Laboratorium Podstaw Fizyki

Wykonawca: Data:

Marcin Sachs 27.11.2010

173847 Sobota 7:30

Nr ćwiczenia: 76A

Temat ćwiczenia: Wyznaczanie współczynnika załamania szkła za pomocą spektrometru

Zatwierdzam wyniki pomiarów.

Data i podpis prowadzącego zajęcia ............................................................

Adnotacje dotyczące wymaganych poprawek oraz daty otrzymania

poprawionego sprawozdania

1. Wstęp

Cel ćwiczenia:

Celem ćwiczenia było zapoznanie się z budową i zasadą działania spektrometru optycznego oraz wyznaczenie przy jego użyciu kąta łamiącego i kąta minimalnego odchylenia badanego pryzmatu. Wykonane pomiary posłużą do obliczenia współczynników załamania dla poszczególnych długości fali. Doświadczenie umożliwia bliższe poznanie i zrozumienie zachodzących zjawisk optycznych.

Przebieg ćwiczenia:

Podstawowym zadaniem ćwiczenia jest wyznaczenie współczynników załamania poszczególnych długości fali, którym to odpowiadać będą barwne widma wiązki światła obserwowane na szczelinie za pomocą spektrometru.

Opis układu pomiarowego:

Podstawowym elementem układu pomiarowego wykorzystanego w ćwiczeniu jest spektrometr optyczny służący do otrzymywania, w celu analizy, widm promieniowania świetlnego. W układzie stosuje się także różne lampy spektralne, dzięki którym na oświetlonej szczelinie przy użyciu spektrometru możliwe będzie zaobserwowanie widma wiązki promienia światła przechodzącego przez ośrodek rozszczepiający. W przypadku naszego układu rozszczepienie wiązki będzie możliwe dzięki zastosowaniu pryzmatu.

Mianem pryzmatu określamy przeźroczystą bryłę o co najmniej dwóch ścianach płaskich nachylonych do siebie pod kątem γ – tzw. kątem łamiącym pryzmatu. Charakteryzuje się właściwościami pozwalającymi na całkowite wewnętrzne odbicie promieni padających na jego powierzchnię lub też pozwala na zmianę kierunku biegu fal świetlnych, przez co używany jest do analizy widmowej światła.

Do wykonania ćwiczenia niezbędne będzie zastosowanie w układzie dwóch rodzajów lamp spektralnych – lampy rtęciowej oraz lampy kadmowej. Dla każdej z nich wykonamy osobne pomiary.

Współczynnik załamania dla dowolnego układu pomiarowego możemy zapisać jako:

gdzie: n_1, n₂ – oznaczają bezwzględne współczynniki załamania odpowiednio ośrodka pierwszego i drugiego,

v₁, v₂ – prędkość światła w ośrodku pierwszym i drugim,

c – prędkość rozchodzenia się światła w próżni ( c= 3 · 10⁸ m/s)

α, β – oznaczają kąt padania i załamania promienia świetlnego w ośrodkach,

Związek pomiędzy kątem padania a kątem załamania wynika z prawa Snelliusa. Brzmi ono następująco: jeżeli promień padający i promień załamany oraz prostopadła padania leżą w jednej płaszczyźnie, to kąty spełniają zależność:

gdzie: n_1, n₂ – oznaczają bezwzględne współczynniki załamania odpowiednio ośrodka pierwszego i drugiego,

n_1,2 – oznacza względny współczynnik załamania między ośrodkami

α, β – oznaczają kąt padania i załamania promienia świetlnego w ośrodkach,

W pryzmacie dwie płaszczyzny tworzą ze sobą kąt γ - tzw. Kąt łamiący pryzmatu. Kąt ten przy przeprowadzonych obserwacjach wg. Prawa Snelliusa możemy wyrazić jako:

Wynika to z faktu, że światło przechodząc przez pryzmat odchyla się o kąt δ.

3. Opracowanie wyników

Ćwiczenie rozpoczynamy od wyznaczenia kąta łamiącego układu metodą autokolimacji. Ustawiamy pryzmat na stoliku spektrometru według poniższego rys.1.

Rys.1: Prawidłowe ustawienie pryzmatu na stoliku spektrometru w celu wyznaczenia kąta łamiącego γ metodą autokolimacji.

Odczytujemy pomiar α₁ ustawiając lunetę prostopadle do jednej ze ścian pryzmatu, a następnie ustawiamy lunetę naprzeciwko drugiej ściany pryzmatu i wykonujemy pomiary wyznaczając kąt α_p. Wyniki pomiarów przedstawiono w tabeli 1.

Tabela 1: Wyniki pomiarów kątów metodą autokolimacji.

Kąt αl	180 ̊
Kąt αp	294 ̊

Obliczenia wykonujemy dla wyżej zapisanych wartości kątów gdyż został wykonany tylko jeden pomiar kąta α_l oraz kąta α_p.

Wyznaczamy kąt łamiący γ według wzoru:

Kąt łamiący pryzmatu wynosi 66 ̊ .

Następnym etapem było wykonanie pomiarów metodą promieni odbitych od ścian bocznych pryzmatu. W tym celu przygotowujemy układ pomiarowy, ustawiamy pryzmat na stoliku tak aby promień padający odbijając się dawał widmo światła padającego. W nieznacznej odległości od spektrometru ustawiamy lampę spektralną .

Pierwsze wykonujemy pomiary dla lampy rtęciowej wg rys. 2.

Rys.2: Przedstawia prawidłowe położenie pryzmatu podczas pomiarów metodą odbitych promieni od jego ścian bocznych.

Położenie początkowe spektrometru wyznaczone zostało na α₁ = 180 ̊ . Tabela 2 przedstawia pomiary kątów α_p dla poszczególnych widm widzianych za pomocą spektrometru. Pomiary zostały wykonane tylko dla promieni odbijających się od prawej ściany pryzmatu.

Tabela 2: Zestawienie pomierzonych kątów według widocznych za pomocą spektrometru barw widm.

Barwa widma	Kąt αp
Żółta	281 ̊
Zielona	282 ̊
Niebieska	284 ̊
Fioletowa	284 ̊

Barwy opisane w tabeli 2 są przyjętymi według widocznych przy pomocy spektrometru pasm widm wiązki światła. Rzeczywiste długości fali mogą odpowiadać innym odcieniom-barwom widm, dlatego też w dalszej części zostaną one skorygowane.

Dla lampy rtęciowej przyjmuje się że widoczne barwy opisane w poniższej tabeli 2.1. odpowiadają przypisanym im długościom fal.

Tabela 2.1: Dane dot. długości fal i przypisanych do nich barw widocznych przy zastosowaniu lampy rtęciowej.

Hg	Zestawienie barw widma wiązki światła widocznego przy zastosowaniu lampy rtęciowej i przypisane do danej barwy długości fal.
	Żółta
	b579,1 b577,0

Powtórnie wykonujemy pomiary wykorzystując w układzie zamiast lampy rtęciowej lampę kadmową. Tabela 3. przedstawia pomierzone kąty załamania widocznych widm wiązki światła.

Tabela 3: Zestawienie pomierzonych kątów według widocznych przy zastosowaniu w układzie lampy kadmowej.

Barwa widma	Kąt αp
Czerwona	280 ̊
Zielona	281 ̊
Niebieska	282 ̊
Niebieska	282 ̊
Indygo	283 ̊

Dla lampy rtęciowej przyjmuje się że widoczne barwy opisane w poniższej tabeli 2.1. odpowiadają przypisanym im długościom fal.

Tabela 2.1: Dane dot. długości fal i przypisanych do nich barw widocznych przy zastosowaniu lampy rtęciowej.

Cd	Zestawienie barw widma wiązki światła widocznego przy zastosowaniu lampy kadmowej i przypisane do danej barwy długości fal.
	Ciemnoczerwona
	783,5 738,4

Przed przystąpieniem do obliczeń współczynnika załamania wyznaczamy kąt odchylenia minimalnego pryzmatu według wzoru:

Obliczenia dla układu z lampą rtęciową:

$$\delta_{\min} = \frac{\left( \alpha_{p} - \alpha_{l} \right)}{2} = \frac{\left( 28120^{'} - 18000^{'} \right)}{2} = 5040^{'}$$

$$\delta_{\min} = \frac{\left( \alpha_{p} - \alpha_{l} \right)}{2} = \frac{\left( 28202^{'} - 18000^{'} \right)}{2} = 5101^{'}$$

$$\delta_{\min} = \frac{\left( \alpha_{p} - \alpha_{l} \right)}{2} = \frac{\left( 28416^{'} - 18000^{'} \right)}{2} = 5208^{'}$$

$$\delta_{\min} = \frac{(\alpha_{p} - \alpha_{l})}{2} = \frac{(28420^{'} - 18000')}{2} = 5210'$$

Obliczenia dla układu z lampą kadmową:

$$\delta_{\min} = \frac{\left( \alpha_{p} - \alpha_{l} \right)}{2} = \frac{\left( 28006^{'} - 18000^{'} \right)}{2} = 5003^{'}$$

$$\delta_{\min} = \frac{\left( \alpha_{p} - \alpha_{l} \right)}{2} = \frac{\left( 28104^{'} - 18000^{'} \right)}{2} = 5032^{'}$$

$$\delta_{\min} = \frac{\left( \alpha_{p} - \alpha_{l} \right)}{2} = \frac{\left( 28232^{'} - 18000^{'} \right)}{2} = 5116^{'}$$

$$\delta_{\min} = \frac{\left( \alpha_{p} - \alpha_{l} \right)}{2} = \frac{\left( 28218^{'} - 18000^{'} \right)}{2} = 5009^{'}$$

$$\delta_{\min} = \frac{\left( \alpha_{p} - \alpha_{l} \right)}{2} = \frac{\left( 28314^{'} - 18000^{'} \right)}{2} = 5037^{'}$$

Obliczamy współczynnik załamania poszczególnych widm wiązki światła według wzoru:

Obliczenia dla układu z lampą rtęciową:

$$n = \frac{\sin\left( \frac{\gamma + \delta_{\min}}{2} \right)}{\sin\left( \frac{\gamma}{2} \right)} = \frac{\sin\left( \frac{66 + 5040^{'}}{2} \right)}{\sin\left( \frac{66}{2} \right)} = 1,56$$

$$n = \frac{sin(\frac{\gamma + \delta_{\min}}{2})}{sin(\frac{\gamma}{2})} = \frac{sin(\frac{66 + 5101'}{2})}{sin(\frac{66}{2})} = 1,57$$

$$n = \frac{\sin\left( \frac{\gamma + \delta_{\min}}{2} \right)}{\sin\left( \frac{\gamma}{2} \right)} = \frac{\sin\left( \frac{66 + 5208^{'}}{2} \right)}{\sin\left( \frac{66}{2} \right)} = 1,58$$

$$n = \frac{sin(\frac{\gamma + \delta_{\min}}{2})}{sin(\frac{\gamma}{2})} = \frac{sin(\frac{66 + 5210'}{2})}{sin(\frac{66}{2})} = 1,58$$

Obliczenia dla układu z lampą kadmową:

$$n = \frac{\sin\left( \frac{\gamma + \delta_{\min}}{2} \right)}{\sin\left( \frac{\gamma}{2} \right)} = \frac{\sin\left( \frac{66 + 5003^{'}}{2} \right)}{\sin\left( \frac{66}{2} \right)} = 1,56$$

$$n = \frac{sin(\frac{\gamma + \delta_{\min}}{2})}{sin(\frac{\gamma}{2})} = \frac{sin(\frac{66 + 5032'}{2})}{sin(\frac{66}{2})} = 1,56$$

$$n = \frac{\sin\left( \frac{\gamma + \delta_{\min}}{2} \right)}{\sin\left( \frac{\gamma}{2} \right)} = \frac{\sin\left( \frac{66 + 5116^{'}}{2} \right)}{\sin\left( \frac{66}{2} \right)} = 1,57$$

$$n = \frac{sin(\frac{\gamma + \delta_{\min}}{2})}{sin(\frac{\gamma}{2})} = \frac{sin(\frac{66 + 5109'}{2})}{sin(\frac{66}{2})} = 1,57$$

$$n = \frac{sin(\frac{\gamma + \delta_{\min}}{2})}{sin(\frac{\gamma}{2})} = \frac{sin(\frac{66 + 5137'}{2})}{sin(\frac{66}{2})} = 1,58$$

Otrzymane wyniki przedstawione zostały w poniższych tabelach.

Tabela 4: Zestawienie otrzymanych wyników wyznaczonych kątów odchylenia minimalnego dla badanych widm za pomocą lampy rtęciowej

Dla lampy rtęciowej (Hg).

Lp.

1

2

3

4

Poniższy wykres przedstawia zależność n(λ), dla układu pomiarowego w którym została wykorzystana lampa rtęciowa.

Wykres 1: Graficzne zobrazowanie zależności n(λ) dla układu z lampą rtęciową.

Tabela 5: Zestawienie otrzymanych wyników wyznaczonych kątów odchylenia minimalnego dla badanych widm za pomocą lampy kadmowej.

Dla lampy kadmowej (Cd).

Lp.

1

2

3

4

5

Poniższy wykres przedstawia zależność n(λ), dla układu pomiarowego w którym została wykorzystana lampa kadmowa.

Wykres 2: Graficzne zobrazowanie zależności n(λ) dla układu z lampą kadmową.

4. Obliczanie wyników końcowych i szacowanie niepewności
   Dokonujemy analizy niepewności pomiarów poszczególnych współczynników załamania, w tym celu korzystamy z metody różniczki zupełnej:

Przechodzimy do obliczeń średniej dyspersji materiału:

Średnia dyspersji materiału jest wielkością charakteryzującą własności danego materiału obliczaną według wzoru:

n_f,c = n_f – n_c

gdzie: n_f,c – oznacza średnią dyspersje materiału

n_f – współczynnik załamania dla promieniowania o częstotliwości odpowiadającej linii widma fioletowego

n_c – współczynnik załamania dla promieniowania o częstotliwości odpowiadającej linii widma czerwonego.

Obliczamy:

n_f – 1,5762

n_c – 1,5575

n_f,c = n_f – n_c

n_f,c = 1,5762 – 1,5575 = 0,0187

Średnią dyspersji materiału używana jest w Liczbie Abbego, stosowanej w optyce. Liczba ta charakteryzuje stosunek refrakcji do dyspersji danego materiału. Zdefiniowana jest jako:

gdzie n_D, n_F, n_C – współczynniki załamania materiału dla poszczególnych linii Fraunhofera, odpowiednio:

• żółtej linii sodu D o długości 589,2 nm

• niebieskiej linii wodoru F – 486,1327 nm

• czerwonej linii wodoru C – 656,2816 nm

Jednakże Liczbę Abbego można zdefiniować także dla zielonej linii rtęci oraz niebieskiej i czerwonej kadmu. Wtedy to liczbę definiujemy jako:

Gdzie: n_e – współczynnik załamania linii zielonej w lampie rtęciowej

n_f’ – współczynnik załamania dla pasma niebieskiego kadmu

n_c’ – współczynnik załamania dla pasma czerwonego kadmu

4. Wynik końcowy

Celem przeprowadzonego ćwiczenia było wyznaczenie współczynników załamania poszczególnych pasm widocznych przy załamaniu wiązki światła w pryzmacie. Poszczególne współczynniki i niepewność ich pomiarów przedstawiają powyższe tabele. Można przyjąć na podstawie otrzymanych wyników, że współczynniki zarówno dla układu, w którym została wykorzystana lampa rtęciowa jak i dla układu z lampą kadmową wahają się od ok. 1,56- 1,58 w zależności od danego pasma. Wynik ten świadczy o tym że materiałem, z którego został wykonany pryzmat było szkło, gdyż współczynnik załamania dla szkła waha się w zależności od zastosowanego szkła od ok. 1,5-1,6.

Oprócz wykonanych obliczeń współczynników wyznaczona została również średnia dyspersja materiału i wynosi ona odpowiednio – 0,0187. oraz obliczona liczba Abbego dla badanego materiału i wynosi ona 30,24.

4. Wnioski

Otrzymany wynik sugeruje że ćwiczenie zostało przeprowadzone w sposób poprawny. Otrzymane współczynniki załamania świadczą, że użyty pryzmat został wykonany ze szkła. Współczynnik załamania dla szkła w zależności od składu waha się od ok. 1,5 do 1,6. natomiast nasze współczynniki poszczególnych pasm widm są z zakresu 1,56-1,58. więc mieszczą się w przedziale określonym w tablicach dla szkła.

Zostały również wykonane obliczenia mające na celu wyznaczenie średniej dyspersji materiału oraz liczny Abbego. Wątpliwości budzą wykresy które nie są poprawną hiperbolą.

Następnym etapem zadania było zmierzenie kąta minimalnego odchylenia od pryzmatu. Wyniki pomiarów i obliczeń zostały przedstawione w powyższych tabelach oraz na wykresach. Wynika z nich że wraz ze wzrostem długości fali maleje współczynnik załamania.

Odchylenia od prawidłowych wartości mogą wynikać ze złego początkowego ustawienia pryzmatu na stoliku lub niedokładnego odczytu wartości kąta granicznej widoczności danego pasma w obiektywie spektrometru. Błędy mogą również wynikać z niepoprawnej pracy samego urządzenia (tj. spektrometru) lub niedokładnego zestawienia obrazu z krzyżem. W celu poprawienia dokładności pomiarów można byłoby zastosować lepsze oświetlenie oraz dokładniej przymocować pryzmat, aby zmiany jego położenia były minimalne i nie wpływały na otrzymane wyniki.