których wiele innych da się sprowadzić, są:

(1)

(2) .

36. Co to jest ułamek prosty pierwszego i drugiego rodzaju?

37. Metody całkowania funkcji trygonometrycznych

Całki postaci f (x)ⁿdx, gdzie f jest funkcją trygonometryczną (lub jej odwrotnością) a n jest pewną liczbą naturalną. Całki tego typu obliczamy stusując następujące wzory rekurencyjne:

• sinⁿ(x)dx = - sin^n-1(x)cos(x) + sin^n-2(x)dx

• cosⁿ(x)dx = cos^n-1(x)sin(x) + cos^n-2(x)dx

• tgⁿ(x)dx = tg^n-1(x) - tg^n-2(x)dx

• ctgⁿ(x)dx = - ctg^n-1(x) - ctg^n-2(x)dx

• dx = - ctg(x) + dx

• dx = tg(x) + dx

• Całki postaci f (Ax)ⁿg(Bx)^mdx, gdzie f oraz g są sinusem i/lub kosinusem. W ogólnym przypadku całki te sprowadzamy do sumy całek wcześniej omówionego typu stosując w tym celu odpowiednie tożsamości trygonometryczne.

• W pierwszym kroku redukujemy potęgi używając identyczności:

• sin(x)cos(x) = sin(2x),

• sin²(x) = (1 - cos(2x)),

• cos²(x) = (1 + cos(2x)).

• Najpierw eliminujemy iloczyny postaci sin(Ax)cos(Ax) za pomocą pierwszego wzoru, a potem - przy pomocy dwóch pozostałych - "zmniejszamy o połowę" występujące potęgi. Po tym procesie zostają nam iloczyny postaci f (Ax)g(Bx) gdzie A  B. W drugim kroku rozbijamy je używając następujących wzorów:

• sin(Ax)sin(Bx) = (cos((A - B)x) - cos((A + B)x)),

• cos(Ax)cos(Bx) = (cos((A - B)x) + cos((A + B)x)),

• sin(Ax)cos(Bx) = (sin((A - B)x) + sin((A + B)x)).

Całki postaci R(sin(x), cos(x))dx, gdzie R jest funkcją wymierną dwóch zmiennych. Podamy ogólną metodę rozwiązywania całek z funkcji wymiernych od funkcji trygonometrycznych. Metoda ta jest na ogół dość czasochłonna i o ile jest to tylko możliwe, wskazane jest używanie uproszczonych schematów opisanych powyżej. O ile nie jest to możliwe, stosujemy podstawienie:

u = tg().

Wówczas funkcje trygonometryczne zmiennej x wyrażą się - poprzez proste tożsamości trygonometryczne - następującymi wzorami:

• sin(x) = ,

• cos(x) = ,

• tg(x) = ,

• ctg(x) = ,

• dx = du.

38. Podaj definicję całki oznaczonej

39. Podaj definicję całki niewłaściwej funkcji nieograniczonej prawostronnie, lewostronnie, w obszarze nieograniczonym

40. Podaj zastosowania całki oznaczonej

41. Czym różni się największa i najmniejsza wartość funkcji od maksimum i minimum?

Należy pamiętać, że ekstremum funkcji i największa i najmniejsza wartość funkcji to różne pojęcia, gdy mamy funkcje ciągłą w danym przedziale to zawsze istnieje największa i najmniejsza wartość jednak może wtedy nie istnieć ekstremum.

42. Podaj Twierdzenie o trzech ciągach

Niech dane będą trzy ciągi liczb rzeczywistych  oraz  Jeśli dla prawie wszystkich wyrazów tych ciągów, tzn. dla wszystkich  większych od pewnego wskaźnika  zachodzi

przy czym

to wtedy także

43. Podaj równanie stycznej do krzywej

Styczna do krzywej y=f(x) w punkcie A(x₀,f(x₀)) określona jest równaniem:

44. Sformułuj zagadnienie Cauchy’ego dla równania różniczkowego pierwszego i drugiego rzędu.

Zagadnienie Cauchy'ego (zagadnienie początkowe) – w matematyce, zagadnienie polegające na znalezieniu konkretnej funkcji spełniającej dane równanie różniczkowe i warunek początkowy.

45. Co to są warunki początkowe dla równania różniczkowego pierwszego rzędu i drugiego rzędu

W przypadku równania stopnia pierwszego, warunkiem początkowym będzie punkt, przez który powinien przechodzić wykres szukanej funkcji. W przypadku równania stopnia drugiego, zagadnienie początkowe zawierać będzie dodatkowo wartość pierwszej pochodnej w danym punkcie i analogicznie, w przypadku równań wyższego stopnia.

46. Na czym polega metoda uzmiennia stałych dla równania różniczkowego pierwszego rzędu i drugiego rzędu

Rozważmy liniowe równanie różniczkowe -tego rzędu postaci:

.

Współczynniki  mogą być zarówno stałymi jak i funkcjami zmiennej .
Jeżeli funkcja  jest całką ogólną równanie jednorodnego (tj. równania  gdy ), możemy wyznaczyć całkę szczególną równania niejednorodnego  stosując metodę wariacji (uzmienniania) stałych. Ideą tej metody jest potraktowanie stałych  jako funkcji zmiennej . Funkcje te wyznaczamy z następującego układu równań (zapisanego w postaci równania macierzowego):

Pierwszą macierz po lewej nazywamy macierzą Wrońskiego.
Wyznaczając z tego równania , a następnie  i wstawiając w miejsce stałych w otrzymujemy całkę szczególną równania niejednorodnego .