8’ WYZNACZENIE CZĘSTOŚCI GENERATORA NA PODSTAWIE OBSERWACJI DUDNIEŃ I KRZYWYCH LISSAJOUS

Cel:

• Zapoznanie się ze zjawiskiem składania drgań harmonicznych prostych wzajemnie równoległych

i prostopadłych

• Wyznaczenie częstości generatora w oparciu o bezpośrednią obserwację drgań oraz na podstawie obserwacji dudnień i krzywych Lissajous.

Pytania kontrolne:

• Równanie opisujące drganie harmoniczne proste

x = Acos(ω₀+α) lub   x = Asin(ω₀+α)

gdzie:

x – wychylenie punktu - odległość x drgającego punktu od położenia równowagi

A - ampituda

ω₀+α - faza drgań

α - faza początkowa

ω₀ - częstotliwość kątowa

• Omówić zasadę pomiaru okresu i częstotliwość napięcia zmiennego za pomocą oscyloskopu

Bezpośredni pomiar: na ekranie oscyloskopu możemy zauważyć zmiany napięcia w postaci wykresy:

x – T (zmiana napięcia w funkcji czasu)

aby wyliczyć okres T₁=LT

(wartość podstawy czasu oraz odległość pomiędzy maksimami sygnału pochodzącego z generatora)

częstotliwość obliczamy ze wzoru: $\mathbf{f}_{\mathbf{1}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{T}_{\mathbf{1}}}$

natomiast częstość: $\mathbf{\omega}_{\mathbf{1}}\mathbf{= 2}\mathbf{\pi}\mathbf{f}_{\mathbf{1}}\mathbf{= \ \ }\frac{\mathbf{2}\mathbf{\pi}}{\mathbf{T}_{\mathbf{1}}}$

Krzywe Lissajous: oscyloskop pracuje w trybie X-Y obraz tworzony jest przez dwa zewnętrzne sygnały (generator G₁ oraz wzorcowy G₂)

dzięki temu uzyskujemy na ekranie obraz elipsy, tym sposobem możemy mierzyć przesunięcie fazowe, oraz częstotliwość z wykorzystaniem figur Lissajousa.

Częstość sygnału badanego generatora: $\mathbf{\omega}_{\mathbf{1}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{N}_{\mathbf{y}}}{\mathbf{N}_{\mathbf{x}}}\mathbf{\omega}_{\mathbf{2}}\mathbf{= 2}\mathbf{\pi}\mathbf{f}_{\mathbf{1}}$

Częstotliwość: $\mathbf{f}_{\mathbf{1}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{N}_{\mathbf{y}}}{\mathbf{N}_{\mathbf{x}}}\mathbf{f}_{\mathbf{2}}$

Dudnienia: z obrazu dudnień odczytujemy okres wypadkowy T_w oraz okres dudnień T_d

Z tego wyznaczmy liczbę n drgań fali wypadkowej przypadającej na jeden okres dudnień:

$$\mathbf{n = \ }\frac{\mathbf{T}_{\mathbf{d}}}{\mathbf{T}_{\mathbf{w}}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{L}_{\mathbf{d}}\mathbf{T}}{\mathbf{L}_{\mathbf{w}}\mathbf{T}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{L}_{\mathbf{d}}}{\mathbf{L}_{\mathbf{w}}}\mathbf{\text{\ \ }}$$

Wyznaczmy częstość:

$\mathbf{\omega}_{\mathbf{1}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{2}\mathbf{n - 1}}{\mathbf{2}\mathbf{n + 1}}\mathbf{\ }\mathbf{\omega}_{\mathbf{2}}$ gdy ω₁<ω₂

$\mathbf{\omega}_{\mathbf{1}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{2}\mathbf{n + 1}}{\mathbf{2}\mathbf{n - 1}}\mathbf{\ }\mathbf{\omega}_{\mathbf{2}}$ gdy ω₁>ω₂

• Powstanie i cechy charakterystyczne dudnień:

Dudnienia powstają podczas nakładania się fal o tej samej amplitudzie i niewiele różniących się częstotliwościach – prowadzi to do powstania wypadkowych drgań o amplitudzie okresowej zmiennej w czasie

y =  y₁+ y₂=y_nsin(2πf₁t)+sin(2πf₂t)

Amplituda drgań okresowych jest zależna okresowo od czasu, zmian się z częstotliwością

$$\mathbf{f}_{\mathbf{\text{AM}}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{f}_{\mathbf{1}}\mathbf{- \ }\mathbf{f}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}}$$

Dudnienie jest wynikiem super pozycji drgań, które odbywają się w tym samym kierunku, a początkowa faza drgań jest równa 0.

• Zasada wyznaczania częstości generatora na podstawie obserwacji dudnień

Obserwacja dudnień umożliwia wyznaczenie stosunku składowych częstości. Jeżeli w czasie równym okresowi dudnień T_d mieści się n drgań o częstości f₁ wówczas:

częstość wynosi: ω₁=2πf₁

Do wyznaczenia częstości potrzebne są 2 generatory (generator G₁ oraz wzorcowy G₂), oraz włączona podstawa czasu. Z ekranu odczytujemy okres wypadkowy T_w oraz okres dudnień T_d

mierzymy dla: ω₁<ω₂ oraz ω₁>ω₂

na ich podstawie określamy liczbę n drgań fali wypadkowej przypadającej na jeden okres dudnień:

$$\mathbf{n = \ }\frac{\mathbf{T}_{\mathbf{d}}}{\mathbf{T}_{\mathbf{w}}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{L}_{\mathbf{d}}\mathbf{T}}{\mathbf{L}_{\mathbf{w}}\mathbf{T}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{L}_{\mathbf{d}}}{\mathbf{L}_{\mathbf{w}}}\mathbf{\text{\ \ }}$$

Wyznaczmy częstość:

$\mathbf{\omega}_{\mathbf{1}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{2}\mathbf{n - 1}}{\mathbf{2}\mathbf{n + 1}}\mathbf{\ }\mathbf{\omega}_{\mathbf{2}}$ gdy ω₁<ω₂

$\mathbf{\omega}_{\mathbf{1}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{2}\mathbf{n + 1}}{\mathbf{2}\mathbf{n - 1}}\mathbf{\ }\mathbf{\omega}_{\mathbf{2}}$ gdy ω₁>ω₂

• Powstawanie i cechy charakterystyczne krzywych Lissajous

Złożenie drgań harmonicznych o różnych pulsacjach daje w wyniku skomplikowane krzywe, zwane krzywymi Lissajous.

Ruch fal zachodzi w kierunku X, Y, do siebie prostopadłym, jest on okresowy tylko w przypadku, kiedy stosunek częstości składowych równy jest stosunkowi liczb całkowitych.

Kształt ich zależy od amplitudy, częstotliwości oraz różnicy faz drgań składowych.

Dla każdej zaobserwowanej krzywej wyznaczamy liczbę przecięć N_x krzywej Lissajous z osią poziomą oraz liczbę przecięć N_y krzywej Lissajous z osią pionową. Wyznaczamy częstość ω₁ sygnału badanego generatora:

$$\mathbf{\omega}_{\mathbf{1}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{N}_{\mathbf{y}}}{\mathbf{N}_{\mathbf{x}}}$$

• Zasada wyznaczania częstości generatora na podstawie obserwacji krzywych Lissajous

Dla każdej zaobserwowanej krzywej wyznaczamy liczbę przecięć N_x krzywej Lissajous z osią poziomą oraz liczbę przecięć N_y krzywej Lissajous z osią pionową. Wyznaczamy częstość ω₁ sygnału badanego generatora:

$$\mathbf{\omega}_{\mathbf{1}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{N}_{\mathbf{y}}}{\mathbf{N}_{\mathbf{x}}}$$

Opis ćwiczenia:

Do wyznaczenia częstości sygnału pochodzącego z badanego generatora używamy oscyloskopu i drugiego, wzorcowego generatora. Nieznaną częstość generatora wznaczamy metodą pomiaru bezpośredniego, obserwacji krzywych Lissajous oraz obserwacji dudnień.

1’ Pomiar bezpośredni

L = 2,85 cm

T = 1 m/s

Okres sygnału:

T₁=LT = 0, 0285 * 0, 1 = 0, 00285

Częstotliwość:

$$\mathbf{f}_{\mathbf{1}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{T}_{\mathbf{1}}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{0,00285}}\mathbf{=}\mathbf{350,877\ Hz}$$

Częstość:

ω₁=2πf₁=2π * 350, 87719=2204, 626

2’ Pomiar metodą obserwacji krzywych Lissajous

Na podstawie dokonanych pomiarów wyznaczyć dla każdej częstotliwości f₂ liczby przecięć krzywej Lissajous z osiami N_x i N_y , wyliczyć częstototliwość i częstość:

f₁ =  350, 87719 Hz

$$\mathbf{f}_{\mathbf{1\ }}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{N}_{\mathbf{\text{y\ \ }}}}{\mathbf{N}_{\mathbf{\text{x\ \ }}}}\mathbf{*}\mathbf{f}_{\mathbf{2}}$$

ω₁=2πf₁

• częstotliwość f₂=130 Hz        f₁ <f₂ zatem:

Liczba przecięć krzywej Lissajous	Częstotliwość f1  [Hz]	Częstość ω1
Nx	3	303,333
Ny	7
Nx	6	303,333
Ny	14

$$f_{1\ } = \ \frac{7}{3}*130 = 303,333$$

ω₁ = 2π * 303, 333 = 1905, 897

$$f_{1\ } = \ \frac{14}{6}*130 = 303,333$$

ω₁ = 2π * 303, 333 = 1905, 897

• częstotliwość f₂=200 Hz        f₁ <f₂ zatem:

Liczba przecięć krzywej Lissajous	Częstotliwość f1  [Hz]	Częstość ω1
Nx	3	333,333
Ny	5
Nx	6	333,333
Ny	10

$$f_{1\ } = \ \frac{5}{3}*200 = 333,333$$

ω₁ = 2π * 333, 333 = 2094, 393

$$f_{1\ } = \ \frac{10}{6}*200 = 333,333$$

ω₁ = 2π * 333, 333 = 2094, 393

• częstotliwość f₂=223 Hz        f₁ <f₂ zatem:

Liczba przecięć krzywej Lissajous	Częstotliwość f1  [Hz]	Częstość ω1
Nx	2	334,500
Ny	3
Nx	4	334,500
Ny	6

$$f_{1\ } = \ \frac{3}{2}*223 = 334,500$$

ω₁ = 2π * 334, 500 = 2101, 725

$$f_{1\ } = \ \frac{6}{4}*223 = 334,500$$

ω₁ = 2π * 334, 500 = 2101, 725

• częstotliwość f₂=530 Hz        f₁ >f₂ zatem:

Liczba przecięć krzywej Lissajous	Częstotliwość f1  [Hz]	Częstość ω1
Nx	3	353,333
Ny	2
Nx	6	353,333
Ny	4

$$f_{1\ } = \ \frac{2}{3}*530 = 353,333$$

ω₁ = 2π * 353, 333 = 2220, 057

$$f_{1\ } = \ \frac{4}{6}*530 = 353,333$$

ω₁ = 2π * 353, 333 = 2220, 057

• częstotliwość f₂=690 Hz        f₁ >f₂ zatem:

Liczba przecięć krzywej Lissajous	Częstotliwość f1  [Hz]	Częstość ω1
Nx	2	345,000
Ny	1
Nx	4	345,000
Ny	2

$$f_{1\ } = \ \frac{1}{2}*690 = 345,000$$

ω₁ = 2π * 345, 000 = 2167, 699

$$f_{1\ } = \ \frac{2}{4}*690 = 345,000$$

ω₁ = 2π * 345, 000 = 2167, 699

• częstotliwość f₂=880 Hz        f₁ >f₂ zatem:

Liczba przecięć krzywej Lissajous	Częstotliwość f1  [Hz]	Częstość ω1
Nx	5	352,000
Ny	2
Nx	10	352,000
Ny	4

$$f_{1\ } = \ \frac{2}{5}*880 = 352,000$$

ω₁ = 2π * 352, 000 = 2211, 681

$$f_{1\ } = \ \frac{4}{10}*880 = 352,000$$

ω₁ = 2π * 352, 000 = 2211, 681

Wartość średnia częstości generatora wynois ω_sr=2116, 909 

3’ Pomiar metodą obserwacji dudnień

Na podstawie każdego z dokonanych pomiarów wyznaczyć liczbę drgań fali wypadkowej przypadających na jeden okres dudnień L_d

$$\mathbf{n = \ }\frac{\mathbf{T}_{\mathbf{d}}}{\mathbf{T}_{\mathbf{w}}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{L}_{\mathbf{d}}\mathbf{T}}{\mathbf{L}_{\mathbf{w}}\mathbf{T}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{L}_{\mathbf{d}}}{\mathbf{L}_{\mathbf{w}}}\mathbf{\text{\ \ }}$$

Wyznaczmy częstotliwość:

$\mathbf{f}_{\mathbf{1}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{2}\mathbf{n - 1}}{\mathbf{2}\mathbf{n + 1}}\mathbf{\ }\mathbf{f}_{\mathbf{2}}$ gdy f₁<f₂

$\mathbf{f}_{\mathbf{1}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{2}\mathbf{n + 1}}{\mathbf{2}\mathbf{n - 1}}\mathbf{\ }\mathbf{f}_{\mathbf{2}}$ gdy f₁>f₂

oraz częstość:

ω₁=2πf₁

• częstotliwość f₂=250 Hz        f₁ >f₂ zatem:

Parametry	Częstotliwość f1  [Hz]	Częstość ω1
Lw	0,6	286,603
LD	4,4
n	7,33

$$n = \frac{4,4}{0,6} = 7,33$$

$$f_{1} = \ \frac{2*7,33 + 1}{2*7,33 - 1}*250 = 286,603$$

ω₁ = 2π * 286, 603 = 1800, 780

• częstotliwość f₂=290 Hz        f₁ >f₂ zatem:

Parametry	Częstotliwość f1  [Hz]	Częstość ω1
Lw	0,65	345,028
LD	3,75
n	5,77

$$n = \frac{3,75}{0,65} = 5,77$$

$$f_{1} = \ \frac{2*5,77 + 1}{2*5,77 - 1}*290 = 345,028$$

ω₁ = 2π * 345, 028 = 2167, 875

• częstotliwość f₂=420Hz        f₁ <f₂ zatem:

Parametry	Częstotliwość f1  [Hz]	Częstość ω1
Lw	0,5	360,845
LD	3,3
n	6,6

$$n = \frac{3,3}{0,5} = 6,6$$

$$f_{1} = \ \frac{2*6,6 - 1}{2*6,6 + 1}*420 = 360,845$$

ω₁ = 2π * 360, 845 = 2267, 256

• częstotliwość f₂=450Hz f₁ <f₂ zatem:

Parametry	Częstotliwość f1  [Hz]	Częstość ω1
Lw	0,5	358,163
LD	2,2
n	4,4

$$n = \frac{2,2}{0,5} = 4,4$$

$$f_{1} = \ \frac{2*4,4 - 1}{2*4,4 + 1}*450 = 358,163$$

ω₁ = 2π * 358, 163 = 2250, 404

Wartość średnia częstości generatora wynois ω_sr=2121, 579

4’ Porównanie wartości częstości otrzymanych trzema metodami:

Pomiar bezpośredni	Pomiar metodą obserwacji krzywych Lissajous	Pomiar metodą obserwacji dudnień
2204,626	2116,909	2121,579

5’ Wnioski:

Doświadczenie polegało na wyznaczeniu częstotliwości i częstości generatora za pomocą trzech metod:

• pomiar bezpośredni (prosty odczyt na wyświetlaczu oscyloskopu)

• pomiar metodą krzywych LIssajous ( trudności z dokładnym odczytaniem - ducho ech krzywej, rozdzielczośc wyświetlacza może powodować trudności w dokładnym odczytaniu obrazu)

• pomiar metodą obserwacji dudnień (dokładne odczytanie okreswó z wyświetlacza)

Krzywe Lissajous powstają w wyniku nakładania się na siebie prostopadle fal – wraz ze zmianą ich ampitudy zmienia isę kształt krzywych, w zależności od częstotliwości otrzymujemy mniej lub bardziej skomplikowane kształty elipsy ( stosunek musi wyrażać się w niewielkich liczbach)

Dudnienia natomiast powodowane są przez fale posiadające ten sam kierunek i zwrot. Ampituda wypadkowa zmienai się okresowo w czasie, a częstotliwości są do siebie zbliżone.