Ćw. nr: 17

Wyznaczanie momentów bezwładności brył sztywnych za pomocą wahadła skrętnego

1. Zagadnienia do opracowania

1. Wahadło skrętne (torsyjne).

Wahadło w którym sprężystość jest związana ze skręcaniem zamocowanego na jednym końcu cienkiego pręta.

Jeżeli jeden z końców jednorodnego pręta zamocujemy sztywno, a do drugiego przyłożymy skręcający moment siły, a następnie go usuniemy to pręt zacznie drgać wokół położenia spoczynkowego,

wykonując ruch harmoniczny.

2. Drgania harmoniczne

Drgania harmoniczne są to drgania okresowe o stałej amplitudzie opisane sinusoidą. Ze względu na prostotę opisu drgania harmoniczne są wykorzystywane do opisu wielu drgań rzeczywistych, jako ich przybliżenie. Drgania tłumione występują gdy ruch stopniowo zanika, a na skutek działania sił tarcia energia mechaniczna zamienia się w energię termiczną.

3. Moment bezwładności

Jest to miara bezwładności ciała w ruchu obrotowym względem określonej, ustalonej osi obrotu. Im większy moment, tym trudniej zmienić ruch obrotowy ciała, np. rozkręcić dane ciało lub zmniejszyć jego prędkość kątową.

Moment bezwładności punktu materialnego jest iloczynem jego masy i kwadratu odległości od osi obrotu:

Moment bezwładności ciała składającego się z n punktów materialnych jest sumą momentów bezwładności wszystkich tych punktów względem obranej osi obrotu:

1. Wprowadzenie

W skręconym o kąt α pręcie istnieje równowaga pomiędzy przyłożonym momentem M_z i momentem reakcji pręta M. Po usunięciu zewnętrznego momentu siły M_z, powstają drgania pod wpływem momentu sił sprężystości pręta.

Równanie różniczkowe drgań skrętnych możemy zapisać jako:

Po rozwiązaniu:

Iloraz jest częścią drgań własnych oscylatora skrętnego, z którego wynika że okres drgań:

Wyznaczając okres drgań T i moment kierujący D możemy wyznaczyć moment bezwładności I. Aby wyznaczyć moment bezwładności dla dowolnej bryły należy określić okres drgań T₀ ramki nie obciążonej bryłą, a następnie okres drgań T₁ układu ramki z bryłą, których moment bezwładności wynosi I₁.

Okresy drgań dla obydwu przypadków:

I₁=I₀+I_w

gdzie I_w- znany moment bezwładności walca

Z tych równań możemy obliczyć I₀ i D:

Okres drgań układu z bryłą o nieznanym momencie bezwładności wynosi:

Po podstawieniu poprzednich wzorów otrzymujemy:

Tabela pomiarowa

t0	T0	t1	T1	txi	Txi
12,116	1,2116	15,1156	1,51156	17,726 22,748 24,105	1,773 2,4131 2,2748
[s]	[s]	[s]	[s]	[s]	[s]

m	r	Iw	Ixi
0,8325	0,0185	0,00008325	0,0004572 0,001013 0,001187
[kg]	[m]	[kgm^2]	[kgm^2]

Obliczenia:

$I_{w} = \frac{1}{2}mr^{2} =$0,00008325 [kg*m²]

$I_{\text{xi}} = \frac{T_{\text{sz}}^{2} - T_{0}^{2}}{T_{1}^{2} - T_{0}^{2}}*I_{w} =$ 0,000171 [kg*m²]

$I_{\text{xi}} = \frac{T_{\text{sz}}^{2} - T_{0}^{2}}{T_{1}^{2} - T_{0}^{2}}*I_{w} =$ 0,000443 [kg*m²]

$I_{\text{xi}} = \frac{T_{\text{sz}}^{2} - T_{0}^{2}}{T_{1}^{2} - T_{0}^{2}}*I_{w} =$ 0,000377 [kg*m²]

Niepewności pomiarowe:

Obliczanie niepewności standardowej typu B:

$u\left( t \right) = \frac{t}{\sqrt{3}} = \frac{0,001}{\sqrt{3}} =$0,0005774 [s]

$u\left( m \right) = \frac{m}{\sqrt{3}} = \frac{0,0001}{\sqrt{3}} =$0,0000577 [kg]

$u\left( r \right) = \frac{r}{\sqrt{3}} = \frac{0,0001}{\sqrt{3}} =$0,0000577 [m]

Obliczanie niepewności standardowej:

$u\left( T \right) = \frac{u(t)}{n} =$0,0000577 [s]

Obliczanie niepewności standardowej wielkości złożonej I_w z zależności

[kg*m²]

Obliczanie niepewność standardową wielkości złożonej I_xi badanej bryły dla zadanej osi obrotu z zależności

$u\left( I_{\text{xi}} \right) = \sqrt{\left\lbrack \frac{\partial I_{\text{xi}}}{\partial I_{w}}*u(I_{w)} \right\rbrack^{2} + \left\lbrack \frac{\partial I_{\text{xi}}}{\partial T_{0}}*u\left( T_{0} \right) \right\rbrack^{2} + \left\lbrack \frac{\partial I_{\text{xi}}}{\partial T_{1}}*u\left( T_{1} \right) \right\rbrack^{2} + \left\lbrack \frac{\partial I_{\text{xi}}}{\partial T_{\text{xi}}}*u(T_{\text{xi}}) \right\rbrack^{2}}$=

$$\sqrt{\left\lbrack \frac{T_{x}^{2} - T_{0}^{2}}{T_{1}^{2} - T_{0}^{2}}*u(I_{w}) \right\rbrack^{2} + \left\lbrack 2*T_{0}*I_{w}*\frac{I_{x}^{2} - T_{1}^{2}}{\left( T_{1}^{2} - T_{0}^{2} \right)^{2}}u(T_{0}) \right\rbrack^{2} + \left\lbrack 2*T_{1}*I_{w}*\frac{T_{0}^{2} - I_{x}^{2}}{\left( T_{1}^{2} - T_{0}^{2} \right)^{2}}u(T_{1}) \right\rbrack^{2} + \left\lbrack \frac{2*I_{w}*I_{x}}{T_{1}^{2} - T_{0}^{2}}u(T_{\text{xi}}) \right\rbrack^{2}}$$

u

u(I_xi1)= 0,0000032 [kg*m²]

u(I_xi2)= 0,0000123 [kg*m²]

u(I_xi3)=0,00000108 [kg*m²]