1 Wprowadzamy dane 10 (błąd d. wejściowych: fl(x)=x(1+Ex)

2 Dane 10→2 (reprezentacji danych đ: 0 lub x≠fl(x) IExI≤2^-ln-1

3 Wykonanie obliczeń (Ă zaokrągleń x°y=fl(x°y)=(x°y)(1+E_o)

Metody [x(1+Ex)°y(1+Ey)](1+Eo) 4 Wynik 2→10 5Wypisanie wyn.

Fl(p,lm,lc) (podstaw systemu,l.cyfr mantysy, liczba)

Stab alg: S=˃A(đ)-Ă(đ) Uwarunk. zad: U=˃A(d)-A(đ) Popr: P=˃A_w(d)-Ă_w(đ) Aproksymacja: Przybliżenie funkcji 1zmiennej

Interpolowanie: f(x)=F(x)+R y_i=f(x_i) i=0…n x_i€<a,b˃ Założenie: dany jest przedział ab, w którym są znane argumenty x_o…x_n nazwane węzłami interpolacji, oraz wartości w tych argumentach.

Zadaniem interpolacji jest wyznaczenie przybliżonych wartości funkcji pomiędzy węzłami, oraz oszacowanie błędów i przybliżonych wartości. W tym celu należy znaleźć funkcje F zwaną funkcją interpolującą, przybliżona w ab. Funkcja F w węzłach interpolacji przyjmuje takie same wartości jak f. Zastosowanie: -w przypadku zagęszczenia tablic –przy przybliżeniu wartości funkcji określonej tablicą pkt; -przy obliczaniu poprawek np. dla stabilizowanych funkcji o rzadkim kroku; -przy zastępowaniu funkcji zbyt skomplikowanych.

Wielomian interpolacyjny: W_n(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₁x+a_o

W_n(x_i)=y_i i=0…n Tw1: Istnieje dokładnie 1wielomian interpolacyjny stopnia najwyżej n, dla n=>1, który w węzłach x_o,…x_n przyjmuje wartości y_o…y_n

Metoda Lagrange’a: L_n(x)=$\sum_{\mathbf{i = 0}}^{\mathbf{n}}\mathbf{y}_{\mathbf{i}}\mathbf{\bullet}\prod_{\begin{matrix} \mathbf{k =}\mathbf{0} \\ \mathbf{k \neq i} \\ \end{matrix}}^{\mathbf{n}}\frac{\mathbf{x -}\mathbf{x}_{\mathbf{k}}}{\mathbf{x}_{\mathbf{i}}\mathbf{-}\mathbf{x}_{\mathbf{k}}}$

Iloraz różnicowy: Y_{i,i+1,…,i+k-1,i+k}=$\frac{Y_{i + 1,\ldots,i + k} - Y_{i,i + 1,\ldots,i + k - 1}}{X_{\text{ik}} - X_{i}}$

N₃(X)=y₀+y₀₁(x-x_o)+y₀₁₂(x-x_o)(x-x₁)+ y₀₁₂₃(x-x_o)(x-x₁)(x-x₂)

Zbieżność procesów interpolacji: Początkowo ze wzrostem liczby węzłów przybliżenie funkcji wielomianu interpolacyjnego zwiększa się, lecz przy dalszym wzroście liczby węzłów przybliżenie może zacząć się pogarszać zwłaszcza przy końcach przedziału.

Takie zachowanie się wiel.inter. jest zjawiskiem typowym dla interpolacji za pomocą wielomianów wysokich stopni przy stałych odległościach m. węzłami. Jest to tzw zjawisko Rungego. Można zaobserwować na przedziale f(x)=IxI <-1,1> dla 3,5,11,20węzłów.

Najlepsza aproksymacja na węzłach Czybyszewa: x₁=$\frac{\mathbf{b - a}}{\mathbf{2}}\mathbf{\cos}\left( \frac{\mathbf{2}\mathbf{i + 1}}{\mathbf{2}\mathbf{n}}\mathbf{\pi} \right)\mathbf{+}\frac{\mathbf{a + b}}{\mathbf{2}}$ dla i=0,1…,n

Gdy f jest jawna i ciągła w ab można oszacować różnicę między f a a wartością interpolacyjną: If(x)-W_n(x)I≤$\frac{\operatorname{}\left| f^{n + 1}(\xi) \right|}{\left( n + 1 \right)!}\prod_{k = 0}^{n}{(x - x_{k})}$