1. Wstęp teoretyczny

W metalach swobodnymi nośnikami ładunku są elektrony znajdujące się w paśmie przewodnictwa i elektryczna przewodność właściwa wyraża się wzorem:

σ = e*n*μ

e — ładunek elektronu,

n - koncentracja swobodnych nośników ładunku,

μ- ruchliwość swobodnych nośników ładunku

W metalach koncentracja swobodnych nośników ładunku nie zależy od temperatury, a ruchliwość μ ustala się w warunkach równowagi, gdy średni przyrost prędkości unoszenia (v_śr,u) wywołany działaniem sił pola elektrycznego (E), jest równoważony ubytkiem tej prędkości. W metalach istnieją dwa podstawowe mechanizmy rozpraszania. W wysokich temperaturach głównym mechanizmem są drgania cieplne atomów w węzłach sieci krystalicznej. Drgania te powodują niejednorodność gęstości (fluktuacje gęstości), na której rozprasza się fala. Rozpraszanie elektronów polega na zderzeniach ich z fononami. Ze wzrostem temperatury zwiększa się amplituda drgań sieci i przekrój czynny na rozpraszanie, więc maleje ruchliwość i konduktancja, wynikiem czego jest wzrost rezystancji. Dla temperatur wysokich i dla mało zanieczyszczonych metali jednoskładnikowych istnieje (w przybliżeniu) liniowa zależność między przyrostem rezystancji metali a przyrostem temperatury. Związek ten ma postać:

R₀ - opór w temperaturze początkowej t₀

R_t - opór w temperaturze t = t₀+∆t

α - temperaturowy współczynnik oporu zależny od rodzaju materiału. Im większa jest jego wartość, tym szybciej zmienia się opór metalu przy zmianie temperatury.

Półprzewodniki samoistne to takie, w których sieć krystaliczna nie jest zaburzona atomami obcego pierwiastka, np. domieszkami. W półprzewodnikach koncentracja elektronów swobodnych silnie zależy od temperatury, w temperaturze bliskiej zera bezwzględnego koncentracja ta praktycznie jest równa zeru. Atomy tworzące sieć krystaliczną w niskiej temp. nie pozbywają się elektronów, nawet tych najsłabiej z nimi związanych elektronów walencyjnych. Brak jest elektronów swobodnych, czyli pasmo przewodnictwa jest puste. To powoduje, że opór półprzewodnika jest bardzo duży. Pasmo przewodnictwa przedzielone jest od pasma walencyjnego tzw. pasmem wzbronionym, aby uzyskać elektrony swobodne w paśmie przewodnictwa należy dostarczyć elektronom walencyjnym odpowiednio dużą energię pozwalającą na przeskok przez pasmo wzbronione np. poprzez podgrzewanie próbki. Gdy temperatura półprzewodnika jest odpowiednio wysoka i rośnie, to koncentracja elektronów swobodnych rośnie ekspotencjalnie. Jest to bardzo silny wzrost i mimo, że ze wzrostem temperatury ruchliwość elektronów swobodnych, podobnie jak w metalach, maleje, to jednak przewodnictwo silnie rośnie tak jak koncentracja. Zatem opór półprzewodnika maleje ekspotencjalnie ze wzrostem temperatury, co można zapisać wzorem:

$Rs = R_{\text{os}}exp(\frac{\text{Eg}}{2kT})$

R_os — w przybliżeniu stała wartość zależna od rodzaju półprzewodnika i jego wymiarów,

E_g — szerokość pasma wzbronionego, zależna od rodzaju półprzewodnika,

T — temperatura wyrażona w Kelwinach,

k — stała Boltzmana.

Nawet w wysokich temperaturach w półprzewodnikach koncentracja elektronów swobodnych jest kilka rzędów mniejsza niż w metalach, a więc półprzewodniki mają większy opór właściwy. Gdy elektron walencyjny uwolni się od pewnego atomu (np. wskutek podgrzania próbki) i stanie się elektronem swobodnym, to taki stan atomu w półprzewodniku z brakującym elektronem walencyjnym nazywamy dziurą. Posiada ona niezrównoważony ładunek dodatni. Ze sposobu w jaki powstaje dziura wynika, że w półprzewodniku samoistnym liczba dziur jest równa liczbie elektronów swobodnych. Elektron, który się uwolnił, w wyniku uzyskanej energii cieplnej, porusza się z dużą prędkością, chaotycznie i jest już gdzieś daleko w krysztale. Efekt tego procesu jest taki jakby dodatnia dziura przemieszczała się w przeciwnym kierunku, czyli do ujemnego potencjału -V przyłożonego napięcia Oczywiście, to przewodnictwo dodaje się do wcześniej omówionego przewodnictwa wynikającego z ruchu elektronów które przemieszczają się do potencjału dodatniego +V. Jeżeli w sieci krystalicznej zamiast podstawowego pierwiastka tworzącego sieć w co którymś węźle sieci umieścimy inny pierwiastek, to mówimy, że półprzewodnik jest domieszkowany. Taką domieszkę, która dostarcza elektronów swobodnych nazywamy donorem, a poziom energetyczny tego "zbędnego" elektronu domieszki poziomem donorowym. Półprzewodnik zawierający donory nazywamy półprzewodnikiem typu n, od angielskiego negative, gdyż w takim półprzewodniku przeważającymi, czyli większościowymi nośnikami prądu są elektrony swobodne posiadające ładunek ujemny.( np. w sieci krystalicznej zbudowanej z atomów pierwiastka o 4 el. walencyjnych umieszczając co pewien atom pierwiastka o 5 el. walencyjnych oraz podgrzanie próbki powyżej temperatury zera bezwzględnego powoduje oderwanie elektronu który nie bierze udziału we wiązaniu od atomu domieszki, przez co staje się on elektronem swobodnym).

Obecność domieszek bardzo mocno wpływa na zwiększenie przewodnictwa. Jeśli w sieci zbudowanej z atomów pierwiastka np. o 4 elektronach walencyjnych zastąpimy co pewien atom atomem pierwiastka o 3 elektronach walencyjnych to już w niskich temperaturach w półprzewodniku mamy niedomiar elektronów walencyjnych i tworzą się dziury. Półprzewodnik tak domieszkowany nazywamy półprzewodnikiem typu p, od angielskiego słowa positive, gdyż teraz większościowymi nośnikami prądu są dziury posiadające niezrównoważony ładunek dodatni.

1. Wykaz przyrządów

• Komora pomiarowa K zawierająca: badane próbki (metalowe i półprzewodnikowe), grzejnik G i wentylator

• Jednostka sterująca zawierająca: wyłącznik sieciowy S, regulator temperatury AR, przełączniki 1, 2, 3, 4 podłączające wybraną próbkę do miernika oporu M, wyłącznik wentylatora W

• Miernik oporu M-3850

1. Cel ćwiczenia

• Pomiar oporu elektrycznego metalu i półprzewodnika w funkcji temperatury oraz wyznaczenie temperaturowego współczynnika oporu (rezystancji) metalu i szerokości pasma wzbronionego półprzewodnika (tzw. przerwy wzbronionej).

1. Schemat układu pomiarowego

M - mierniki oporu

K - komora pomiarowa

G - grzejnik

AR - regulator temperatury

S - wyłącznik sieciowy

W - wyłącznik wentylatora

1, 2, 3, 4 – klawisze podłączające do miernika oporu jedną z czterech próbek

1. Wyniki pomiarów i ich opracowanie

Dla metalu :

l.p.	t [ºC]	Rm [Ω]	a [Ω/ºC]	b [Ω]	α [1/ºC]
1.	36,5	112,6	0,29	101,20	2,85*10^-3
2.	41,6	113,3
3.	50,5	115,3
4.	59,5	117,7
5.	67,4	120,3
6.	75,9	122,9
7.	84,3	125,9
8.	92,7	128,4
∆x	0,1*	0,67*
u(x)	0,058*	0,39*	0,011	0,71
uC(x)					10,53

Przykładowe obliczenia :

* - dla pomiaru nr 1

∆t₁ = 0,1 ºC

u(t₁) = $\frac{t_{1}}{\sqrt{3}}$ ≈ 0,058

∆R = ±0,5 % rdg +1 dgt

∆R₁ = 0,5% * 112,6 Ω + 1*0,1Ω = 0,663 Ω ≈ 0,67Ω

u(R₁) = $\frac{R_{1}}{\sqrt{3}}$ ≈ 0,39 Ω

Wykres zależności oporu metalu R_m od temperatury t

Równanie prostej : y = 0,2887x + 101,2

Gdzie :

y = R_m [Ω]

x = t [ºC]

a = R_o * α = 0,2887 $\left\lbrack \frac{\Omega}{C} \right\rbrack$ ≈ 0,29 $\left\lbrack \frac{\Omega}{C} \right\rbrack$

b = R_o [Ω] = 101,20 [Ω]

stąd wynika, że temperaturowy współczynnik oporu α jest równy:

α = $\frac{a}{b}$ = $\frac{0,2887}{101,2}$ ≈ 2,85 *10^-3 $\left\lbrack \frac{1}{C} \right\rbrack$

Korzystając z programu Regresja liniowa, otrzymałam niepewności parametrów a i b:

u(a) = ± 0,01065 ≈ 0,011$\left\lbrack \frac{\Omega}{C} \right\rbrack$

u(b) = ± 0,7059 ≈ 0,71[Ω]

u(α) = $\sqrt{\ \left( \left| \frac{\partial}{\partial a}\left( \frac{a}{b} \right) \right|*u(a) \right)^{2}\ \ + \ \left( \left| \frac{\partial}{\partial b}\left( \frac{a}{b} \right) \right|*u(b) \right)^{2}\ }$

u(α) =$\sqrt{\ {\left( \left| \frac{\ 1\ }{101,2} \right|*0,01065 \right)\text{\ \ }}^{2} + {\left( \left| - \frac{\ 0,2887\ }{\left( 101,2 \right)^{2}} \right|*0,7059 \right)\ }^{2}\text{\ \ }}$ ≈ 10,53 $\left\lbrack \frac{1}{C} \right\rbrack$

Dla półprzewodnika :

L.p.	t [ºC]	T [K]	1000/T [1/K]	Rs [Ω]	lnRs	A [K]	Eg [J]	Eg [eV]
1.	36,5	309,5	3,231	88,6	4,484	2,50	6,88*10^-20	0,43
2.	41,6	314,6	3,179	81,1	4,396
3.	50,5	323,5	3,091	67,0	4,205
4.	59,5	332,5	3,008	55,6	4,018
5.	67,4	340,4	2,938	46,3	3,835
6.	75,9	348,9	2,866	37,8	3,632
7.	84,3	357,3	2,799	31,1	3,437
8.	92,7	365,7	2,735	26,0	3,258
∆x	0,1*			0,55*
u(x)	0,058*			0,32*		0,075
uC(x)		0,058	0,058		0,32		2,07*10^-21	0,013

Przykładowe obliczenia :

* - dla pomiaru nr 1

∆t₁ = 0,1 ºC

u(t₁) = $\frac{t_{1}}{\sqrt{3}}$ ≈ 0,058 ºC

∆R = ±0,5 % rdg +1 dgt

∆R₁ = 0,5% * 88,6 Ω + 1*0,1Ω = 0,543 Ω ≈ 0,55 Ω

u(R₁) = $\frac{R_{1}}{\sqrt{3}}$ ≈ 0,32 Ω

Równanie prostej : y = 2,492x-3,5198

Gdzie :

y = lnR_s

x = 1000/T [1/K]

A = 10^-3$\ \frac{E_{g}}{2k}\ $[K] =2,492 K ≈ 2,50 [K]

u(A) = ±0,075 [K]

B = lnR_os

Zatem E_g = 2000 * k *A ≈ 6,88 *10^-20 [J] ≈ 0,43 [eV]

k — stała Boltzmana, k ≈ 1,38*10^-23 [J/K]

1 J ≈ 6,24151 *10¹⁸ eV

u(α) = $\left| \frac{\partial}{\partial A}(2000\ *\ k\ *A\ ) \right|*u(A)$ ≈ 2,07*10^-21 [J] ≈ 0,013 [eV]

1. Wnioski

• Dokonano pomiaru zależności oporu metali i półprzewodników od temperatury.

• Wraz ze wzrostem temperatury rezystancja metali rośnie, powyżej pewnej temperatury różnej dla różnych metali wzrost ten jest liniowy.

• Dla metalu temperaturowy współczynnik oporu α wyniósł 2,85*10^-3 [1/ºC].

• Opór półprzewodnika maleje eksponencjalnie ze wzrostem temperatury.

• Dla pomiarów dokonanych dla półprzewodnika wartość przerwy energetycznej E_g wyniosła 2,07*10^-21 [J].