TEORIA STEROWNIA

Zajęcia nr 3

OPERATORY

Operator różniczkowy:

Operatory można przez siebie dzielić. Np. $g = \frac{a}{b}$, $h = \frac{c}{d}$ to:

$$\frac{g}{h} = \frac{a}{b}:\frac{c}{d} = \frac{\text{ad}}{\text{bc}}$$

W szczególności $\frac{1}{h}$ nazywamy odwrotnością operatora h. Zauważmy, że jeśli h jest funkcją to $\frac{1}{h}$ nie może być funkcją. Dzieje się tak dlatego że jeśli h i $\frac{1}{h}\ $byłyby funkcjami, to iloczyn $h \bullet \frac{1}{h}$ byłby również funkcją, podczas gdy jest operatorem liczbowym 1.

Podstawową rolę w rachunku operatorów gra odwrotność operatora całkowego l = {1}, którą oznaczać będziemy przez:

$$s = \frac{1}{l}$$

Wobec tej definicji mamy:

ls = sl = 1

TWIERDZENIE:

Jeżeli funkcja a = {a(t)} ma pochodną a′={a′(t)} ciągłą dla 0 ≤ t < ∞ to zachodzi wzór:

sa = a^′ + a(0)

Gdzie a(0) jest wartością funkcji a w punkcie t = 0.

Jeżeli funkcja jest równa zeru w punkcie t = 0, to wzór redukuje się do postaci sa = a^′. W tym przypadku mnożenie funkcji s przez operator s oznacza po prostu jej zróżniczkowanie. Z tego powodu operator ten nazywa się operatorem różniczkowym.

Przykłady:

s{sint} = {cost} − sin0 = {cost}

s{e^t} = {e^t} + e⁰ = {e^t} + 1

s{tⁿ} = {nt^n − 1} + 0ⁿ = {nt^n − 1} + 1 dla n ≥ 1

s{t+1} = {1} + (0+1) = {1} + 1  

Potęgi operatora s:

sa = a^′ + a(0)

przez s otrzymamy:

s²a = sa^′ + s • a(0)

Skąd stosując jeszcze raz wzór pochodnej a otrzymamy:

s²a = a^″ + a^′(0) + s • a(0)

Ogólne twierdzenie:

sⁿa = a⁽ⁿ⁾ + a^{(n − 1)}(0) + sa^{(n − 2)}(0) + … + s^n − 1a(0)

Ze względu na zastosowanie przy rozwiązaniu równań różniczkowych najwygodniej jest zapisać ostatni wzór w postaci:

a⁽ⁿ⁾ = sⁿa − s^n − 1a(0) − … − sa^{(n − 2)}(0) − a^{(n − 1)}(0)

Ćwiczenie: Sprawdzić równości:

1. s²{sint} = 1 − {sint}

2. s²{cost} = s − {cost}

Wielomiany operatora s:

Ważną rolę w zastosowaniu grają operatory w kształcie wielomianów

α_nsⁿ + α_n − 1s^n − 1 + … + α₁s + α₀

Gdzie: α_n, α_n − 1, …, α₁, α₀ są dowolnymi liczbami.

Działania na tych wielomianach wykonuje się analogicznie jak na zwykłych, np.:

(s−1)(s^n − 1+s^n − 2+…+1) = sⁿ − 1

Mówimy, że dwa wielomiany są sobie równe jeżeli mają współczynniki odpowiednio równo, to znaczy z równości:

α_nsⁿ + α_n − 1s^n − 1 + … + α₁s + α₀ = β_nsⁿ + β_n − 1s^n − 1 + … + β₁s + β₀

wynikają zawsze równości: α_n = β_n,  α_n − 1 = β_n − 1, …, α₀ = β₀ 

Ćwiczenie: Udowodnić wzór:

1 + s + s² + … + s^n − 1 = (sⁿ−1){e^t}

Ćwiczenie: Sprawdzić, że:

$$\gamma^{4}s^{4} + \delta^{4} = \gamma^{4}\left\lbrack \left( s - \alpha \right)^{2} + \alpha^{2} \right\rbrack\left\lbrack \left( s + \alpha \right)^{2} + \alpha^{2} \right\rbrack\ dla\ \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}} \bullet \frac{\delta}{\gamma}$$

Związki operatora s z funkcją wykładniczą:

Stosując wzór sa = a^′ + a(0) do funkcji {e^αt}, znajdujemy równość

s{e^αt} = α{e^αt}  + 1

z której łatwo wyliczamy:

$$\left\{ e^{\text{αt}} \right\} = \frac{1}{s - \alpha}$$

Na podstawie definicji splotu mamy ogólny wzór:

$$\frac{1}{\left( s - \alpha \right)^{n}} = \left\{ \frac{t^{n - 1}}{\left( n - 1 \right)!}e^{\text{αt}} \right\},\ n = 1,2,\ldots$$

Ćwiczenie: Udowodnić powyższe wzory.

Związki operatora s z funkcjami trygonometrycznymi:

Na podstawie znanych wzorów Eulera

$$\sin x = \frac{e^{\text{ix}} - e^{- ix}}{2i},\ \cos x = \frac{e^{\text{ix}} + e^{- ix}}{2}$$

mamy:

$$\left\{ e^{\text{αt}}\sin\text{βt} \right\} = \frac{1}{2i}\left\{ e^{\left( \alpha + i\beta \right)t} - e^{\left( \alpha - i\beta \right)t} \right\},\ \ \left\{ e^{\text{αt}}\cos\text{βt} \right\} = \frac{1}{2}\left\{ e^{\left( \alpha + i\beta \right)t} + e^{\left( \alpha - i\beta \right)t} \right\}$$

Korzystając ze wzoru $\left\{ e^{\text{αt}} \right\} = \frac{1}{s - \alpha}$ można napisać:

$$\left\{ \frac{1}{\beta}e^{\text{αt}}\sin\text{βt} \right\} = \frac{1}{2i\beta}\left( \frac{1}{s - \alpha - i\beta} - \frac{1}{s - \alpha + i\beta} \right) = \frac{1}{\left( s - \alpha \right)^{2} + \beta^{2}}$$

$$\left\{ e^{\text{αt}}\cos\text{βt} \right\} = \frac{1}{2}\left( \frac{1}{s - \alpha - i\beta} + \frac{1}{s - \alpha + i\beta} \right) = \frac{s - \alpha}{\left( s - \alpha \right)^{2} + \beta^{2}}$$

W szczególnym przypadku, gdy α = 0 powyższe wzory sprowadzają się do wzorów postaci:

$$\frac{1}{s^{2} + \beta^{2}} = \left\{ \frac{1}{\beta}\sin\text{βt} \right\}$$

$$\frac{s}{s^{2} + \beta^{2}} = \left\{ \cos\text{βt} \right\}$$

Ćwiczenie: Udowodnić wzory:

1. $\frac{1}{\left( s - \alpha \right)^{2} - \beta^{2}} = \left\{ \frac{1}{\beta}e^{\text{αt}}\text{shβt} \right\}\left( \beta > 0 \right)$

2. $\frac{s - \alpha}{\left( s - \alpha \right)^{2} - \beta^{2}} = \left\{ e^{\text{αt}}\text{chβt} \right\}\left( \beta > 0 \right)$

Wyrażenia wymierne operatora s:

Z algebry wiadomo, że każde wyrażenie:

$$\frac{\gamma_{m}s^{m} + \gamma_{m - 1}s^{m - 1} + \ldots + \gamma_{1}s + \gamma_{0}}{\delta_{n}s^{n} + \delta_{n - 1}s^{n - 1} + \ldots + \delta_{1}s + \delta_{0}}\ \left( m < n \right)$$

gdzie: γ_m, γ_m − 1, …, γ₁, γ₀i δ_n, δ_n − 1, …, δ₁, δ₀ daje się rozbić na ułamki proste następujących kształtów:

$$\frac{1}{\left( s - \alpha \right)^{p}},\frac{1}{\left\lbrack \left( s - \alpha \right)^{2} + \beta^{2} \right\rbrack^{p}},\frac{s}{\left\lbrack \left( s - \alpha \right)^{2} + \beta^{2} \right\rbrack^{p}}$$

Gdzie: α, β są liczbami rzeczywistymi, a p jest liczbą naturalną.

Ostatecznie każde wyrażenie wymierne daje się przez rozkład na ułamki proste sprowadzić do funkcji trygonometrycznych. Przy rozkładzie na ułamki proste najlepiej stosować, podobnie jak się robi w rachunku całkowym, metod współczynników nieoznaczanych.

Ćwiczenie: Obliczyć:

1. $\frac{s + 1}{s^{2} + 2s}$

2. $\frac{5s + 3}{\left( s - 1 \right)\left( s^{2} + 2s + 5 \right)}$

3. $\frac{1}{s\left( 2s + 1 \right)^{3}}$

4. $\frac{2s^{6} + {6s}^{4} + {3s}^{2} + 5}{s^{8} + 2s^{6} - 2s^{2} - 1}$

5. $\frac{s^{3}}{s - 1}$

Ćwiczenie: Sprowadzić do funkcji wykładniczych i trygonometrycznych następujące wyrażenia:

Ćwiczenie: Wykazać, że: