Akademia Techniczno- Humanistyczna

w Bielsku-Białej

Wydział BMiI

Semestr 4

Rok 2

Ćwiczenie numer 6

Badanie wyboczenia pręta ściskanego

1. Wstęp teoretyczny:

Zagadnienie wyboczenia ściskanego pręta wiąże się ściśle z pojęciem stabilności i stateczności. Stabilnością nazywa się zdolność układów mechanicznych (lub ogólnie – fizycznych) do samoczynnego powrotu do stanu równowagi po ustaniu działania czynnika zakłócającego ten stan, natomiast stateczność – to zdolność tych układów do „przeciwstawiania się” takim czynnikom zakłócającym. W przypadku osiowego obciążenia prostoliniowego pręta siłą ściskającą można wyraźnie zaobserwować zakresy jego pracy. W pierwszym zakresie, pręt przenosząc coraz większe obciążenie nie zmienia swojej geometrii (pozostaje prostoliniowy). Istnieje jednak taki poziom siły, nazywany siłą krytyczną, przy którym jej nieskończenie mały przyrost spowoduje ugięcie pręta w kierunku prostopadłym do jego osi, czyli tzw. wyboczenie, i przejście do drugiego zakresu pracy. Dalszy wzrost siły, z reguły niewielki, powoduje wyraźny wzrost ugięcia, przy czym powrót pręta do poprzedniej postaci jest uwarunkowany zmniejszeniem działającego nań obciążenia. Wartości siły krytycznej i pojawieniu się wyboczenia, czyli utracie stateczności, odpowiada określony poziom naprężenia krytycznego. Wynika stąd wniosek, że ocena stateczności może polegać na ocenie poziomu naprężenia krytycznego lub siły krytycznej, przy czym z konstrukcyjnego punktu widzenia, wartości tych wielkości występujące rzeczywiście w pręcie powinny być mniejsze, jeśli pręt ma pracować w zakresie statecznym.

Wyboczenie pręta ściskanego siłą osiową jest jednym z przykładów utraty stateczności układu sprężystego. W przypadku ściskania pręta stosunkowo krótkiego wymiaru jego przekroju poprzecznego oblicza się z warunku wytrzymałościowego. Natomiast przy prętach dłuższych zniszczenie może nastąpić nie dlatego, że zostanie przekroczona jego wytrzymałość na ściskanie, lecz wskutek zmiany jego kształtu i związanej z tym zmiany charakteru staniu naprężenia w pręcie.

Teoretycznie, gdy pręt jest idealnie symetryczny, a siła ściskająca idealnie osiowa i centryczna, wyboczenie nie ma prawa wystąpić. W rzeczywistych układach taki warunek jest bardzo rzadko spełniony. W takiej sytuacji przy odpowiednio dużym obciążeniu, większym niż obciążenie dopuszczalne, istnieje niebezpieczeństwo wyboczenia. Utrata stateczności układu – przejście układu ze stanu równowagi chwiejnej lub obojętnej (powodowane działaniem siły krytycznej).

Siła krytyczna jest dana wzorem Eulera:

$$P_{E} = \frac{\pi^{2} \bullet E \bullet I_{\min}}{l^{2}}$$

gdzie:

E – moduł Younga,

I_min – najmniejszy moment bezwładności przekroju poprzecznego pręta,

l – długość pręta.

Metoda Southwella

Metoda ta polega na pomiarze strzałki ugięcia pręta podczas ściskania siła mniejszą od krytycznej. Znając wielkości siły P oraz odpowiadające im przemieszczenia δ można wyznaczyć siłę krytyczną. Siła osiowa P jest przyłożona za pomocą dźwigni jednostronnej obciążonej ciężarem obciążników G_b, ciężarem suwaka G_S, oraz ciężarem samej dźwigni G_d.

1. Cel ćwiczenia

Wyznaczenie siły krytycznej (czyli granicznej wartości siły ściskającej, przy której mamy do czynienia z równowagą obojętną) w pręcie podpartym przegubowo na obu końcach. Metoda Southwella.

1. Schemat stanowiska:

Dane:

l=778 mm

F=186,75 mm²

a=41,5 mm

b= 4,5 mm

l_w=l

1. Wykonanie ćwiczenia

Lp.	P szalki + P ciężarków =P[N]	Wskazanie czujnika Ai [mm]	Ugięcie pręta δ [mm]	δ/P [mm/N]
1.	0 (bez szalki)	0	0	----
2.	Po (ciężar szalki) = 20,1	0,03	0,03	0,00149
3.	Po + P = 70,1	0,12	0,09	0,00128
4.	120,1	0,22	0,19	0,00158
5.	170,1	0,35	0,32	0,00188
6.	220,1	0,51	0,48	0,00218
7.	270,1	0,66	0,63	0,00233
8.	320,1	0,82	0,79	0,00247
9.	370,1	1,03	1,00	0,00270
10.	420,1	1,31	1,28	0,00305
11.	470,1	1,67	1,64	0,00349
12.	520,1	2,04	2,01	0,00386
13.	570,1	2,59	2,56	0,00449
14.	620,1	3,19	3,16	0,00510
15.	670,1	4,05	4,02	0,00600

Siła krytyczna:

$$P_{\text{kr}} = \frac{\pi^{2} \bullet E \bullet I_{\min}}{l^{2}} = \frac{\pi^{2} \bullet 2,1 \bullet 10^{5} \bullet 315,14}{778^{2}} = 1078\ N$$

Najmniejszy moment bezwładności przekroju poprzecznego pręta:

$$I_{\min} = \frac{a \bullet b^{3}}{12} = 315,14\ \text{mm}^{2}$$

Moduł Younga:

E = 2, 1 • 10⁵MPa

$$i_{\min} = \sqrt{\frac{I_{\min}}{F}} = \sqrt{\frac{315,14}{186,75}} = 1,299\ mm$$

Smukłość:

$$s = \frac{l_{w}}{i_{\min}} = \frac{778}{1,299} = 598,922$$

Czyli

s > s_gr = 100 warunek spełniony

Wartość siły krytycznej wg metody Southwella:

Wzór linii wyznaczającej kąt α:

y = 859, 5x − 1, 2724

Wyznaczenie miejsca przecięcia z osią ox:

0=859,5x-1,2724

1,2724=859,5x

X=0,00148

$$P_{\text{kr}} = tg\alpha = \frac{c}{d} = \frac{3,9}{0,006 - 0,00148} = 862,832\ N$$

Błąd:

$P_{\text{kr}} = \frac{P_{\text{kr}} - P_{\text{kr}}^{D}}{P_{\text{kr}}} \bullet 100\% = \frac{1078 - 862,832}{1078} \bullet 100\% = 19,9\ \%$

1. Wnioski:

• Względny błąd pomiarowy jest stosunkowo duży, ponieważ pręt powinien być według normy obciążany do wartości 70 % obliczonej siły P_E czyli 755,38 N nato miast obciążanie pręta wykonano do 670,1 N,

• Metoda Southwella jest stosunkowo dokładną metodą pomiaru ponieważ pozwala na dokładne wyznaczenie siły krytycznej.