Żebra podporowe

- Żebro nad podporą skrajną

Zastosowano podatne żebra podporowe dwustronne z blachy 12x120 mm. Przyjęto z każdej strony żebra część współpracującą środnika o szerokości b_ws = 15ε t_w = 15 * 0, 81 * 8 = 97, 2 mm.

Pole powierzchni A_s = 206, 4 * 8 + 2 * 120 * 12 = 4531 cm²

A_st = 2b_st_s + (30ε t_w+t_s)t_w = 2 * 120 * 12 + (2*97,2+12) * 8 = 4531 mm².

Moment bezwzględności względem osi y:

$$I_{\text{st}} = 2\left\lbrack \frac{t_{s}b_{s}^{3}}{12} + t_{s}b_{s}\left( 0,5b_{s} + 0,5t_{w} \right)^{2} \right\rbrack + \frac{(30\varepsilon t_{w} + t_{s})t_{w}^{3}}{12},$$

$$I_{\text{st}} = 2\left( \frac{12*120^{3}}{12} + 12*120*64^{2} \right) + \frac{206,4*8^{3}}{12} = 1526*10^{4}mm^{4}.$$

Promień bezwładności: $i_{\text{st}} = \sqrt{\frac{I_{\text{st}}}{A_{\text{st}}}} = \sqrt{\frac{1526*10^{4}}{4531}} = 58,8$ mm.

Sprawdzanie klasy przekroju żebra

Smukłość żebra:

C=$b_{s} - a\sqrt{2} = 120 - 4\sqrt{2} = 114,3\ \text{mm},$

$$\frac{c}{t_{s}} = \frac{114,3}{12} = 9,52 < 14\varepsilon = 14*0,81 = 11,3.$$

Przekrój jest klasy 3

Stateczność żebra ze względu na wyboczenie skrętne

Rozpatrzono tylko jedną blachę żebra:

$$\frac{I_{T}}{I_{p}} \geq 5,3\frac{f_{y}}{E},$$

I_r- moment bezwładności przekroju żebra przy skręceniu swobodnym (St. Vananta):

$$I_{T} = \frac{1}{3}\Sigma b_{s}t_{s}^{3} = \frac{1}{3}*120*12^{3} = 3,91*10^{4}\ mm^{4},$$

I_p- biegunowy moment bezwzględności przekroju żebra względem punktu styczności ze ścianką:

$$I_{p} = I_{y1} + I_{x} = \frac{t_{s}b_{s}^{3}}{3} + \frac{b_{s}t_{s}^{3}}{12},$$

$$I_{p} = \frac{12*120^{3}}{3} + \frac{120*12^{3}}{12} = 693*10^{4}\ mm^{4},$$

$$\frac{9,91*10^{4}}{693*10^{4}} = 9,97*10^{- 3} > 5,3*\frac{355}{210000} = 8,96*10^{- 3}.$$

Nie wystąpi skrętna utrata stateczności żebra.

Nośność i stateczność żebra na ściskanie

Smukłość względem λ przy wyboczeniu giętym

$$\overline{\lambda} = \sqrt{\frac{\text{Af}_{y}}{N_{\text{cr}}}} = \frac{L_{\text{cr}}}{i}*\frac{l}{\lambda_{l}}.$$

Przyjęto, że oba pasy na końcach żebra są sztywno stężone w kierunku poprzecznym stąd L_cr = 0, 75h_w,

$$\overline{\lambda} = \frac{L_{\text{cr}}}{i}*\frac{1}{\lambda_{1}} = \frac{0,75*1000}{55,8}*\frac{1}{93,9*0,81} = 0,170 < 0,2.$$

Współczynnik wyboczenia χ = 1, 0, warunek stateczności sprowadza się do warunku nośności przekroju:

$$\frac{N_{\text{Ed},s}}{N_{c,\text{Rd}}} \leq 1,0,$$

N_Ed, s = V_Ed = 337 * 10³N,  

$N_{c,\text{Rd}} = \frac{A_{s}f_{y}}{\gamma_{\text{MO}}} = \frac{4531*355}{1,00} = 1603*10^{3}$ N,

$$\frac{337*10^{3}}{1608*10^{3}} = 0,210 < 1,0.$$

Sprawdzenie docisku żeber do pasa

Powierzchnia docisku:

A_d = 2(b_s−c_s)t_s = 2 * (120−25) * 12 = 2280 mm².

Naprężenia dociskowe:

$$\sigma_{d} = \frac{V_{\text{Ed}}}{A_{d}} = \frac{337*10^{3}}{2280} = 148\frac{N}{mm^{2}} < 355\frac{N}{mm^{2}}.$$

Żebro nad podporą środkową

Zastosowano podatne żebro podporowe dwustronne z blachy 25x120 mm. Przyjęto z każdej strony żebra część współpracującą środnika o szerokości b_wg = 15εt_w = 15 * 0, 81 * 8 = 97, 2 mm.

Pole powierzchni: A_st = 2 * 120 * 25 + (30*0,81*8+25) * 8 = 7755 mm².

Moment bezwładności względem osi y:

$$I_{\text{st}} = 2\left( \frac{25*120^{3}}{12} + 25*120*64^{2} \right) + \frac{21904*8^{3}}{12} = 3178*10^{4}\ mm^{4}.$$

Promień bezwładności: $i_{\text{st}} = \sqrt{\frac{3178*10^{4}}{7755}} = 64,0\ \text{mm}.$

Sprawdzenie klasy przekroju żebra

Smukłość żebra:

C=$b_{s} - a\sqrt{2} = 120 - 5\sqrt{2} = 112,9\ \text{mm},$

$$\frac{c}{t} = \frac{112,9}{25} = 4,51 < 9\varepsilon = 9*0,81 = 7,29.$$

Ze względu na wymiary środnika przekroju żebra jest klasy 3

Stateczność żebra ze względu na wyboczenie skrętne

Rozpatrzono tylko jedna blachę żebra:

$$\frac{I_{T}}{I_{p}} \geq 5,3\frac{f_{y}}{E},$$

$$I_{T} = \frac{1}{3}\Sigma b_{s}t_{s}^{3} = \frac{1}{3}*120*25^{3} = 62,5*10^{4}\ mm^{4},$$

$$I_{p} = I_{y1} + I_{z} = \frac{t_{s}b_{s}^{3}}{3} + \frac{b_{s}t_{s}^{3}}{12},$$

$$I_{p} = \frac{12*120^{3}}{3} + \frac{120*25^{3}}{12} = 1456*10^{4}\ mm^{4},$$

$$\frac{62,5*10^{4}}{1456*10^{4}} = 42,9*10^{- 3} > 5,3*\frac{355}{210000} = 8,96*10^{- 3}.$$

Nie wystąpi skrętna utrata stateczności żebra.

Nośność i stateczność żebra na ściskanie

Smukłość względem λ przy wyboczeniu giętym

$$\overline{\lambda} = \sqrt{\frac{\text{Af}_{y}}{N_{\text{cr}}}} = \frac{L_{\text{cr}}}{i}*\frac{l}{\lambda_{l}}.$$

Przyjęto, że oba pasy na końcach żebra są sztywno stężone w kierunku poprzecznym stąd L_cr = 0, 75h_w,

$$\overline{\lambda} = \frac{L_{\text{cr}}}{i}*\frac{1}{\lambda_{1}} = \frac{0,75*1000}{55,8}*\frac{1}{93,9*0,81} = 0,170 < 0,2.$$

Współczynnik wyboczenia χ = 1, 0, warunek stateczności sprowadza się do warunku nośności przekroju:

$$\frac{N_{\text{Ed},s}}{N_{c,\text{Rd}}} \leq 1,0,$$

$$\frac{N_{\text{Ed}}}{N_{c,\text{Ed}}} = 1486*10^{3}N = 1486\ \text{kN},$$

$$\frac{1486*10^{3}}{2753*10^{3}} = 0,540 < 1,0,$$

Sprawdzenie docisku żebra do pasa

Powierzchnia docisku:

A_d = 2(b_s−c_s)t_s = 2 * (120−35) * 25 = 4250 mm².

Naprężenia dociskowe:

$$\sigma_{d} = \frac{N_{\text{Ed}}}{A_{d}} = \frac{1486*10^{3}}{4250} = 350\frac{N}{mm^{2}} < 355\frac{N}{mm^{2}}.$$

Żebro pośrednie

Zastosowano sztywne żebra pośrednie dwustronne z blachy 10x80 mm. Przyjęto z każdej strony żebra część współpracującą środnika o szerokości b_ws = 15εt_w = 15 * 0, 81 * 8 = 97, 2 mm.

Pole powierzchni: A_st = 2 * 80 * 10 + (30*0,81*8+10) * 8 = 3235 mm².

Moment bezwładności względem osi y:

$$I_{\text{st}} = 2\left( \frac{10*80^{3}}{12} + 10*80*44^{2} \right) + \frac{204,4*8^{3}}{12} = 396*10^{4}\ mm^{4}.$$

Promień bezwładności: $i_{\text{st}} = \sqrt{\frac{396*10^{4}}{3235}} = 35,0\ \text{mm}.$

$\frac{a}{h_{w}} = \frac{2500}{1000} = 2,5 > \sqrt{2}:$ I_st ≥ 0, 75h_wt³.

I_st = 395 * 10⁴ mm⁴ ≫ 0, 75 * 1000 * 8³ = 38, 4 * 10⁴ mm⁴.

Przyjęte żebro jest sztywnym żebrem pośrednim.

Sprawdzenie klasy przekroju żebra

Smukłość żebra:

C=$b_{s} - a\sqrt{2} = 80 - 4\sqrt{2} = 74,3\ \text{mm},$

$$\frac{c}{t_{s}} = \frac{74,3}{10} = 7,43 < 10\varepsilon = 9*0,81 = 8,10.$$

Ze względu na wymiary środnika przekroju żebra jest klasy 3

Stateczność żebra ze względu na wyboczenie skrętne

Rozpatrzono tylko jedna blachę żebra:

$$\frac{I_{T}}{I_{p}} \geq 5,3\frac{f_{y}}{E},$$

$$I_{T} = \frac{1}{3}\Sigma b_{s}t_{s}^{3} = \frac{1}{3}*80*10^{3} = 2,67*10^{4}\ mm^{4},$$

$$I_{p} = I_{y1} + I_{x} = \frac{t_{s}b_{s}^{3}}{3} + \frac{b_{s}t_{s}^{3}}{12},$$

$$I_{p} = \frac{10*80^{3}}{3} + \frac{80*10^{3}}{12} = 171,3*10^{4}\ mm^{4},$$

$$\frac{2,67*10^{4}}{171,3*10^{4}} = 15,6*10^{- 3} > 5,3*\frac{355}{210000} = 8,96*10^{- 3}.$$

Nie wystąpi skrętna utrata stateczności żebra.

Siła podłużna w żebrze pośrednim:

$$N_{\text{Bd},s} = V_{\text{Ed}} - \frac{1}{{\overline{\lambda}}_{w}^{2}}*\frac{f_{\text{yw}}h_{w}t_{w}}{\sqrt{3}\gamma_{M1}} = 623*10^{3} - \frac{1}{{1,759}^{2}}*\frac{355*1000*8}{\sqrt{3}*1,0} = 93*10^{3}\ N.$$

Dodatkowo żebro będzie obciążone zastępczym obciążeniem poprzecznym:

$$q = \frac{\pi}{4}\sigma_{m}(w_{o} + w_{\text{el}})$$

Wstępna imperfekcja: $w_{0} = \frac{g}{300} = \frac{b}{300} = \frac{1020}{300} = 3,4\ \text{mm}.$

Ugięcie sprężyste: $w_{\text{st}} = \frac{b}{300} = \frac{1020}{300} = 3,4\ \text{mm}.$

$$\sigma_{m.} = \frac{\sigma_{\text{cr},c}}{\sigma_{\text{cr},p}}*\frac{N_{\text{Ed}}}{b}\left( \frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} \right)$$

Sprężystość naprężenia krytyczne przy niestateczności typu prętowego:

$$\sigma_{\text{cr},c} = \frac{\pi^{2}Et^{2}}{12(1 - v^{2})a^{2}} = \frac{\pi^{2}*210000*8^{2}}{12*\left( 1 - 0{,3}^{2} \right)*2500^{2}} = 1,944\frac{N}{mm^{2}}.$$

Sprężyste naprężenie krytyczne przy niestateczności typu płytowego (dla ścianek nieużebrowanych podłożeniu):

σ_cr, p = k_σσ_E.

$$\sigma_{E} = \frac{\pi^{2}Et^{2}}{12(1 - v^{2})b^{2}} = 190000{(\frac{t}{h})}^{2}\left\lbrack \frac{N}{mm^{2}} \right\rbrack.$$

N_Ed = 0, 5b_efft_wσ₁ = 0, 5 * 393 * 8 * 239, 7 = 377 * 10³ N

$$\sigma_{m} = \frac{1,944}{262}*\frac{377*10^{3}}{1020}\left( \frac{1}{2500} + \frac{1}{2500} \right) = 2,19*10^{- 3}\ N/mm^{2}$$

Zastępcze obciążenia poprzeczne:

$$q = \frac{\pi}{4}*2,19*10^{- 3}\left( 3,4 + 3,4 \right) = 0,0117\frac{N}{\text{mm}}.$$

Wartość tego obciążenia jest bardzo mała dlatego pominięto w dalszych obliczeniach.

Nośność i stateczność żebra na ściskanie

Smukłość względna $\overline{\lambda}$ przy wyboczeniu giętnym:

L_cr = 1, 0h_w = 1, 0 * 1000 = 1000 mm.

$$\overline{\lambda} = \frac{L_{\text{cr}}}{i}\frac{1}{\lambda_{1}} = \frac{1000}{35,0}*\frac{1}{93,9*0,81} = 0,376 \rightarrow x = 0,91.$$

Warunek stateczności:

$$\frac{N_{\text{Ed}}}{N_{b,\text{Rd}}} \leq 1,0,$$

N_Ed = 333 * 10³ N.

$$N_{b,\text{Rd}} = \frac{0,91*3235*355}{1,00} = 1045*10^{3}\ N,$$

$$\frac{333*10^{3}}{1045*10^{3}} = 0,319 < 1,0.$$

Sprawdzenie docisku żebra do pasa

Założono, że obciążenie będzie przekazywane poprzez belki drugorzędne oparte na górnym pasie blachownicy.

Powierzchnie docisku:

A_d = 2(bs−c_s)t_s = 2(80−25)10 = 1100 mm².

Naprężenia dociskowe:

$$\sigma_{d} = \frac{N_{\text{Ed}}}{A_{d}} = \frac{240*10^{3}}{1100} = 218\frac{N}{mm^{2}} < 355\frac{N}{mm^{2}}.$$

Sprawdzenie nośności podanego żebra podporowego

1. Obliczanie charakterystyk żebra

Szerokość współpracująca środnika z każdej strony żebra:

b_ws = 15εt_w

Powierzchnia wspierajaca:

A_st = 2b_st_s + (30εt_w + t_s)t_s

Moment bezwładności:

$$I_{\text{st}} = 2\left\lbrack \frac{t_{s}b_{s}^{3}}{12} + t_{s}b_{s}\left( 0,5b_{s} + 0,5t_{w} \right)^{2} \right\rbrack + \frac{(30\varepsilon t_{w} + t_{s})t_{w}^{2}}{12}$$

Promień bezwładności:

$$I_{\text{st}} = \sqrt{\frac{I_{\text{st}}}{A_{\text{st}}}}$$

2.Klasa przekroju

Oblicza się szerokość ścianki c=$b_{s} - a\sqrt{2}$ oraz smukłości $\frac{c}{t_{s}},$ która porównuje się ze smukłością graniczną.

3.Sprawdzanie stateczności żebra ze względu na wyboczenia skrętne

Stateczność żebra na wyboczenie skrętne jest zapewniona, gdy spełniony jest warunek:

$$\frac{I_{T}}{I_{p}} \geq 5,3\frac{f_{y}}{E}$$

W przypadku żebra dwustronnego z blach prostokątnych (gdy rozpatruje się jedną blachę):

$$I_{T} = \frac{1}{3}b_{s}t_{s}^{3}$$

$$I_{p} = \frac{t_{s}b_{s}^{3}}{3} + \frac{b_{s}t_{s}^{3}}{12}$$

4. Nośność i stateczność żebra na ściskanie

Smukłość względna $\overline{\lambda}$ przy wyboczeniu giętnym w przypadku przekrojów klasy1., 2. I 3.

$$\overline{\lambda} = \sqrt{\frac{\text{Af}_{y}}{N_{\text{cr}}} =}\frac{L_{\text{cr}}}{i}\frac{1}{\lambda_{1}},$$

λ₁ = 93, 9ε.

Nośność żebra na ściskanie:

$$N_{b,\text{Rd}} = \frac{\text{χA}f_{y}}{\gamma_{M1}}.$$

Sprawdzenie warunków stateczności:

$$\frac{N_{\text{Ed},s}}{N_{b,\text{Rd}}} \leq 1,0.$$

5. Sprawdzenie docisku żebra do pasa

Powierzchnia docisku:

A_d = 2(b_s − c_s)t_s

Naprężenie dociskowe:

$$\sigma_{d} = \frac{N_{\text{Ed},s}}{A_{d}} < f_{y}$$

1. Obliczanie charakterystyk żebra

Szerokość współpracująca środnika z każdej strony żebra:

Powierzchnia wspierająca:

A_st = 2b_st_s + (30εt_w+t_s)t_w.

Moment bezwładności

$$I_{\text{st}} = 2\left\lbrack \frac{t_{s}b_{s}^{3}}{12} + t_{s}b_{s}\left( 0,5a_{s} + 0,5t_{w} \right)^{2} \right\rbrack + \frac{(30\varepsilon t_{w} + t_{s})t_{w}^{2}}{12}$$

Promień bezwładności:

$$i_{\text{st}} = \sqrt{\frac{I_{\text{st}}}{A_{\text{st}}}.}$$

2.Sprawdzenie sztywności żebra

Żebro można używać za sztywne gdy moment bezwładności jego przekroju efektywnego I_st spełnia następne warunki:

gdy a/$h_{w} < \sqrt{2}:$ I_st ≥ 1, 5h_w³t³/a²

gdy a/$h_{w} \geq \sqrt{2}$: I_st ≥ 0, 75h_wt³.

3. Klasa przekroju

Oblicza się szerokość ścianki c=$b_{s} - a\sqrt{2}$ oraz smukłości $\frac{o}{t_{s}},$ która porównuje się ze smukłością graniczną.

4. Sprawdzenie stateczności żebra ze względu na wyboczenie skrętne.

$$\frac{I_{T}}{I_{p}} \geq 5,3\frac{f_{y}}{E}$$

$$I_{T} = \frac{1}{3}b_{s}t_{s}^{3}$$

$$I_{p} = \frac{t_{s}b_{s}^{3}}{3} + \frac{b_{s}t_{s}^{3}}{12}$$

5. Obliczenie zastępczego obciążenia poprzecznego q

Wstępna im perfekcja $w_{0} = \frac{s}{300}$

Ugięcie sprężyste $w_{\text{el}} = \frac{b}{300}$

$$\sigma_{m} = \frac{\sigma_{\text{cr},c}}{\sigma_{\text{cr},p}}*\frac{N_{\text{Ed}}}{b}\left( \frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} \right)$$

$$\sigma_{\text{cr},c} = \frac{\pi^{2}Et^{2}}{12(1 - v^{2})a^{2}} = \frac{\pi^{2}*210000*8^{2}}{12*\left( 1 - 0{,3}^{2} \right)*2500^{2}} = 1,944\frac{N}{mm^{2}}$$

σ_cr, p = k_σσ_E.

$$\sigma_{E} = \frac{\pi^{2}Et^{2}}{12(1 - v^{2})b^{2}} = 190000{(\frac{t}{h})}^{2}\left\lbrack \frac{N}{mm^{2}} \right\rbrack.$$

N_Ed = 0, 5b_efft_wσ₁ = 0, 5 * 393 * 8 * 239, 7 = 377 * 10³ N

$$\sigma_{m} = \frac{1,944}{262}*\frac{377*10^{3}}{1020}\left( \frac{1}{2500} + \frac{1}{2500} \right) = 2,19*10^{- 3}\ N/mm^{2}$$

$$q = \frac{\pi}{4}\sigma_{m}\left( w_{0} + w_{\text{el}} \right) = \frac{\pi}{4}*2,19*10^{- 3}\left( 3,4 + 3,4 \right) = 0,0117\frac{N}{\text{mm}}$$

6. Obliczenie siły podłużnej w żebrze

$$N_{\text{Ed},s} = V_{\text{Ed}} - \frac{1}{{\overline{\lambda}}_{w}^{2}}\frac{h_{w}f_{\text{yw}}t_{w}}{\sqrt{3}\gamma_{M1}} \geq 0$$

Dodatkowa siła podłużna

N = σ_mb²/π²

7. Sprawdzenie docisku żebra do pasa 6.3 pkt 5

8. Sprawdzenie żebra na ściskanie ze zginaniem 7.6 pkt 7.3