Temat 8	Wyznaczanie współczynnika rozszerzalności liniowej ciał stałych.	09.04.2013
BARTOSZ FEDNIK GRUPA: LP10 KIERUNEK: MECHATRONIKA 2012/13

1. Wprowadzenie

Wraz ze zmianą temperatury ciała stałego zmieniają się jego rozmiary. Najczęściej obserwujemy rozszerzaniu się ciał przy ich ogrzewaniu i kurczenie przy obniżaniu temperatury. Wzrost temperatury ciała wiąże się ze wzrostem energii drań atomów lub cząsteczek ciała, co prowadzi do wzrostu średniej odległości międzyatomowej lub międzycząsteczkowej. Jeżeli zmiana temperatury nie jest zbyt duża, to zmianę rozmiarów ciała można scharakteryzować liniowym współczynnikiem rozszerzalności cieplnej. Definiuje się go następująco:

α =$\mathbf{\alpha}\mathbf{\ }\mathbf{=}\frac{\text{Δl}}{\mathbf{l}_{\mathbf{0}}^{}\text{ΔT}}$

Gdzie:

ΔL - przyrost długości ciała przy wzroście temperatury o ΔT

l₀ - długość początkowa ciała

Współczynnik rozszerzalności liniowej danego materiału może mieć stałą wartość jedynie w pewnym przedziale temperatur. Dlatego ważne jest, aby zawsze podawać zakres temperatur, dla których został on wyznaczony.

Jeżeli badania ciało jest monokryształem, to współczynnik rozszerzalności liniowej będzie zależał od kierunku krystalograficznego. O takich ciałach mówimy, że są anizotropowe. Ciała, których własności nie zależą od orientacji przestrzennej nazywamy izotropowymi. W pewnym zakresie temperatur ciała mogą się różnie kurczyć wraz ze wzrostem temperatury, wtedy współczynnik rozszerzalności liniowej przyjmuje wartości ujemne.

2. Wykonanie ćwiczenia

1. Za pomocą miary mikrometrycznej mierzymy długość początkowo (l₀) badanego pręta.

2. Pręt umieszczamy w dylatometrze, orientując go płaskim końcem w stronę ostrza czujnika mikrometrycznego.

3. Zerujemy czujnik mikrometryczny.

4. Kolbę wypełniamy do 3/4 wodą i umieszczamy w płaszczu grzejnym piecyka elektrycznego, po czym za pomocą węża gumowego łączymy wlot kolby z osłoną badanego pręta.

5. Wodę w kolbie doprowadzamy do wrzenia i przez kilka minut ogrzewamy badany pręt w strumieniu pary wodnej.

6. Odczytujemy końcowe wskazanie czujnika mikrometrycznego równe bezwzględne przyrostowi długości pręta (Δl).

7. Następnie powtarzamy wyżej wymienione operacje dla reszty prętów.

8. Z termometru pokojowego odczytujemy temperaturę początkową badanych prętów.

9. Na barometrze odczytujemy wartości ciśnienia atmosferycznego i w tablicach fizycznych znajdujemy, odpowiadającą mu temperaturę wrzenia wody (Tw). Tak określoną temperaturę przyjmujemy jako temperaturę końcową prętów po ogrzaniu.

3. Obliczenia

Zmiana temperatury pręta wynosi.

100˚C = 373K

23˚ C = 296 K

ΔT = T_w-T_o

ΔT = 373 − 293 = 77K

T_w −  temperatura wrzenia wody

T_o −  temperatura otoczenia

Liczymy współczynnik rozszerzalności liniowej pręta za pomocą następującego wzoru:

$$\mathbf{\alpha =}\frac{\text{Δl}}{l_{0}\text{ΔT}}$$

Obliczanie rozszerzalności liniowej prętów:

Pierwszy pręt(aluminium):

l₀ = 389mm

ΔL = 0, 67mm

ΔT = 77K

α₁=$\frac{\mathbf{0,67}}{\mathbf{389 \bullet 77}}$=2,24 ∙ 10⁻⁵ $\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{K}}$

Drugi pręt(żelazo):

l₀ = 396mm

ΔL = 0, 41mm

ΔT = 77K

α₃=$\frac{\mathbf{0,41}}{\mathbf{396 \bullet 77}}$=1,34 ∙ 10⁻⁵ $\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{K}}$

Trzeci pręt(mosiądz):

l₀ = 402mm

ΔL = 0, 34mm

ΔT = 77K

α₂=$\frac{\mathbf{0,34}}{\mathbf{402 \bullet 77}}$=1,1 ∙ 10⁻⁵ $\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{K}}$

Obliczenia dla poprawionego pomiaru dla drugiego pręta(żelazo)::

l₀ = 396mm

ΔL = 0, 55mm

ΔT = 77K

α₃₍₂₎=$\frac{\mathbf{0,55}}{\mathbf{396 \bullet 77}}$=1,80 ∙ 10⁻⁵ $\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{K}}$

4. Obliczenia niepewności pomiarowych.

Niepewności w pomiarach, będziemy obliczać ze wzoru :

u(α)=$\sqrt{\frac{{\mathbf{(}\Delta dx)}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}{\mathbf{(}\Delta ex)}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{3}}}$

• Niepewność pomiarowa dla l₀ - długości prętu metoda typu "B"

Δe = 2mm

Δdl₀ = 1mm

u(l₀)=$\mathbf{\ }\sqrt{\frac{\mathbf{2}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{1}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{3}}}$=$\sqrt{\frac{\mathbf{5}}{\mathbf{3}}}$=0.75

• Pręt pierwszy(aluminium) :

l₀ = 389mm

ΔL = 0, 67mm

ΔT = 77K

$\mathbf{u =}\sqrt{\left( \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}\mathbf{89 \bullet 77}}\mathbf{\bullet 0,02} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\left( \mathbf{-}\frac{\mathbf{0,67}}{\mathbf{(389)}^{\mathbf{2}}\mathbf{\bullet 77}}\mathbf{\bullet 0,75} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\left( \mathbf{-}\frac{\mathbf{0,67}}{\mathbf{389 \bullet}\mathbf{(77)}^{\mathbf{2}}}\mathbf{\bullet 296} \right)^{\mathbf{2}}}$=$\sqrt{\mathbf{7,39 \bullet}\mathbf{10}^{\mathbf{- 9}}}\mathbf{\text{\ \ }}$= 8,6∙10⁻⁵ $\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{K}}$

• Pręt drugi(żelazo): :

l₀ = 396mm

ΔL = 0, 41mm

ΔT = 77K

$\mathbf{u =}\sqrt{\left( \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{396 \bullet 77}}\mathbf{\bullet 0,02} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\left( \mathbf{-}\frac{\mathbf{0,41}}{\mathbf{(396)}^{\mathbf{2}}\mathbf{\bullet 77}}\mathbf{\bullet 0,75} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\left( \mathbf{-}\frac{\mathbf{0,41}}{\mathbf{396 \bullet}\mathbf{(77)}^{\mathbf{2}}}\mathbf{\bullet 296} \right)^{\mathbf{2}}}$=$\sqrt{\mathbf{2,67 \bullet}\mathbf{10}^{\mathbf{- 9}}}\mathbf{\text{\ \ }}$= 5,17∙10⁻⁵ $\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{K}}$

• Pręt trzeci(mosiądz) :

l₀ = 402mm

ΔL = 0, 34mm

ΔT = 77K

$\mathbf{u =}\sqrt{\left( \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{402 \bullet 77}}\mathbf{\bullet 0,02} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\left( \mathbf{-}\frac{\mathbf{0,34}}{\mathbf{(402)}^{\mathbf{2}}\mathbf{\bullet 77}}\mathbf{\bullet 0,75} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\left( \mathbf{-}\frac{\mathbf{0,34}}{\mathbf{402 \bullet}\mathbf{(77)}^{\mathbf{2}}}\mathbf{\bullet 296} \right)^{\mathbf{2}}}$=$\sqrt{\mathbf{1,85 \bullet}\mathbf{10}^{\mathbf{- 9}}}\mathbf{\text{\ \ }}$= 4,30∙10⁻⁵ $\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{K}}$

• Obliczenia dla poprawionego odczytu pręta drugiego(żelazo): :

l₀ = 396mm

ΔL = 0, 55mm

ΔT = 77K

$\mathbf{u =}\sqrt{\left( \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{396 \bullet 77}}\mathbf{\bullet 0,02} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\left( \mathbf{-}\frac{\mathbf{0,55}}{\mathbf{(396)}^{\mathbf{2}}\mathbf{\bullet 77}}\mathbf{\bullet 0,75} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\left( \mathbf{-}\frac{\mathbf{0,55}}{\mathbf{396 \bullet}\mathbf{(77)}^{\mathbf{2}}}\mathbf{\bullet 296} \right)^{\mathbf{2}}}$=$\sqrt{\mathbf{4,81 \bullet}\mathbf{10}^{\mathbf{- 9}}}\mathbf{\text{\ \ }}$= 6,94∙10⁻⁵ $\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{K}}$

Dla pierwszego pręta(aluminium):

• Współczynnik rozszerzalności liniowej według wykonanych pomiarów.

α=8,6∙10⁻⁵ ± 2,24 ∙ 10⁻⁵ $\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{K}}$

Niepewność pomiarowa dla ΔL wydłużonej długości prętu metodą typu B :

Δ_eΔL = 0,02 mm

Δ_dΔL = 0,01 mm

u(ΔL) = $\sqrt{\frac{{(0,02)}^{2} + {(0,01)}^{2}}{3}}\ $ = $\sqrt{\frac{0,0004 + 0,0001}{3}}\ $ = 0,02 mm

• Niepewność pomiarowa dla ΔT przyrostu metodą typu B :

Δ_eT = 2˚C

Δ_dT = 1˚C

u(T) = $\sqrt{\frac{2^{2} + 1^{2}}{3}}\ $ = 0,75 ˚C

• Niepewność dla współczynnika rozszerzalności ciał stałych :

u(α)=$\sqrt{{\sum_{i = 1}^{n}{\lbrack\frac{d\mathbf{\alpha}}{\text{dx}}} \bullet u(x_{i})\rbrack}^{2}}$

ΔL = α • l•Δt

$$\mathbf{\alpha =}\frac{\text{ΔL}}{\mathbf{l \bullet}\text{Δt}}$$

$\frac{d\mathbf{\alpha}}{\text{dx}}$=$\frac{1}{\mathbf{l \bullet}\text{Δt}}$ ; $\frac{d\mathbf{\alpha}}{\text{dl}}$=-$\ \frac{\text{ΔL}}{\mathbf{l}^{\mathbf{2}}\mathbf{\bullet}\text{Δt}}$ ; $\frac{d\mathbf{\alpha}}{d\text{Δt}}$=-$\frac{\text{ΔL}}{\mathbf{l \bullet}\text{Δt}^{2}}$

Dla drugiego pręta(żelazo):

α=5,17∙10⁻⁵ ± 1,34 ∙ 10⁻⁵ $\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{K}}$

Dla trzeciego pręta(mosiądz):

α=4,30∙10⁻⁵ ± 1,1 ∙ 10⁻⁵ $\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{K}}$

Dla poprawionego odczytu dla drugiego pręta:

α=6,94∙10⁻⁵ ± 1,80 ∙ 10⁻⁵ $\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{K}}$

Współczynnik rozszerzalności liniowej według tablic:

1. Aluminium

α=1,80 ∙10⁻⁵ $\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{K}}$

1. Żelazo

α=1,1 ∙10⁻⁵ $\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{K}}$

1. Mosiądz

α=1,781 ∙10⁻⁵ $\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{K}}$

Porównanie rozszerzalności cieplnej z wartościami tablicowymi:

Dla prętu pierwszego :

$$\Delta\% = \frac{2,24\ \bullet \ \mathbf{10}^{\mathbf{- 5}} - 1,80\ \bullet \mathbf{10}^{\mathbf{- 5}}}{1,80\ \bullet \mathbf{10}^{\mathbf{- 5}}} \bullet 100\% = 24,\left( 4 \right)\%$$

Dla prętu drugiego:

$$\Delta\% = \frac{1,34\ \bullet \ \mathbf{10}^{\mathbf{- 5}} - 1,34\ \bullet \ \mathbf{10}^{\mathbf{- 5}}}{1,34\ \bullet \ \mathbf{10}^{\mathbf{- 5}}} \bullet 100\% = 0\%$$

Dla prętu trzeciego:

$$\Delta\% = \frac{1,1\ \bullet \ \mathbf{10}^{\mathbf{- 5}} - 1,781\ \bullet \mathbf{10}^{\mathbf{- 5}}}{1,781\ \bullet \mathbf{10}^{\mathbf{- 5}}} \bullet 100\% = - 3,82\%$$

Dla poprawionego pomiaru pręta drugiego:

$$\Delta\% = \frac{1,8\ \bullet \ \mathbf{10}^{\mathbf{- 5}} - 1,1\ \bullet \mathbf{10}^{\mathbf{- 5}}}{1,1\ \bullet \mathbf{10}^{\mathbf{- 5}}} \bullet 100\% = 63\%$$

WNIOSKI

Na podstawie wykonanych pomiarów możemy zauważyć, iż ciała stałe zmieniają długość równomiernie z wzrostem temperatury. Zależnie od materiału z jakiego są wykonane, długość wydłużenia jest inna - co określa współczynnik rozszerzalności liniowej  α

Błędy wyszły zależnie od materiału, małe jak w przypadku mosiądzu, a duże w przypadku żelaza, przy poprawionym pomiarze, lecz przy aluminium wyszedł on średni.