Politechnika Warszawska

Wydział Geodezji i Kartografii

ĆWICZENIE 1

Projekt konstrukcji pomiarowej do wyznaczenia odchylenia osi komina od pionu.

Michał Grzyb, Adam Góra

Specjalizacja GIP

Semestr: II

Rok akademicki: 2014/2015

Cel ćwiczenia:

Celem ćwiczenia było zaprojektować konstrukcję pomiarową do w wyznaczenia poziomego odchylenia punktu G (oś komina w płaszczyźnie górnej) od linii pionowej przechodzącej przez punkt D (oś komina w płaszczyźnie dolnej). Przyjęliśmy wysokość komina równą 180 m, a położenie punktu G wewnątrz okręgu o promieniu 11 mm wyznaczono z prawdopodobieństwem P=0,95.

Zadanie wykonano przy zastosowaniu dwóch podejść:

1. Podejście ścisłe polegające na przeprowadzeniu procesu wyrównania metodą pośredniczącą

2. Podejście przybliżone oparte na analizie dokładności przy wykorzystaniu wstęg wahań.

Wykonanie ćwiczenia:

Ad1. Podejście ścisłe.

Ad2. Podejście przybliżone.

Określenie dopuszczalnego błędu położenia punktu G względem punktu D

Ostatecznie położenie punktu G obliczono ze wzoru:

$$m_{p} = \sqrt{m_{x}^{2} + m_{y}^{2}} = 4,4\text{\ mm}$$

Konstrukcja pomiarowa

Położenie punktu G względem punktu D wyznaczamy z 3 niezależnych konstrukcji

• 1,2

• 2,3

• 1,3

Każda z nich ma taką samą geometrię. Stanowiska są rozmieszczone w odległości od komina zapewniającej celowanie do jego górnych tworzących pod kątem horyzontalnym 40^o,co daje nam odległość 214,516 m. Celowe do osi komina dla każdej konstrukcji przecinają się pod kątem 120⁰. Położenie(wychylenie) punktu G względem punktu D jest średnią z 3 wyznaczeń, czyli

w = (x, y) – wychylenie punktu G otrzymane z jednej konstrukcji

m_x = m_y = m

$m_{w} = \sqrt{{m_{x}}^{2} + {m_{y}}^{2}} = \sqrt{2}m$ – błąd wychylenia punktu G otrzymany z jednej konstrukcji

w_sr = (x_sr, y_sr) – wychylenie punktu G otrzymane z trzech konstrukcji

$${x}_{\text{sr}} = \frac{{x}_{1,2} + {x}_{1,3} + {x}_{2,3}}{3}$$

$${y}_{\text{sr}} = \frac{{y}_{1,2} + {y}_{1,3} + {y}_{2,3}}{3}$$

$${m_{x}}_{\text{sr}} = \sqrt{\frac{1}{9}{m_{x}}_{1,2} + \frac{1}{9}{m_{x}}_{1,3} + {\frac{1}{9}m_{x}}_{2,3}}$$

m_x1, 2 = m_x1, 3 = m_x2, 3 = m_x

$${m_{x}}_{\text{sr}} = \frac{m_{x}}{\sqrt{3}}$$

$${m_{y}}_{\text{sr}} = \sqrt{\frac{1}{9}{m_{y}}_{1,2} + \frac{1}{9}{m_{y}}_{1,3} + {\frac{1}{9}m_{y}}_{2,3}}$$

m_y1, 2 = m_y1, 3 = m_y2, 3 = m_y

$${m_{y}}_{\text{sr}} = \frac{m_{y}}{\sqrt{3}}$$

m_x = m_y = m

${m_{w}}_{\text{sr}} = \sqrt{{{m_{x}}_{\text{sr}}}^{2} + {{m_{y}}_{\text{sr}}}^{2}} = \sqrt{\left( \frac{m_{x}}{\sqrt{3}} \right)^{2} + \left( \frac{m_{y}}{\sqrt{3}} \right)^{2}} = \sqrt{\frac{2m^{2}}{3}} = \frac{\sqrt{2}m}{\sqrt{3}} = \frac{m_{w}\ }{\sqrt{3}}$– błąd wychylenia punktu G otrzymany z trzech konstrukcji,

a więc:

m_wsr ≡ m_p

$$m_{p} \geq \frac{m_{w}\ }{\sqrt{3}}$$

$${\sqrt{3}m}_{p} \geq m_{w}$$

Wyznaczenie błędu wychylenia dla jednej konstrukcji przy zastosowaniu wstęg wahań

$m_{w} = \frac{\sqrt{e_{1}^{2} + e_{2}^{2}}}{\sin\gamma}$;

∖te₁ =  e₂ = e – szerokość wstęgi wahań

γ – kąt przecięcia się wstęg wahań

$m_{w} = \frac{\sqrt{2}e}{\sin\gamma}$ – błąd wychylenia punktu G wyznaczony z 1 konstrukcji

Wychylenie punktu G:

w = α * d

α- różnica kierunków na oś komina

d- odległość do komina

Szerokość wstęgi wahań:

$$e = \sqrt{{m_{\alpha}}^{2}*d^{2} + {m_{d}}^{2}*{\alpha}^{2}}$$

$$m_{w} = \frac{\sqrt{2}*\sqrt{{m_{\alpha}}^{2}*d^{2} + {m_{d}}^{2}*{\alpha}^{2}}}{\sin\gamma}$$

Korzystając z wyżej wyprowadzonej zależności ${\sqrt{\mathbf{3}}\mathbf{m}}_{\mathbf{p}}\mathbf{\geq}\mathbf{m}_{\mathbf{w}}$ mamy:

$${\sqrt{3}m}_{p} \geq \frac{\sqrt{2}*\sqrt{{m_{\alpha}}^{2}*d^{2} + {m_{d}}^{2}*{\alpha}^{2}}}{\sin\gamma}$$

Wyraz m_d * α jest bardzo mały wiec możemy go zaniedbać w obliczeniach

$$d = \frac{180}{\text{tg}\left( 40^{0} \right)} = 214,516\ m$$

$$m_{d} = \sqrt{\left( 180*\log{\left( \sin\left( 40^{0} \right) \right)*m_{z}} \right)^{2}} = 2,71\ mm$$

m_z – błąd kąta pionowego, m_z = 50^cc

Dla wychylenia równego 10 cm mamy α = 297^cc

m_d * α = 1, 27 * 10⁻⁶ m – bardzo mała wartość więc nie musimy jej uwzględniać

Różnicę kierunków na oś komina należy zatem mierzyć z dokładnością:

$${\sqrt{3}m}_{p} \geq \frac{\sqrt{2}*\sqrt{{m_{\alpha}}^{2}*d^{2}}}{\sin\gamma}$$

$$m_{\alpha} \leq \frac{{\sqrt{3}*m}_{p}*\sin\gamma}{\sqrt{2}*d}$$

m_α ≤ 13, 85^cc = 4, 49^″

Różnica kierunków na oś komina:

α = K_osG − K_osD

$K_{\text{os}} = \frac{{K_{T}}_{L} - {K_{T}}_{P}}{2}$ – kierunek na oś komina

m_KT = m_KTL = m_KTP– błąd kierunku na tworzącą komina

$m_{K_{\text{os}}} = \frac{{m_{K}}_{T}}{\sqrt{2}}$ – błąd kierunku na oś komina

m_Kos = m_KosG=m_KosD

$m_{\alpha} = \sqrt{2}*m_{K_{\text{os}}} = {m_{K}}_{T}$

Pojedynczy kierunek na tworzącą należy mierzyć ze średnim błędem mniejszym niż 13, 85^cc = 4, 49^″