Akademia Górniczo-Hutnicza

im. Stanisława Staszica w Krakowie

WYDZIAŁ INŻYNIERII MECHANICZNEJ I ROBOTYKI

LABOLATORIUM Z PODSTAW AUTOMATYKI

SPRAWOZDANIE

Laboratorium nr 1

Temat: Rozwiązywanie równań różniczkowych

z niezerowymi warunkami początkowymi.

Wykonał:

Damian Kubik

Rok 2, Grupa 4b

Rok akademicki: 2010/11

Cel ćwiczenia:

• Zapoznanie się z metodami symbolicznego i numerycznego rozwiązywania równań różniczkowych w Matlabie.

• Wykorzystanie Simulinka do tworzenia modelu równania różniczkowego,

• Archiwizacja danych.

1. Rozwiązanie równania różniczkowego:

przy warunkach początkowych: y(0)=3, y’(0)=0

za pomocą funkcji dsolve().

m-plik

syms x, y; % definicja zmiennych symbolicznych ‘x’ i ‘y’

x = dsolve(‘D2y + 2*Dy + 5*y = 0’ , y(0)=3’ , ‘Dy(0)=0’); % rownanie, warunki początkowe

pretty(x); % wypisanie rozwiązania

t=0:0.01:9.99; % definicja wektora czasu

w=subs(x); % wartość liczbowa ‘x’ wyliczona poprzez

% podstawienie zdef. Wczesniej wektora ‘t’

plot(t,w,’r-‘); % narysowanie wykresu

xlabel(‘czas[s]’);

ylabel(‘amplituda sygnalu’);

title(‘wykres rozwiązania’);

grid;

1. Rozwiązanie równania różniczkowego:

przy warunkach początkowych: y(0)=3, y’(0)=0

za pomocą funkcji ode45.

plik: funkcja.m

function xdot = funkcja (t,y)

xdot = zeros (2,1);

xdot(1)= x(2);

xdot(2) = (-5*x(1)-2*x(2));

plik: rozwiazanie.m

function rozwiazanie

t0=0;

clc

disp (‘Funkcja rozwiązuje rownanie rozniczkowe zwyczajnie metodą’);

disp(‘Rungego – Kutty i podaje jego interpretacje graficzna:’);

disp(‘Postac równania: x’’ + 2x’ + 5x = 0’);

x01=input (‘Podaj wartość x01 = ’);

x02=input (‘Podaj wartość x02 = ’);

tk=input (‘Podaj czas symulacji tk = ’);

x0=[x01 x02];

[t,x]=ode45(‘funkcja’ , t0,tk, x0 , 0.001,0);

plot(t,x(:,1),’g-’);

xlabel(‘czas [s]’);

ylabel(‘amplituda sygnalu’);

title(‘wykres rozwiazania’);

grid;

1. Rozwiązanie równania różniczkowego:

przy warunkach początkowych: y(0)=3, y’(0)=0

przy pomocy pakietu Simulink.

1. Wnioski:

W programach MatLab oraz Simulink możemy rozwiązywać równania  różniczkowe o wiele sprawniej niż ręcznie metodami analitycznymi. 

Korzystając ze zmiennych symbolicznych i funkcji dsolve() możliwe jest rozwiązanie równania różniczkowego dowolnego rzędu. W Wyniku otrzymujemy równanie matematyczne oraz wykres funkcji. Funkcja ode45 rozwiązuje zagadnienie początkowe dla równań zwyczajnych rzezu 4 i 5 za pomocą np. metod Rungego-Kutty. Wynikiem jest wykres. Dzięki programowi Simulink możemy w łatwy sposób budować schematy blokowe a następnie na podstawie wykresu obserwować przebieg sygnału 

Rozwiązanie za pomocą Simulinka jest obarczone największym błędem .