Wstęp teoretyczny.

1. Wahadło proste

Wahadło proste jest układem mechanicznym charakteryzującym się prostotą tak eksperymentu jak i opisu teoretycznego. Dlatego nadaje się dobrze na ćwiczenie wprowadzające (zerowe), mające na celu poznanie podstawowych metod opracowania danych pomiarowych. Interpretacja wyników opiera się na równaniu określającym okres drgań T jako funkcję długości wahadła l oraz
przyspieszenia ziemskiego g,

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$$

Wzór ten jest słuszny, jeżeli wychylenie ciężarka z położenia równowagi jest małe.

1. Niepewność pomiaru

Niepewność pomiaru – wyznaczanie wyniku pomiaru zwanego rachunkiem niepewności i oznaczające parametr związany z wartościami (serią) pomiaru danej wielkości fizycznej w stałych warunkach, które można w uzasadniony sposób przypisać wartości mierzonej, i charakteryzujący ich rozrzut w przedziale, wewnątrz którego można
z zadowalającym prawdopodobieństwem usytuować wartość wielkości mierzonej. Niepewność pomiaru wynika z tego, że zawsze jest on niedokładny, co nie wynika
z niedoskonałości aparatury i zmysłów obserwatora, ale jest nieodłączną cechą takiej operacji.

x0 – x < xi < x0 + x,

1.3 Miary ilościowe pomiaru

• niepewność standardowa – równa odchyleniu standardowemu lub jego estymacje

• niepewność typu A – wyznaczana z zastosowaniem normalnego rozkładu wyników metodą analizy statystycznej serii pojedynczych obserwacji

• niepewność typu B – wyznaczana innymi metodami niż w dla typu A, najczęściej
  z zastosowaniem rozkładu prostokątnego opisującym nierozpoznane oddziaływania systematyczne

złożona niepewność standardowa – ustalana w przypadku występowania wielu niepewności i dla pomiarów bezpośrednich ustalana jako pierwiastek sumy kwadratów niepewności składowych, a dla pomiarów pośrednich kwadraty niepewności składowych

• są mnożone przez wagami zgodnie z prawem propagacji niepewności, spotyka się też określenie, że jest to połączona niepewność typu A i typu B

• niepewność rozszerzona – określa granice przedziału niepewności z określonym poziomem ufności i stanowi iloczyn niepewności standardowej i współczynnika rozszerzenia

• poziom ufności - prawdopodobieństwo tego, że w przedziale niepewności wyniku pomiaru (czyli w przedziale ufności) znajduje się wartość faktyczna

1.4 Źródła niepewności

Niektóre źródła niepewności:

• niepełna definicja wielkości mierzonej

• niedoskonała realizacja definicji wielkości mierzonej

• niepełna znajomość wpływu otoczenia lub niedoskonały pomiar warunków otoczenia

• błędy w odczycie wskazań przyrządów

• klasa dokładności przyrządów pomiarowych

• niedokładne wartości danych otrzymywanych ze źródeł zewnętrznych: wartości przypisane wzorcom i materiałom odniesienia, stałe przyjmowane do obliczeń

• niedoskonałość metody pomiarowej

1.5 Metoda obliczania niepewności typu A i B

Sposób obliczania niepewności zależy od charakteru pomiaru. Wyróżnia się dwie zasadnicze metody.

Metoda (typ niepewności) A

Gdy wyniki poszczególnych pomiarów tej samej wielkości różnią się, wówczas niepewność obliczana jest na drodze analizy statystycznej wyników serii pojedynczych pomiarów. Zakłada się przy tym pewien rozkład statystyczny poszczególnych prób. Jeżeli błędy pomiarowe są losowe, tym rozkładem jest rozkład normalny. Wówczas, dla dużej ilości prób (powyżej 30), estymatorem niepewności pomiarowej jest odchylenie standardowe średniej (średni błąd średniej). Dla mniejszej ilości prób niepewność jest większa i równa iloczynowi odchylenia standardowego średniej i współczynnika wynikającego z rozkładu Studenta, który zależy od przyjętego poziomu ufności i liczby pomiarów.

$$u\left( x \right) \equiv s_{x} = \sqrt{\frac{\sum_{}^{}{\left( xi - x_{sr} \right)\hat{}2}}{n(n - 1)}}$$

Metoda (typ niepewności) B

Gdy wyniki pomiarów są takie same lub podlegają systematycznym zmianom, wówczas metody statystyczne nie mogą być zastosowane. Sytuacja taka występuje np. gdy:

• klasa przyrządu jest niska w danych warunkach pomiaru (na przykład przy pomiarze długości ołówka linijką ze skalą centymetrową). Wówczas o niepewności pomiarowej decyduje klasa przyrządu (w przykładzie z linijką będzie to 1 cm).

• mierzona wielkość zmienia się znacząco w czasie pomiaru z powodu warunków zewnętrznych, np. zmiany temperatury.

OPRACOWANIE WYNIKÓW POMIARU.

1.

Wyniki pomiaru okresu nie zawierają błędów grubych.

2.

T= $\frac{\sum_{i}^{}\text{Ti}}{n} =$1.09817

$u_{A}\left( T \right) = \sqrt{\frac{\sum_{i}^{}{(T_{i} - T)}^{2}}{n*(n - 1)}} =$0,00234

3.

$$u(L) = \frac{L}{\sqrt{3}} = \ \frac{0,005m}{\sqrt{3}} \approx \ 0,0029m$$

4.

$g = \frac{4\pi^{2} \bullet \ L}{T^{2}}$=10,14809

5.

$u\left( g \right) = \ \sqrt{\left( \frac{\partial g}{\partial L} \right)^{2}u^{2}\left( L \right) + \ \left( \frac{\partial g}{\partial T} \right)^{2}u^{2}\left( T \right)} = \ \sqrt{\left( \frac{4\pi^{2}}{T^{2}} \right)^{2}u^{2}\left( L \right) + \left( - \frac{4\pi^{2}L}{T^{4}} \bullet 2T \right)^{2}u^{2}\left( T \right)} = = \ \sqrt{\left( \frac{4\pi^{2}}{T^{2}} \right)^{2}u^{2}\left( L \right) + \left( \frac{4\pi^{2}L}{T^{3}} \bullet 2 \right)^{2}u^{2}\left( T \right)} = \ \sqrt{\left( \frac{g}{L} \right)^{2}u^{2}\left( L \right) + \left( - \frac{2g}{T} \right)^{2}u^{2}\left( T \right)} = \ g\sqrt{\frac{u^{2}\left( L \right)}{L^{2}} + \ \frac{4u^{2}\left( T \right)}{T^{2}}}$=0,585

8.

Wnioski.

W doświadczeniu mieliśmy zbadać zależność okresu drgań od długości wahadła, obliczyliśmy również przyspieszenie ziemskie do tych danych. Doświadczenie potwierdziło, że okres drgań zależy od długości wahadła. Wynika z niego, że im większa długość wahadła tym dłuższy okres drgań. Największy wpływ na dokładność wyników ma na pewno niedokładność spowodowana że za każdym razem był inny kąt wychylenia wahadła, a jak wiemy zastosowany przez nas wzór stanowi tylko przybliżenie i jest słuszny dla małych kątów. Przy większych kątach należałoby uwzględnić poprawki związane z tymi kątami. Błędy pomiarowe wynikają także z trudności w dokładnym uchwyceniu momentu, kiedy wahadło kończy jedno pełne drganie.