Wyprowadzenie wzorów liczb podobieństwa:

Równanie Naviera-Stokesa dla trzech współrzędnych:

Ustalamy wielkości odniesienia:

Podstawiamy wielkości odniesienia do dywergencji:

Podstawiamy wielkości odniesienia do laplasjanu:

Podstawiamy wielkości odniesienia do gradientu:

Wstawiamy powyższe operatory do równania Naviera-Stokesa:

Otrzymujemy cztery liczby podobieństwa:

Strouhala: Froude’a:

Eulera: Reynoldsa:

Liczba Strouhala = konwekcyjna siła bezwładności / lokalna siła bezwładności

Liczba Froude’a = konwekcyjna siła bezwładności / siła masowa

Liczba Eulera = siła sprężystości / konwekcyjna siła bezwładności

Liczba Reynoldsa = konwekcyjna siła bezwładności / siła lepkości

Wyprowadzenie wzoru na siłę mocowania kanału:

Założenia: lepkość υ = 0,
przepływ stacjonarny,
obowiązuje równanie ciągłości masy,
siła masowa F = 0,

kanał symetryczny, ulot do otoczenia: p₂ = p₀

Równanie pędów strumienia dla ruchu stacjonarnego:

Gdzie skalar V_N to rzut wektora V na kierunek wektora n

Opierdalamy lewą stronę równania:

Opierdalamy prawą stronę równania:

Przyrównujemy do siebie obydwie strony równania:

Wszystko dzieje się wzdłuż jednej składowej, opuszczamy zatem wektory:

Nie znamy różnicy ciśnień, ale policzymy ją posługując się równaniem Bernouliego:

Po wstawieniu różnicy ciśnień, równanie przyjmie postać:

Niestety nie wiemy też nic na temat drugiej prędkości (na wylocie). Prędkość tę obliczymy korzystając z równania ciągłości przepływu:

Porządkujemy równanie i wstawiamy do niego prędkość wylotową:

Wyłączamy wspólne czynniki przed nawiasy:

Aby pozbyć się gęstości, korzystamy z definicji strumienia ciemnej masy:

Wstawiamy nowo zdefiniowaną gęstość do równania:

Upraszczamy, co trzeba i dorabiamy wspólny czynnik:

Sklejamy dwa nawiasy w jeden:

Upraszczamy, wyciągamy minus z nawiasu i porządkujemy:

Ostatni manewr polega na skorzystaniu z własności funkcji kwadratowej:

Wzór jest słuszny zarówno dla dyfuzora, jak i dla konfuzora

Wyprowadzenie wzoru na siłę ciągu silnika odrzutowego:

Założenia: przepływ stacjonarny,
ρ = const. (nie ma zmian gęstości),
lepkość υ = 0,

obowiązuje równanie ciągłości masy,
siła masowa F = 0,

kanał symetryczny,

strumień masy paliwa m_P ≈ 0

Równanie pędów strumienia dla ruchu stacjonarnego:

Gdzie skalar V_N to rzut wektora V na kierunek wektora n

Aby nie utonąć w całkach, przyjmujemy umowę odnośnie oznaczeń:

Opierdalamy lewą stronę równania:

Opierdalamy prawą stronę równania:

Przyrównujemy do siebie obydwie strony równania i opuszczamy wektory:

Wyprowadzenie wzoru na siłę wypadkową działającą na palisadę profilu:

Założenia: przepływ stacjonarny,

ρ = const. (nie ma zmian gęstości),

lepkość υ = 0,

obowiązuje równanie ciągłości masy,

siła masowa F = 0,

kanał symetryczny,

palisada stałego ciśnienia (stała prędkość przepływu, zmiana kierunku przepływu)

Aby nie utonąć w całkach, przyjmujemy umowę odnośnie oznaczeń:

Zapisujemy równania wektorowe przy użyciu składowych według oznaczeń ukazanych na rysunku. Każdy z wektorów prędkości posiada dwie składowe (składową merydionalną i składową unoszenia):

Gdzie v_1m = v_2m (zgodnie z równaniem ciągłości przepływu)

Równanie pędów strumienia dla ruchu stacjonarnego:

Gdzie skalar V_N to rzut wektora V na kierunek wektora n

Opierdalamy lewą stronę równania:

Opierdalamy prawą stronę równania:

Palisada stałego ciśnienia ma stały przekrój, a zatem A₁ = A₂ = A:

Przyrównujemy do siebie obydwie strony równania:

Porządkujemy równanie, otrzymując formułę końcową:

Aby pokazać, że wiemy, co to wersor jednostkowy, rozpisujemy składowe siły wypadkowej:

Wyprowadzenie wzoru Rayleigh’a-Stokesa (bez upływu):

Założenia: przepływ dwuwymiarowy,

pomijamy siły masowe,

ρ = const. (nie ma zmian gęstości),

płyn jest nieściśliwy (dywergencja jest równa zero),

prędkość u = u(y), ciśnienie p = p(y)

Równania Naviera-Stokesa dla dwóch osi układu współrzędnych:

Zagadnienie jest dwuwymiarowe:

Przyjmujemy v ≈ 0, co wynika z pominięcia zmian prędkości w kierunku osi X:

Wprowadzamy nową zmienną s:

Podstawiamy zmienną do równania dla osi X:

Równanie różniczkowe rozwiązujemy metodą rozdzielania zmiennych:

Stosujemy podstawienie:

Wstawiamy „wonsza” do równania:

Uwzględniamy warunki brzegowe:

Podstawiamy warunki brzegowe do równania:

Wzór końcowy:

Wyprowadzenie wzoru Rayleigh’a-Stokesa (z upływem):

Założenia: przepływ dwuwymiarowy,

pomijamy siły masowe,

ρ = const. (nie ma zmian gęstości),

płyn jest nieściśliwy (dywergencja jest równa zero),

prędkość u = u(y), ciśnienie p = p(y),

prędkość odsysania v₀ = v₀(y) = const. (zawsze ujemna)

Równania Naviera-Stokesa dla dwóch osi układu współrzędnych:

Zagadnienie jest dwuwymiarowe:

Z równania ciągłości dla płynu nieściśliwego wynika:

Równanie cząstkowe przechodzi w zwyczajne:

Równanie różniczkowe rozwiązujemy metodą rozdzielania zmiennych:

Stosujemy podstawienie Q = du/dy:

Wstawiamy pochodną z powrotem za Q:

Uwzględniamy warunki brzegowe:

Podstawiamy warunki brzegowe do równania:

Otrzymujemy układ równań:

Wzór końcowy:

Naprężenia styczne: