TEORIA STEROWNIA

Zajęcia nr 2

TWIERDZENIE TITCHMARSHA

Jeżeli funkcje f i g klasy C nie są tożsamościowo równe zeru, to ich splot również nie jest tożsamościowo równy zero.

TWIERDZENIE PHRAGMENA

Jeżeli g jest funkcją ciągłą w w przedziale [0,T] to:

$$\operatorname{}{\sum_{k = 0}^{\infty}\frac{\left( - 1 \right)^{k - 1}}{k!}}\int_{0}^{T}{e^{kx(t - \tau)}\text{dτ}} = \int_{0}^{T}{g(\tau)d\tau}$$

dla każdego t, spełniającego nierówności 0 ≤ t < T .

TWIERDZENIE O MOMENTACH

Jeżeli f nie jest funkcją ciągłą w przedziale [0,T] i istnieje taka liczba N, że

|∫₀^Te^ntf(t)dt| ≤ N dla n = 1, 2, …, 

to f(t) = 0 w całym przedziale [0,T].

OPERATORY

Działanie odwrotne do splotu:

$$\frac{a}{b};a = bc$$

Jednoznaczność tą zapewnia Tw. Titchmarsha.

Ćwiczenie: Sprawdzić równości:

1. $\frac{\left\{ t^{2} \right\}}{\left\{ t \right\}} = \left\{ 2 \right\}$

2. $\frac{\left\{ t^{3} - 6t \right\}}{\left\{ t - 1 \right\}} = \left\{ 6t + 6 \right\}$

3. $\frac{\left\{ e^{t} - \text{sint} - \text{cost} \right\}}{\left\{ \text{sint} \right\}} = \left\{ 2e^{t} \right\}$

Uwaga!!!

Może się zdarzyć, że dla danych funkcji a i b ≠ {0} klasy C nie istnieje funkcja c, która spełnia równanie a = cb . Przykładem takich funkcji może być nap a = b = {1}.

Dlatego też niewykonalność działania odwrotnego do splotu prowadzi do nowego pojęcia matam tycznego jakim są operatory.

Działania na operatorach:

Wprowadzenie operatorów postaci a/b nabiera wartości dopiero wtenczas gdy określimy na nich pewnie działania, które pozwolą posługiwać się nimi w rachunkach.

W zwykłej arytmetyce przyjmuje się dla ułamków definicje:

1. Piszemy $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ wtedy i tylko wtedy gdy: ad = bc (b ≠ 0,  d ≠ 0)

2. $\frac{a}{b}\frac{c}{d} = \frac{\text{ac}}{\text{bd}},bd \neq 0$

3. $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{\text{bd}},\ bd \neq 0$

Tak samo jest dla operatorów (litery a, b, c i d oznaczają funkcje kl.C).

Ćwiczenie: Udowodnić tożsamości:

1. $\frac{\left\{ t \right\}}{\left\{ e^{t} \right\}} \bullet \frac{\left\{ e^{t} \right\}}{\left\{ 1 \right\}} = \left\{ e^{t} - 1 \right\}$

2. $\frac{\left\{ 1 \right\}}{\left\{ \text{cost} \right\}} + \frac{\left\{ {3t}^{2} \right\}}{\left\{ 2 \right\}} = \frac{\left\{ 2t \right\}}{\left\{ sin2t \right\}}$

Operatory liczbowe:

Operatory typu: $\frac{\left\{ \propto \right\}}{\left\{ 1 \right\}}$ gdzie {∝} jest dowolną funkcją stałą oznaczać będziemy symbolem: [∝] i nazywać będziemy operatorem liczbowym.

Łatwo jest sprawdzić, że dla $\left\lbrack \propto \right\rbrack = \frac{\left\{ \propto \right\}}{\left\{ 1 \right\}}$ i dla $\left\lbrack \beta \right\rbrack = \frac{\left\{ \beta \right\}}{\left\{ 1 \right\}}$ zachodzą wzory:

[∝] + [β] = [∝+β]

[∝] • [β] = [∝•β]

Dla uproszczenia oznaczać również będziemy, że {1} = l

Iloczyn liczby i funkcji:

Dla dowolnej liczby a i dowolnej funkcji stałej zachodzi wzór:

a{β} = {aβ}

a{f(t)} = {af(t)}

Ćwiczenie: Sprawdzić równości:

1. (1+l)(1 − l)=1 − {t}

2. (1+2l)³ = 1 + 2{3+6t+2t²}

3. (1+{l})(1+{e^−t}) = 1

4. (1+{t})(1+{sint}) = 1

5. (1+{4t})(1+2{cos2t−sin2t}) = 1 + {2}

Liczby 0 i 1:

Jeśli we wzorze a{f(t)} = {af(t)} a = 1otrzymamy równość: 1{f(t)} = {f(t)}

Dla liczby 0 mamy wzory ogólne:

0{f(t)} = 0 

0 + {f(t)} = {f(t)}

Operator różniczkowy:

Operatory można przez siebie dzielić. Np. $g = \frac{a}{b}$, $h = \frac{c}{d}$ to:

$$\frac{g}{h} = \frac{a}{b}:\frac{c}{d} = \frac{\text{ad}}{\text{bc}}$$

W szczególności $\frac{1}{h}$ nazywamy odwrotnością operatora h. Zauważmy, że jeśli h jest funkcją to $\frac{1}{h}$ nie może być funkcją. Dzieje się tak dlatego że jeśli h i $\frac{1}{h}\ $byłyby funkcjami, to iloczyn $h \bullet \frac{1}{h}$ byłby również funkcją, podczas gdy jest operatorem liczbowym 1.

Podstawową rolę w rachunku operatorów gra odwrotność operatora całkowego l = {1}, którą oznaczać będziemy przez:

$$s = \frac{1}{l}$$

Wobec tej definicji mamy:

ls = sl = 1

TWIERDZENIE:

Jeżeli funkcja a = {a(t)} ma pochodną a′={a′(t)} ciągłą dla 0 ≤ t < ∞ to zachodzi wzór:

sa = a^′ + a(0)

Gdzie a(0) jest wartością funkcji a w punkcie t = 0.

Jeżeli funkcja jest równa zeru w punkcie t = 0, to wzór redukuje się do postaci sa = a^′. W tym przypadku mnożenie funkcji s przez operator s oznacza po prostu jej zróżniczkowanie. Z tego powodu operator ten nazywa się operatorem różniczkowym.

Przykłady:

s{sint} = {cost} − sin0 = {cost}

s{e^t} = {e^t} + e⁰ = {e^t} + 1

s{tⁿ} = {nt^n − 1} + 0ⁿ = {nt^n − 1} + 1 dla n ≥ 1

s{t+1} = {1} + (0+1) = {1} + 1

Potęgi operatora s:

sa = a^′ + a(0)

przez s otrzymamy:

s²a = sa^′ + s • a(0)

Skąd stosując jeszcze raz wzór pochodnej a otrzymamy:

s²a = a^″ + a^′(0) + s • a(0)

Ogólne twierdzenie:

sⁿa = a⁽ⁿ⁾ + a^{(n − 1)}(0) + sa^{(n − 2)}(0) + … + s^n − 1a(0)

Ze względu na zastosowanie przy rozwiązaniu równań różniczkowych najwygodniej jest zapisać ostatni wzór w postaci:

a⁽ⁿ⁾ = sⁿa − s^n − 1a(0) − … − sa^{(n − 2)}(0) − a^{(n − 1)}(0)

Ćwiczenie: Sprawdzić równości:

1. s²{sint} = 1 − {sint}

2. s²{cost} = s − {cost}