Gr A

1

x=[-4:0,1:4];

p=(4*(x.^5))-(3*(x.^4))+(5*x)-2;

plot (x,p)

roots(p)

zadanie 2

A=[2,4,-2;1,3,-2;0,2,-1]

B=[5;7;2]

A\B

cond(A)

det(A)

grupa B

1.

x=[-3:0,1:12];

x0=[1,2,4,6,8,12];

y0=[2,-2,3,6,2,0];

p=polyfit(x0,y0,5];

y=polyval(x,p);

plot(x,y)

plot(x0, y0, “ro”, x,y)

2.

function [y]=fun(x)

y=(x.^2)*sin(x);

endfunction;

calka=quad(fun,2,5)

x=[2:0,1:5];

plot (x,fun(x))

1.B Wyznaczanie pierwiastków funkcji nieliniowych polega na zbliżaniu się do rzeczywistej wartości miejsca zerowego poprzez skracanie przedziałów.

Metoda bisekcji - Przed przystąpieniem do obliczania należy poznać najpierw przebieg funkcji by w przybliżeniu określić granice przedziału, w którym znajduje się szukany pierwiastek (można je oszacować z większym lub mniejszym przybliżeniem). Metoda ta może być stosowana w każdym przypadku, w którym funkcja w granicach podanego przedziału zmienia znak (po przejściu przez miejsce zerowe). Metoda ta zawsze jest zbieżna (zbieżność liniowa tej procedury gwarantuje odnalezienia pierwiastka równania jednak kosztem ilości iteracji).

Metoda iteracji prostej należy do tzw. metod iteracyjnych jednopunktowych. Ciąg kolejnych przybliżeń dla tej metody jest następujący: x_k+1=q(x_k) (k=1,2,3,...). Przy czym q(x) jest równaniem równoważnym otrzymanym po zastąpieniu równania wyjściowego f(x)=0 => x=q(x). Pierwszy punkt przybliżenia przyjmujemy w jak najbliższym sąsiedztwie pierwiastka równania. Funkcja ta powinna być tak dobrana aby proces był jak najszybciej zbieżny.

Metoda Newtona (stycznych) -Stopień zbieżności tej metody wynosi 2. Zbieżność tej metody została osiągnięta dzięki dodatkowemu nakładowi pracy jakim jest wyznaczenie pochodnej badanego równania. W niektórych przypadkach wyznaczenie pochodnej jest sprawą bardziej złożoną i zastosowanie tej metody nie jest opłacalne.

2B Algorytm to przepis rozwiązania zadania, zawierający opis danych wraz z opisem czynności, które należy wykonać z tymi danymi, aby osiągnąć zamierzony cel.

Algorytm dokładny, jeśli wynik jego działania w arytmetyce idealnej jest dokładnym rozwiązaniem zadania: Alg(d ) = j(d ) = w Dla obliczeń w arytmetyce idealnej.

Algorytm jest numerycznie stabilny wtedy, gdy zwiększając dokładność obliczeń można wyznaczyć (z dowolną dokładnością) dowolne istniejące rozwiązanie zadania.

Na przykład:

• Algorytm Gaussa rozwiązywania układu rownań

liniowych jest algorytmem dokładnym.

• Algorytmy iteracyjne znajdowania zer funkcji nieliniowych nie są algorytmami dokładnymi. Ich dokładność (błąd), bada się porownując wynikdokładny z wynikiem uzyskanym przez algorytm w arytmetyce idealnej

1A. • Błędy problemu – Związane są ze sformułowaniem zadania numerycznego. Przyjęty model jest najczęściej modelem uproszczonym realnego zjawiska fizycznego, podczas jego formułowania stosuje się szereg założeń upraszczających. Na przykład podczas modelowania maszyny elektrycznej niekiedy nie bierze się pod uwagę zjawiska histerezy magnetycznej, bądź modeluje się jedynie zjawisko nasycenia.

•Błędy obcięcia – Wynikają z zastąpienia działań nieskończonych lub działań na wielkościach nieskończenie małych, przybliżonymi działaniami skończonymi.

•Błędy początkowe – Powstają gdy do obliczeń wykorzystywane są dane obarczone błędem (np. z pomiaru) bądź stałe matematyczne które można określić jedynie w przybliżeniu (np. liczba π).

●Błędy zaokrągleń - ich przyczyną jest niedokładna reprezentacja liczb rzeczywistych w maszynie cyfrowej, powodująca konieczność zaokrąglania liczb wpodczas wykonywania działań zmiennoprzecinkowych.

2.A

Dowolną liczbę x≠0 można przestawić następująco: x=s*2^(b-c)*m

Gdzie:

•sϵ{-1,1} (odpowiada za znak liczby)

•(c-b) – liczba całkowita – cecha (b jest stałą tzw. bias)

• m ϵ[1,2) – mantysa

W praktyce liczba bitow mantysy i cechy musi być ograniczona.

Nadmiar i niedomiar

• W sytuacji gdy cecha liczby jest mniejsza od najmniejszej możliwej do zapamiętania w danym systemie cechy mamy do czynienia z niedomiarem, Liczba taka musi zostać zapamiętana jako 0

• W sytuacji gdy cecha liczby jest większa od największej możliwej do zapamiętania w danym systemie cechy, mamy do czynienia z nadmiarem (overflow), Liczba taka jest pamiętana jako nieskończoność (ze znakiem) INF