2. Analiza statyczno – wytrzymałościowa.

2.1. Zebranie obciążeń:

1. Eksploatacyjne:

Lp	Pozycja	gk [kN/m^2]	γM	gd [kN/m2]
1	płytki lastrikowe 20mm	0,76	1,35	1,026
2	gładź cementowa 40mm	0,84	1,35	1,134
3	styropian 45mm	0,02	1,35	0,027
4	wylewka betonowa	0,96	1,35	1,296
5	płyta żelbetowa o gr. 100mm	2,5	1,35	3,375
6	tynk wapienny 20mm	0,38	1,35	0,513
	SUMA	5,46		7,37
7	obciążenia użytkowe	6,5	1,5	9,75
	SUMA	11,96		17,12

2.2.2. Montażowe

Gdzie obciążenia podano w [kN/m²].

2.2 Belka A-1, A-1*

2.2.1 Wstępne przyjęcie przekroju

Założenia do wymiarowania:

E = 210 GPa

l = 8,35 m

g = 11,96 kN/m²

Obliczenia ze względu na stan graniczny użytkowalności:

Przyjęto dwuteownik 330 IPE: I = 11770 cm⁴ > 10793 cm⁴

Skorygowana tabela obciążeń

Lp	Pozycja	gk [kN/m^2]	γM	gd [kN/m2]
1	płytki lastrikowe 20mm	0,76	1,35	1,026
2	gładź cementowa 40mm	0,84	1,35	1,134
3	styropian 45mm	0,02	1,35	0,027
4	wylewka betonowa	0,96	1,35	1,296
5	płyta żelbetowa o gr. 100mm	2,5	1,35	3,375
6	tynk wapienny 20mm	0,38	1,35	0,513
	SUMA	5,46		7,37
7	obciążenia użytkowe	6,5	1,5	9,75
	SUMA	11,96		17,12
	ciężar wlasny belki	0,42	1,35	0,57

2.2.2 Ocena klasy przekroju

Belka IPE 330 ze stali S235

Półki:

Przekrój klasy 1

Środnik:

Przekrój klasy 1

Wniosek: Dwuteownik 330 IPE jest klasy 1.

2.2.3 Sprawdzenie nośności na zginanie

- warunek do spełnienia.

Wniosek: Warunek nośności na zginanie został spełniony.

2.2.4 Sprawdzenie nośności na ścinanie

- warunek do spełnienia.

(skorzystano z uproszczenia, że Av to pole środnika)

Warunek nośności na ścinanie został spełniony.

2.2.5. Sprawdzenie stateczności środnika nieużebrowanego

- jeśli ten warunek jest spełniony to należy liczyć stateczność,

- warunek nie został spełniony, więc nie są potrzebne dodatkowe obliczenia.

2.2.6. Oparcie belki na murze

f_k = k • f_b^α • f_m^β

k = 0, 45

f_b = 10 MPa

f_m = 5 MPa

α = 0, 7

β=0,3

1. wytrzymałość charakterystyczna i obliczeniowa muru na ściskanie:

f_k = 0, 45 • 10^0, 7 • 5^0, 3 = 3, 66 MPa

$$f_{d} = \frac{f_{k}}{\gamma_{M} \bullet \gamma_{\text{Rd}}}$$

γ_M = 2, 5

γ_Rd = 1, 0

$$f_{d} = \frac{3,66}{2,5 \bullet 1,0} = 1,46\ MPa$$

1. Przyjęcie długości oparcia i sprawdzenie nośności:

- długość oparcia

Przyjęto a = 200 mm.

Warunek nośności nie spełniony - należy zastosować podkładkę pod dwuteownik.

2.2.6.1 Wymiarowanie podkładki

$$\frac{V_{\text{Ed}}}{a \bullet d} \leq f_{d}\ \ \ d \geq \frac{V_{\text{Ed}}}{a \bullet f_{d}} = \frac{73860}{200 \bullet 1,46} = 253\ mm$$

Przyjmuję d = 260 mm.

$$\sigma_{m} = \frac{73860}{200 \bullet 260} = 1,42 \leq 1,46$$

Grubość podkładki:

• Dla przekroju A:

$$q_{m} = \sigma_{m} \bullet a = 1,46 \bullet 200 = 292\frac{\text{kN}}{m}$$

$$M_{A} = q_{m} \bullet \frac{c^{2}}{2} = 292 \bullet \frac{{0,015}^{2}}{2} = 0,033\ kNm$$

$$M_{Rd,A} = \frac{a \bullet t^{2}}{6} \bullet f_{y}$$

$$\frac{M_{A}}{M_{Rd,A}} \leq 1$$

$$t_{A} \geq \sqrt{\frac{6M_{A}}{af_{y}}} = \sqrt{\frac{6 \bullet 0,033\ \ }{0,2 \bullet 235000}} = 0,0205\ m\ = \ 2,05\ cm$$

t_A ≥ 0, 0205 m

• Dla przekroju B:

$$M_{B} = q_{m} \bullet \frac{c_{b}^{2}}{2}$$

c_b = 0, 2 + 0, 0575 = 0, 2574m

$$M_{B} = 292 \bullet \frac{{0,2574}^{2}}{2} = 9,67\text{\ kNm}$$

$$M_{Rd,B} = \frac{a}{6} \bullet f_{y} \bullet \left( t_{1}^{2} + t_{2}^{2} \right)$$

$$\frac{M_{B}}{M_{Rd,B}} \leq 1$$

$$t_{B} \geq \sqrt{\frac{6M_{A}}{af_{y}} - t_{f}^{2}} = \sqrt{\frac{6 \bullet 9,67\ }{0,2 \bullet 235000} - {0,0107}^{2}} = 0,033m = 3,3\text{\ cm}$$

t_podkladki = max{t_A;t₂} = 0, 033 m

Przyjmuję podkładkę o grubości 3,5 cm.

8. Sprawdzenie nośności przy obciążeniu skupionym

Parametr niestateczności

$$k_{f} = 2 + 6\left( \frac{s_{s} + c}{h_{w}} \right) \leq 6$$

$$k_{f} = 2 + 6\left( \frac{0,15 + 0}{0,33} \right) = 4,73 \leq 6$$

Efektywna szerokość strefy obciążenia

$$m_{1} = \frac{f_{\text{yf}}b_{f}}{f_{\text{yw}}t_{w}}$$

$$m_{1} = \frac{235 \bullet 0,16}{235 \bullet 0,0075} = 21,33$$

$$m_{2} = 0,02\left( \frac{h_{w}}{t_{f}} \right)^{2} - dla\ \lambda_{F} > 0,5$$

m₂ = 0 − dla λ_F ≤ 0, 5

Zakładamy, że λ_F ≤ 0, 5

Efektywna szerokość

l_y = min(l_y1, l_y2)

$$l_{e} = \frac{k_{f}Et_{w}^{2}}{2f_{\text{yw}}h_{w}} \leq s_{s} + c$$

$$l_{e} = \frac{4,73 \bullet 210 \bullet 10^{6} \bullet {0,0075}^{2}}{2 \bullet 235 \bullet 10^{3} \bullet 0,33} = 0,36 \geq s_{s} + c = 0,15\ m\ $$

l_e = 0, 15 m

$$l_{y1} = l_{e} + t_{f}\sqrt{\frac{m_{1}}{2} + \left( \frac{l_{e}}{t_{f}} \right)^{2} + m_{2}}$$

$$l_{y1} = 0,15 + 0,0107\sqrt{\frac{21,33}{2} + \left( \frac{0,15}{0,0107} \right)^{2} + 0} = 0,304\ m$$

$$l_{y2} = l_{e} + t_{f}\sqrt{m_{1} + m_{2}}$$

$$l_{y2} = 0,15 + 0,0107\sqrt{21,33 + 0} = 0,199\ m$$

l_y = min(0,304;0,199) = 0, 199 m

Siła krytyczna

$$F_{\text{cr}} = 0,9k_{F}E\frac{t_{w}^{3}}{h_{w}} = 0,9 \bullet 4,73 \bullet 210 \bullet 10^{6} \bullet \frac{{0,0075}^{3}}{0,33} = 1142,86\text{\ kN}$$

Smukłość zastępcza pasa ściskanego

$$\lambda_{F} = \sqrt{\frac{l_{y}t_{w}f_{\text{yw}}}{F_{\text{cr}}}} = \sqrt{\frac{0,199\ \bullet 0,0075 \bullet 235000}{1142,86}} = 0,55$$

Założenie, że λ_F ≤ 0, 5 było niesłuszne

$$m_{2} = 0,02\left( \frac{0,33}{0,0107} \right)^{2} = 19,02$$

Efektywna szerokość

l_y = min(l_y1, l_y2)

$$l_{e} = \frac{k_{f}Et_{w}^{2}}{2f_{\text{yw}}h_{w}} \leq s_{s} + c$$

$$l_{e} = \frac{5 \bullet 210 \bullet 10^{6} \bullet {0,0075}^{2}}{2 \bullet 235 \bullet 10^{3} \bullet 0,33} = 0,38 \geq s_{s} + c = 0,15\ m\ $$

l_e = 0, 15 m

$$l_{y1} = l_{e} + t_{f}\sqrt{\frac{m_{1}}{2} + \left( \frac{l_{e}}{t_{f}} \right)^{2} + m_{2}}$$

$$l_{y1} = 0,15 + 0,0107\sqrt{\frac{21,33}{2} + \left( \frac{0,15}{0,0107} \right)^{2} + 19,02} = 0,311\text{\ m}$$

$$l_{y2} = l_{e} + t_{f}\sqrt{m_{1} + m_{2}}$$

$$l_{y2} = 0,15 + 0,0107\sqrt{21,33 + 19,02} = 0,218\text{\ m}$$

l_y = min(0,311;0,218) = 0, 218 m

Siła krytyczna

$$F_{\text{cr}} = 0,9k_{F}E\frac{t_{w}^{3}}{h_{w}} = 0,9 \bullet 4,73 \bullet 210 \bullet 10^{6} \bullet \frac{{0,0075}^{3}}{0,33} = 1142,86\text{\ kN}$$

Smukłość zastępcza pasa ściskanego

$$\lambda_{F} = \sqrt{\frac{l_{y}t_{w}f_{\text{yw}}}{F_{\text{cr}}}} = \sqrt{\frac{0,218\ \bullet 0,0075 \bullet 235000}{1142,86}} = 0,58$$

Współczynnik redukcyjny

$$\chi_{F} = \frac{0,5}{\lambda_{F}} = \frac{0,5}{0,58} = 0,86$$

Efektywny wymiar środnika pry obciążeniu skupionym

L_eff = l_y • χ_F = 0, 218 • 0, 86 = 0, 179 m

Obliczeniowa nośność środnika ze względu na niestateczność pod siłą skupioną

$$F_{\text{Rd}} = \frac{f_{\text{yw}}L_{\text{eff}}t_{w}}{\gamma_{M1}} = \frac{235000 \bullet 0,179 \bullet 0,0075}{1,0} = 315,49\text{\ kN}$$

Sprawdzenie warunku nośności

$$\eta_{2} = \frac{F_{\text{Ed}}}{F_{\text{Rd}}} = \frac{73,86}{315,49} = 0,23 \leq 1$$

Warunek spełniony.

1. Belka A-2

   1. Wstępne wymiarowanie belki A-2

L= 8,15 m ; L_o= L= 8,15m

Założenia do wymiarowania :

Przyjęto belki ze stali S235W

f_u= 360 MPa

f_y= 235 MPa

E= 210 GPa

G= 81 GPa

Wymiarowanie ze względu na stan graniczny użytkowalności

$$w_{\max} = \frac{l_{0}}{250} = \frac{8,15}{250} = 0,021\text{\ m}$$

$$w = \frac{5ql^{4}}{384EI} = \frac{5 \bullet 0,01196 \bullet {8,15}^{4}}{384 \bullet 210000 \bullet I} = 0,021\text{\ m}$$

w ≤ w_max

$$I \geq \frac{5 \bullet 0,01196 \bullet {8,15}^{4}}{384 \bullet 210000 \bullet 0,021} = 15580\ \text{cm}^{4}\ $$

Przyjęto przekrój IPE 360 o I_x = 16270,0 cm⁴ ; W_x = 904,0 cm³

Skorygowana tabela obciążeń:

Lp	Pozycja	gk [kN/m^2]	γM	gd [kN/m2]
1	płytki lastrikowe 20mm	0,76	1,35	1,026
2	gładź cementowa 40mm	0,84	1,35	1,134
3	styropian 45mm	0,02	1,35	0,027
4	wylewka betonowa	0,96	1,35	1,296
5	płyta żelbetowa o gr. 100mm	2,5	1,35	3,375
6	tynk wapienny 20mm	0,38	1,35	0,513
	SUMA	5,46		7,37
7	obciążenia użytkowe	6,5	1,5	9,75
	SUMA	11,96		17,12
	ciężar wlasny belki	0,57	1,35	0,77
	SUMA	12,53		17,89

1. Obliczenia statyczne

$${M_{\text{Ed}} = M}_{\max} = \frac{q_{c} \bullet l_{0}^{2}}{8} = \frac{17,89 \bullet {8,15}^{2}}{8} = 148,54\text{\ kNm}$$

$${V_{\text{Ed}} = V}_{\max} = \frac{q_{c} \bullet l_{0}}{2} = \frac{17,89 \bullet 8,15}{2} = 72,9\text{\ kN}$$

2.2.3 Określenie klasy przekroju

Przyjęto dwuteownik IPE 330

Dane:

h = 360 mm

b = 170 mm

t_w = 8 mm

t_f = 12,7mm

r = 18mm

Stal gatunku S235W,

f_y=235 MPa

$$\varepsilon = \sqrt{\frac{235}{f_{y}}} = \sqrt{\frac{235}{235}} = 1$$

Smukłość środnika:

$$\frac{c}{t}\mathbf{=}\frac{h - 2(t_{f} + r)}{t_{w}}\mathbf{=}\frac{360 - 2(12,7 + 18)}{8}\mathbf{=}37,325$$

$$\frac{c}{t}\mathbf{<}72\varepsilon$$

Środnik zakwalifikowano do klasy I.

Smukłość pasa:

$$\frac{c}{t} = \frac{0,5(b - t_{w} - 2r)}{t_{f}} = \frac{0,5 \bullet (170 - 8 - 2 \bullet 18)}{12,7} = 4,96$$

$$\frac{c}{t}\mathbf{<}9\varepsilon$$

Pas zakwalifikowano do klasy I.

Przekrój ostatecznie zakwalifikowano do klasy I

2.2.4 Sprawdzenie nośności na zginanie

$$\frac{M_{\text{Ed}}}{M_{c,\text{Rd}}} \leq 1,0$$

$$M_{c,\text{Rd}} = M_{\text{pl},\text{Rd}} = \frac{W_{\text{pl}} \bullet f_{y}}{\gamma_{M0}}$$

W_pl = 904, 0 • 10³mm³

$M_{\text{pl},\text{Rd}} = \frac{904,0 \bullet 10^{3} \bullet 235}{1,0} = 212,44\text{\ kNm}$

$$\frac{M_{\text{Ed}}}{M_{c,\text{Rd}}} = \frac{148,54\ \ }{212,44\ \ } = 0,7 \leq 1,0$$

Warunek spełniony

5. Sprawdzenie nośności na ścinanie

$$\frac{V_{\text{Ed}}}{V_{c,\text{Rd}}} \leq 1,0$$

$$V_{c,\text{Rd}} = V_{\text{pl},\text{Rd}} = \frac{A_{v}(\frac{f_{y}}{\sqrt{3}})}{\gamma_{M0}}$$

Wyznaczenie powierzchni czynnej przy ścinaniu

A_v ≥ ηh_wt_w

h_w = h − 2(t_f+r) = 360 − 2(12,7+18) = 298, 6 mm

ηh_wt_w = 1, 2 • 298, 6  • 8 = 28, 66 • 10² mm² 

ηh_wt_w <  A_v

Do obliczeń przyjęto A_v= 26, 77 • 10² mm² 

$$V_{\text{pl},\text{Rd}} = \frac{26,77\ \bullet 10^{2}(\frac{235}{\sqrt{3}})}{1,0} = 363,21\text{\ kN}$$

$$\frac{V_{\text{Ed}}}{V_{c,\text{Rd}}} = \frac{72,9\ \ }{363,21} = 0,2 \leq 1,0$$

Warunek spełniony.

5. Stateczność środnika nieużebrowanego.

$$\frac{h_{w}}{t_{w}} < 72\frac{\varepsilon}{\eta}$$

$$\frac{360}{8} = 45 < 72\frac{\varepsilon}{\eta} = 72$$

Warunek został spełniony

5. Oparcie belki na murze

Wytrzymałość charakterystyczna muru na ściskanie

f_k = 0, 45 • 10^0, 7 • 5^0, 3 = 3, 66 MPa

Wytrzymałość obliczeniowa muru na ściskanie

$$f_{d} = \frac{f_{k}}{\gamma_{M}\gamma_{\text{Rd}}} = \frac{3,66}{2,5 \bullet 1,0} = 1,46\text{\ MPa}$$

$$\sigma_{m} = \frac{V_{\text{Ed}}}{a \bullet d} = \frac{72,9\text{\ \ }}{0,15 \bullet 0,17} = 2,86\text{\ MPa} > \ f_{d}$$

Należy zastosować podkładki.

5. Wymiarowanie podkładki:

$$\frac{V_{\text{Ed}}}{a \bullet d} \leq f_{d}$$

$$\frac{V_{\text{Ed}}}{a \bullet f_{d}} = \frac{72,9\ }{0,15 \bullet 1460} = 0,33m \leq d$$

Przyjęto szerokość podkładki d= 35 cm

Wyznaczenie grubości podkładki

$$\sigma_{m} = \frac{72,9}{150 \bullet 350} = 1,38 \leq 1,46$$

q_m = σ_m • a = 1380 • 0, 15 = 207, 0 kN/m 

$$M_{A} = q_{m}\frac{{c^{2}}_{A}}{2} = 207,0\ \frac{{0,09}^{2}}{2} = 1,68\text{\ kNm}$$

$$M_{Rd,A} = Wf_{y} = \frac{a{t^{2}}_{A}}{6}f_{y}$$

$$\frac{M_{A}}{M_{Rd,A}} \leq 1$$

$$t_{A} \geq \sqrt{\frac{6M_{A}}{af_{y}}} = \sqrt{\frac{6 \bullet 1,68\text{\ \ }}{0,15 \bullet 235000}} = 0,017\ m\ = \ 1,7\text{\ cm}$$

$$M_{B} = q_{m}\frac{{c^{2}}_{B}}{2} = 207,0\ \ \frac{{0,15125}^{2}}{2} = 2,37\text{\ kNm}$$

$$M_{Rd,B} = (W + W_{f})f_{y} = \frac{a({t^{2}}_{A} + t_{f}^{2})}{6}f_{y}$$

$$\frac{M_{B}}{M_{Rd,B}} \leq 1$$

$$t_{B} \geq \sqrt{\frac{6M_{A}}{af_{y}} - t_{f}^{2}} = \sqrt{\frac{6 \bullet 2,37\ }{0,15 \bullet 235000} - {0,0127}^{2}} = 0,016m = 1,6\text{\ cm}$$

t_podkladki = max{t_A;t₂} = 0, 017 m

Przyjęto grubość podkładki t_A= 2,0 cm

5. Sprawdzenie nośności przy obciążeniu skupionym

Parametr niestateczności

$$k_{f} = 2 + 6\left( \frac{s_{s} + c}{h_{w}} \right) \leq 6$$

$$k_{f} = 2 + 6\left( \frac{0,15 + 0}{0,36} \right) = 4,5 \leq 6$$

Efektywna szerokość strefy obciążenia

$$m_{1} = \frac{f_{\text{yf}}b_{f}}{f_{\text{yw}}t_{w}}$$

$$m_{1} = \frac{235 \bullet 0,17}{235 \bullet 0,008} = 21,25$$

$$m_{2} = 0,02\left( \frac{h_{w}}{t_{f}} \right)^{2} - dla\ \lambda_{F} > 0,5$$

m₂ = 0 − dla λ_F ≤ 0, 5

Zakładamy, że λ_F ≤ 0, 5

Efektywna szerokość

l_y = min(l_y1, l_y2)

$$l_{e} = \frac{k_{f}Et_{w}^{2}}{2f_{\text{yw}}h_{w}} \leq s_{s} + c$$

$$l_{e} = \frac{4,5 \bullet 210 \bullet 10^{6} \bullet {0,008}^{2}}{2 \bullet 235 \bullet 10^{3} \bullet 0,36} = 0,36 \geq s_{s} + c = 0,15\ m\ $$

l_e = 0, 15 m

$$l_{y1} = l_{e} + t_{f}\sqrt{\frac{m_{1}}{2} + \left( \frac{l_{e}}{t_{f}} \right)^{2} + m_{2}}$$

$$l_{y1} = 0,15 + 0,0127\sqrt{\frac{21,25}{2} + \left( \frac{0,15}{0,0127} \right)^{2} + 0} = 0,306\text{\ m}$$

$$l_{y2} = l_{e} + t_{f}\sqrt{m_{1} + m_{2}}$$

$$l_{y2} = 0,15 + 0,0127\sqrt{21,25 + 0} = 0,209m$$

l_y = min(0,306;0,209) = 0, 209 m

Siła krytyczna

$$F_{\text{cr}} = 0,9k_{F}E\frac{t_{w}^{3}}{h_{w}} = 0,9 \bullet 4,5 \bullet 210 \bullet 10^{6} \bullet \frac{{0,008}^{3}}{0,36} = 1209,6\text{\ kN}$$

Smukłość zastępcza pasa ściskanego

$$\lambda_{F} = \sqrt{\frac{l_{y}t_{w}f_{\text{yw}}}{F_{\text{cr}}}} = \sqrt{\frac{0,209\ \bullet 0,008 \bullet 235000}{1209,6}} = 0,57$$

Założenie, że λ_F ≤ 0, 5 było niesłuszne

$$m_{2} = 0,02\left( \frac{0,36}{0,0127} \right)^{2} = 16,07$$

Efektywna szerokość

l_y = min(l_y1, l_y2)

$$l_{e} = \frac{k_{f}Et_{w}^{2}}{2f_{\text{yw}}h_{w}} \leq s_{s} + c$$

$$l_{e} = \frac{5 \bullet 210 \bullet 10^{6} \bullet {0,008}^{2}}{2 \bullet 235 \bullet 10^{3} \bullet 0,36} = 0,4 \geq s_{s} + c = 0,15\ m\ $$

l_e = 0, 15 m

$$l_{y1} = l_{e} + t_{f}\sqrt{\frac{m_{1}}{2} + \left( \frac{l_{e}}{t_{f}} \right)^{2} + m_{2}}$$

$$l_{y1} = 0,15 + 0,0127\sqrt{\frac{21,25}{2} + \left( \frac{0,15}{0,0127} \right)^{2} + 16,07} = 0,314\text{\ m}$$

$$l_{y2} = l_{e} + t_{f}\sqrt{m_{1} + m_{2}}$$

$$l_{y2} = 0,15 + 0,0127\sqrt{21,25 + 16,07} = 0,228\text{\ m}$$

l_y = min(0,314;0,228) = 0, 228 m

Siła krytyczna

$$F_{\text{cr}} = 0,9k_{F}E\frac{t_{w}^{3}}{h_{w}} = 0,9 \bullet 4,5 \bullet 210 \bullet 10^{6} \bullet \frac{{0,008}^{3}}{0,36} = 1209,6\text{\ kN}$$

Smukłość zastępcza pasa ściskanego

$$\lambda_{F} = \sqrt{\frac{l_{y}t_{w}f_{\text{yw}}}{F_{\text{cr}}}} = \sqrt{\frac{0,228\ \bullet 0,008 \bullet 235000}{1209,6}} = 0,6$$

Współczynnik redukcyjny

$$\chi_{F} = \frac{0,5}{\lambda_{F}} = \frac{0,5}{0,6} = 0,83$$

Efektywny wymiar środnika pry obciążeniu skupionym

L_eff = l_y • χ_F = 0, 228 • 0, 83 = 0, 189 m

Obliczeniowa nośność środnika ze względu na niestateczność pod siłą skupioną

$$F_{\text{Rd}} = \frac{f_{\text{yw}}L_{\text{eff}}t_{w}}{\gamma_{M1}} = \frac{235000 \bullet 0,189 \bullet 0,008}{1,0} = 355,32\text{\ kN}$$

Sprawdzenie warunku nośności

$$\eta_{2} = \frac{F_{\text{Ed}}}{F_{\text{Rd}}} = \frac{72,9}{355,32} = 0,21 \leq 1$$

Warunek spełniony.