Politechnika Śląska w Gliwicach

Instytut Fizyki

Pracownia Fizyczna

LABORATORIUM Z FIZYKI

TEMAT ĆWICZENIA: Wyznaczanie lepkości powietrza.

Wydział: Inżynieria Środowiska i Energetyki Kierunek: Inżynieria Środowiska

Grupa: I Rok akademicki: 2009/2010

Sekcja: I

1. Paweł Wiercioch

2. Oktawiusz Kapica

Data:	Ocena końcowa:	Podpis przyjmującego:

1. Wstęp teoretyczny:

Lepkość (tarcie wewnętrzne) - właściwość płynów i plastycznych ciał stałych charakteryzująca ich opór wewnętrzny przeciw płynięciu. Lepkością nie jest opór przeciw płynięciu powstający na granicy płynu i ścianek naczynia. Lepkość jest jedną z najważniejszych cech płynów (cieczy i gazów).
Inne znaczenie słowa "lepkość" odnosi się do "czepności" - terminu stosowanego w dziedzinie klejów.
Zgodnie z laminarnym modelem przepływu lepkość wynika ze zdolności płynu do przekazywania pędu pomiędzy warstwami poruszającymi się z różnymi prędkościami.

Zjawisko lepkości: Zjawiskiem lepkości nazywamy pojawianie się sił występujących pomiędzy warstwami cieczy lub gazu poruszającymi się z różnymi prędkościami

i powodującymi hamowanie warstwy poruszającej się szybciej oraz przyspieszanie warstwy poruszającej się wolniej. Zjawisko lepkości odpowiedzialne jest za występowanie sił oporu działających na obiekt poruszający się w ośrodku ciekłym lub gazowym. Siły te są proporcjonalne do współczynnika lepkości, który zależy od rodzaju ośrodka i temperatury. Pojawiające się wtedy siły tarcia wewnętrznego skierowane są stycznie do powierzchni styku warstw. Przyczyną lepkości jest nałożenie uporządkowanego ruchu warstw gazu o różnych prędkościach v i chaotycznego ruchu cieplnego cząsteczek z prędkościami zależnymi od temperatury. Chaotyczny ruch cząsteczek przenosi je z warstwy B poruszającej się z prędkością v₁ do warstwy A poruszającej się z prędkością v₂.

$$\eta = \frac{\pi r^{4}\rho_{w}g}{8LV}\Delta\text{ht}$$

Substancja	Temperatura T,K	h, $\frac{\text{kg}}{\text{ms}}$
Powietrze	273	1, 71 • 10^−5
Wodór	273	8, 35 • 10^−6
Wodór	1100	2, 14 • 10^−5
Woda	273	1, 79 • 10^−3
Woda	373	2, 84 • 10^−4
Rtęć	293	1, 55 • 10^−3
Alkohol etylowy	293	1, 19 • 10^−3
Fenol	293	1, 16 • 10^−2
Gliceryna	273	4,6
Smoła	293	≈10^7

Lepkość dynamiczna wyraża stosunek naprężeń ścinających do szybkości ścinania:

$$\mathbf{\mu =}\frac{\mathbf{\tau}}{\dot{\mathbf{\gamma}}}$$

gdzie:
τ - Naprężenie ścinające jest konsekwencją różnicy w prędkości przepływu dwóch przylegających do siebie warstw cieczy i ma najwyższą wartość w pobliżu ściany naczynia
$\dot{\mathbf{\gamma}}$ - Szybkość ścinania – kinematyczny parametr stosowany w mechanice płynów, wyrażający granicę stosunku względnej różnicy prędkości między sąsiadującymi ze sobą warstwami płynu do odległości między nimi.

Lepkość kinematyczna, nazywana też kinetyczną, jest stosunkiem lepkości dynamicznej do gęstości płynu:

$$\mathbf{v =}\frac{\mathbf{\mu}}{\mathbf{\rho}}$$

Przepływ laminarny, opływ uwarstwiony, w którym poszczególne warstwy elementarne gazu lub cieczy nie mieszają się z sobą.

Turbulentny przepływ, przepływ płynu, w którym występuje zjawisko turbulencji, czyli zjawisko powstawania w przepływie płynu (tj. cieczy lub gazu) makrofluktuacji, czyli makroskopowych obszarów, gdzie parametry przepływu przyjmują wartości losowe.

Gęstość powietrza jest masą powietrza na jednostkę objętości. W układzie SI jest mierzona w jednostkach (kg/m³). Na poziomie morza w temperaturze 20 °C powietrze suche ma gęstość około 1,2 kg/m³. Gęstość powietrza maleje wraz ze spadkiem ciśnienia.

Zależność gęstości gazów, w tym i powietrza, od ciśnienia i temperatury określa wzór:

$$\rho_{p} = \frac{\text{pμ}}{\text{RT}}$$

gdzie:
ρ_p – gęstość powietrza,
p – ciśnienie,
μ = 28,83*10­^-3 kg/mol - masa molowa dla powietrza,
R = 8,31 J/molK – uniwersalna stała gazowa,
T – temperatura w skali bezwzględnej.

Średnia droga swobodna <λ> jest to średnia droga, jaką przebywa cząstka (także atom lub cząsteczka) poruszająca się w ośrodku materialnym między kolejnymi zderzeniami z cząstkami tego ośrodka. Pojęcie to jest stosowane w bardzo wielu dziedzinach fizyki.

Średnia prędkość cząsteczek powietrza <v> W temperaturze 18°C cząsteczki powietrza (przy normalnym ciśnieniu) poruszają się ze średnią prędkością 500m/s. W ciągu jednej sekundy każda cząsteczka powietrza zderza się z innymi cząsteczkami około 2 500 000 000 razy.

Stała gazowa (uniwersalna stała gazowa) (oznaczana jako R) – stała fizyczna równa pracy wykonanej przez 1 mol gazu doskonałego podgrzewanego o 1 kelwin (stopień Celsjusza) podczas przemiany izobarycznej.

Uniwersalna stała gazowa jest stałym współczynnikiem w równaniu stanu gazu doskonałego:

$$p = \frac{\text{nRT}}{V}$$

gdzie:
p - ciśnienie gazu (w Pa),
T - temperatura gazu (w K),
V - objętość zajmowana przez gaz podlegający przemianie (w m³),
n - ilość moli gazu podlegającego przemianie.

$$R = 8,314\ \frac{J}{mol \bullet K}$$

Stała Boltzmanna to stała fizyczna pojawiająca się w równaniach określających rozkłady energii molekuł:

$k_{B} = \frac{R}{N_{A}} = 1,38 \bullet 10^{- 23}\frac{J}{K}\backslash n$gdzie:
R to stała gazowa,
N_A - stała Avogadra.

Nazwa stałej k_B upamiętnia austriackiego fizyka Ludwiga E. Boltzmanna, który wprowadził ją w XIX wieku w ramach badań nad kinetyczną teorią gazów.

Liczba Reynoldsa - jedna z bezwymiarowych liczb podobieństwa stosowanych w mechanice płynów (hydrodynamice, aerodynamice i reologii). Liczba ta pozwala oszacować występujący podczas ruchu płynu stosunek sił czynnych (sił bezwładności) do sił biernych związanych z tarciem wewnętrznym w płynie przejawiającym się w postaci lepkości. Liczba Reynoldsa stosowana jest jako podstawowe kryterium stateczności ruchu płynów.
Liczba Reynoldsa decyduje o tym, czy mamy do czynienia z przepływem laminarnym czy turbulentnym. Opisuje ją wzór:

$$Re = \frac{\rho_{p}v_{p}d}{\eta}$$

Stwierdzono doświadczalnie, że Re=1160 jest wartoscią graniczna. Tak wiec dla:
Re<1160 - ruch laminarny,
Re≥ 1160 - ruch turbulentny.

2. Przebieg ćwiczenia:

1. Otworzyliśmy zawód butli i ustaliliśmy szybkość wypływu wody odpowiadającą różnicy poziomu wodu w manometrze Dh=2cm

2. Zmierzyliśmy czas t odpowiadający wypłynięciu z butli V=500cm³ wody.

3. Pięciokrotnie powtórzyliśmy pomiar uzupełniając wodę w butli po każdym z pomiarów.

1. Butla.

2. Wlew wody.

3. Zawór
odpowietrzający.

4. Kapilara.

5. Materiał
higroskopijny.

6. Manometr.

7. Zawór butli.

8. Cylinder z podziałką
do pojemności V=500cm³

9. Lejek.

10. Zlewka.

11. Stoper

Tabela 1. Tabela pomiarowa:

gdzie:

t-czas wypływu wody o objętości V=500cm³=0,0005m³ z butli do cylindra przez zawór,

Dh-różnica poziomów wody z manometrze

Lp.	t, s	Dh, cm	Dh, m
1.	531,75	2	0,02
2.	534,84	2	0,02
3.	541,5	2	0,02
4.	559,38	2	0,02
5.	558,94	2	0,02

3. Obliczenia:

Promień rurki kapilarnej: r = 0,375 mm = 0,000375 m

Średnica rurki kapilarnej: d=0,750mm = 0,000750 m

Długość rurki kapilarnej: L = 100 mm = 0,1 m

Temperatura otoczenia: T = 23°C = 296,15 K

Ciśnienie atmosferyczne: p_o= 982 hPa = 98200 Pa

Gęstość wody: ρ_w = 997,53 kg/m³

Objętość wody: V = 500cm³ = 0,0005 m³

1. Dla każdego pomiaru t i Dh obliczyliśmy współczynnik lepkości powietrza:

$$\eta = \frac{\pi r^{4}\rho_{w}g}{8LV}\Delta\text{ht}$$

gdzie:

ρ_w– gęstość wody w danej temperaturze,

g = 9,81 m/s² – przyspieszenie ziemskie.

$$\eta_{1} = 1,61 \bullet 10^{- 5}\ \frac{\text{kg}}{m \bullet s}$$

$$\eta_{2} = 1,61 \bullet 10^{- 5}\ \frac{\text{kg}}{m \bullet s}$$

$$\ \eta_{3} = 1,63 \bullet 10^{- 5}\ \frac{\text{kg}}{m \bullet s}$$

$$\eta_{4} = 1,69 \bullet 10^{- 5}\ \frac{\text{kg}}{m \bullet s}$$

$$\eta_{5} = 1,69 \bullet 10^{- 5}\ \frac{\text{kg}}{m \bullet s}$$

2. Obliczyliśmy średnią współczynnika lepkości powietrza $\overset{\overline{}}{\eta}$

$$\eta_{sr} = 1,65 \bullet 10^{- 5}\ \frac{\text{kg}}{m \bullet s}$$

3.Obliczyliśmy gęstość powietrza ρ_p

$$\rho_{p} = \frac{\text{pμ}}{\text{RT}}$$

gdzie:

μ= 28,83*10^-3 kg/mol – masa molowa powietrza,

R = 8,31 J/molK – stała gazowa

ρ_p = 1, 15  kg/m³

4. Obliczyliśmy średnią arytmetyczną prędkości cząsteczek powietrza:

$$< v > = \sqrt{\frac{8RT}{\text{πμ}}}$$

$$< v > = 466,35\ \frac{m}{s}$$

5. Obliczyliśmy średnią długość drogi swobodnej cząsteczek powietrza:

$$< \lambda > = \frac{3\eta}{\rho_{p} \bullet < v >}$$

<λ > =9, 26 • 10⁻⁸ m

6. Obliczyliśmy średnicę cząsteczek powietrza:

$$d = \sqrt{\frac{\text{kT}}{\sqrt{2}\pi \bullet < \lambda > \bullet p}}$$

gdzie: k= 1,38*10­­^-23 J/K – stałą Boltzmana

d = 3, 18 • 10⁻⁹ m

7. Obliczyliśmy liczbę Reynoldsa:

$$Re = \frac{\rho_{p}v_{p}d}{\eta}$$

gdzie v_p – prędkość przepływu powietrza przez rurkę kapilarną:

$$v_{p} = \frac{V}{\pi r^{2}t}$$

$$v_{p} = 2,077\ \frac{m}{s}$$

Re = 108, 31 << 1160
Obliczona wartość liczby Reynoldsa jest mniejsza od wartości krytycznej z czego wynika iż podczas ćwiczenia mieliśmy do czynienia z laminarnym modelem przepływu.

4. Rachunek niepewności:

Dokładność stopera: Dt=0,01 s

Dokładność manometru: Dh=1mm=10^-3m

Dokładność pomiarki na cylindrze: DV=5cm³=0,000005m³

Dokładność termometru: DT=0,1 K

Dokładność barometru: Dp=1hPa=100Pa

Niepewności standardowe stopera i manometru obliczyliśmy ze wzoru:

$$u_{s}\left( x \right) = \frac{\Delta x}{\sqrt{3}}$$

tak więc:

u_s(t) = 0, 0058 s

u_s(h) = 0, 58 mm = 0, 00058 m

u_s(V) = 2, 89 cm³ = 0, 00000289 m³

u_s(T) = 0, 058 K

u_s(p) = 58 Pa

Niepewności obliczyliśmy stosując prawo przenoszenia niepewności:

Niepewność współczynnika lepkości powietrza:

$$u\left( \eta \right) = \sqrt{\left\lbrack \frac{\pi r^{4}\rho_{w}\text{gt}}{8LV} \bullet u\left( \Delta h \right) \right\rbrack^{2} + \left\lbrack \frac{\pi r^{4}\rho_{w}g\Delta h}{8LV} \bullet u\left( t \right) \right\rbrack^{2} + \left\lbrack \frac{- \pi r^{4}\rho_{w}g\Delta ht \bullet 8L}{\left( 8LV \right)^{2}} \bullet u\left( V \right) \right\rbrack^{2}}$$

Niepewność gęstości powietrza:

$$u\left( \rho_{p} \right) = \sqrt{\left\lbrack \frac{\mu}{\text{RT}} \bullet u\left( p \right) \right\rbrack^{2} + \left\lbrack \frac{- p\mu R}{\left( \text{RT} \right)^{2}} \bullet u\left( T \right) \right\rbrack^{2}}$$

u(ρ_p) = 0, 00071 kg/m³

Niepewność średniej arytmetycznej prędkości cząsteczek powietrza:

$$u\left( < v > \right) = \left| \frac{\frac{8R}{2\sqrt{8RT}}}{\sqrt{\text{πμ}}} \bullet u(T) \right| = \left| \frac{4R}{\sqrt{8RT\pi\mu}} \bullet u(T) \right|$$

$$u\left( < v > \right) = 0,045\ \frac{m}{s}$$

Niepewność średniej długości swobodnej cząsteczek powietrza:

$$u\left( < \lambda > \right) = \sqrt{\left\lbrack \frac{3}{\rho_{p} \bullet < v >} \bullet u\left( \eta \right) \right\rbrack^{2} + \left\lbrack \frac{- 3\eta \bullet < v >}{\left( \rho_{p} \bullet < v > \right)^{2}} \bullet u\left( \rho_{p} \right) \right\rbrack^{2} + \left\lbrack \frac{- 3\eta\rho_{p}}{\left( \rho_{p} \bullet < v > \right)^{2}} \bullet u\left( < v > \right) \right\rbrack^{2}}$$

u(<λ>) = 0, 023 • 10⁻⁸m

Niepewność średnicy cząsteczek powietrza:

$u\left( d \right) = \sqrt{\left\lbrack \frac{\partial d}{\partial T} \bullet u\left( T \right) \right\rbrack^{2} + \left\lbrack \frac{\partial d}{\partial < \lambda >} \bullet u\left( < \lambda > \right) \right\rbrack^{2} + \left\lbrack \frac{\partial d}{\partial p} \bullet u\left( p \right) \right\rbrack^{2}}$

u(d) = 0, 000407 • 10⁻⁹ m

Niepewność prędkości przepływu powietrza przez rurkę kapilarną

$u\left( v_{p} \right) = \sqrt{\left\lbrack \frac{\partial v_{p}}{\partial V} \bullet u\left( V \right) \right\rbrack^{2} + \left\lbrack \frac{\partial v_{p}}{\partial t} \bullet u\left( t \right) \right\rbrack^{2}}$

$u\left( v_{p} \right) = \sqrt{\left\lbrack \frac{1}{\pi r^{2}t} \bullet u\left( V \right) \right\rbrack^{2} + \left\lbrack \frac{- 2V\pi r^{2}}{\left( \pi r^{2}t \right)^{2}} \bullet u\left( t \right) \right\rbrack^{2}}$

$$u\left( v_{p} \right) = 0,012\ \frac{m}{s}$$

Niepewność liczby Reynoldsa

$u\left( \text{Re} \right) = \sqrt{\left\lbrack \frac{\partial Re}{\partial\rho_{p}} \bullet u\left( \rho_{p} \right) \right\rbrack^{2} + \left\lbrack \frac{\partial Re}{\partial v_{p}} \bullet u\left( v_{p} \right) \right\rbrack^{2} + \left\lbrack \frac{\partial Re}{\partial\eta} \bullet u\left( \eta \right) \right\rbrack^{2}}$

$$u\left( \text{Re} \right) = \sqrt{\left\lbrack \frac{v_{p}d}{\eta} \bullet u\left( \rho_{p} \right) \right\rbrack^{2} + \left\lbrack \frac{\rho_{p}d}{\eta} \bullet u\left( v_{p} \right) \right\rbrack^{2} + \left\lbrack \frac{- \rho_{p}v_{p}d}{\eta^{2}} \bullet u\left( \eta \right) \right\rbrack^{2}}$$

u(Re) = 3, 2

4. Wnioski:
Obliczyliśmy współczynnik lepkości powietrza $\eta = 1,66 \bullet 10^{- 5}\frac{\text{kg}}{\text{ms}}$ z niepewnością wyniku $u\left( \eta \right) = 0,049 \bullet 10^{- 5}\frac{\text{kg}}{m \bullet s}$ , gęstość powietrza ρ_p = 1, 15 kg/m³ z niepewnością wyniku (ρ_p) = 0, 00071 kg/m³, średnią arytmetyczną prędkości cząsteczek powietrza
<v > =466, 35 m/s z niepewnością wyniku $u\left( < v > \right) = 0,045\ \frac{m}{s}\ $, średnią długość drogi swobodnej cząsteczek powietrza <λ > =9, 26 • 10⁻⁸m z niepewnością wyniku
u(<λ>) = 0, 023 • 10⁻⁸m, średnicę efektywną cząsteczek powietrza d = 3, 18 • 10⁻⁹m
z niepewnością wyniku u(d) = 0, 000407 • 10⁻⁹ m , prędkość przepływu powietrza przez rurkę kapilarną $v_{p} = 2,077\ \frac{m}{s}$ z niepewnością $u\left( v_{p} \right) = 0,012\ \frac{m}{s}\ $oraz liczbę Reynoldsa Re = 54, 15 z niepewnością u(Re) = 1, 6.

Uzyskane wartości powyższych wielkości przy obliczonych niepewnościach są zbliżone do wartości tablicowych które wynoszą: współczynnik lepkości powietrza: $\eta = 1,69 \bullet 10^{- 5}\frac{\text{kg}}{\text{ms}}$, gęstość powietrza dla temperatury 296,14 K: ρ_p = 1, 18 kg/m³, prędkość cząsteczek powietrza dla temperatury 296,14 K: v = 485, 88 m/s. Wynika z tego że metoda przy pomocy której wyznaczaliśmy współczynnik lepkości powietrza jest metodą dającą wiarygodny wynik.

Obliczona liczba Reynoldsa jest mniejsza od wartości krytycznej 1160; wynika z tego że podczas przeprowadzania doświadczenia mieliśmy do czynienia z ruchem laminarnym.

Na uzyskany wynik miały niedokładności pomiaru czasu, różnicy poziomów w manometrze oraz objętości wody w cylindrze. Na różnice w czasie wypływu wody z butli i napełniania się cylindra miały wpływ trudności utrzymania stałej różnicy poziomów wody w manometrze za pomocą zaworu butli oraz refleks przy włączaniu i wyłączaniu stopera, a także trudności w ocenie objętości wody w cylindrze przy rzadkiej podziałce.