TEMAT 1: ŁUK KOSZOWY

Łukiem koszowym nazywamy zespół (dwa lub więcej) następujących po sobie łuków kołowych o różnych promieniach, zakrzywionych w tym samym kierunku, połączonych ze sobą bezpośrednio. Stosuje się je w trudnych warunkach terenowych w celu ominięcie przeszkód. Styczna w punkcie zmiany promieni jest wspólna.

Przy projektowaniu i tyczeniu łuku koszowego najważniejsze jest ustalenie położenia jego punktów głównych, pozwalających opisać dany łuk koszowy.

Dla łuku koszowego o dowolnej liczbie promieni obliczenia prowadzi się w oparciu o trzy warunki, jakie musi spełniać każdy wielobok zamknięty, w tym również wielobok PWKO₃O₂O₁P:

• Suma boków w wielokącie zamkniętym:

α=α₁+α₂+α₃

Suma kątów środkowych odpowiadających poszczególnym łukom kołowym jest równa kątowi α zwrotu stycznych głównych w wierzchołku W.

• Warunek wieloboku zamkniętego:

Rzutujemy boki wieloboku na dwa ustalone kierunki, którymi mogą być: styczna PW i promień R₁ lub styczna KW i promień R₂:

T₁ = (R₁ - R₂) ⋅ sinα₁ + (R₂ - R₃) ⋅ sin(α₁ + α₂) + R₃ sin(α₁ + α₂ + α₃) + T₂ cos β

R₁ = (R₁ - R₂) ⋅ cosα₁ + (R₂ - R₃) ⋅ cos(α₁ + α₂) + R₃ cos(α₁ + α₂ + α₃) + T₂ sin β

Trzy równania pozwalają na obliczenie maksymalnie trzech niewiadomych, pozostałe wartości wymienione w tych równaniach muszą być pomierzone lub założone w projekcie.

W celu wyznaczenia położenia punktów głównych P, T, K podwójnego łuku koszowego niezbędna jest znajomość czterech z siedmiu elementów geometrycznych

- długości stycznych głównych (T₁, T₂)

- promienie łuków kołowych (R₁, R₂)

- kąt zwrotu stycznych głównych (α)

- kąty środkowe łuków kołowych (α₁, α₂)

i obliczenie trzech pozostałych z poniższych dwóch zestawów równań (natomiast kąt β jest zawsze pomierzony):

1. α=α1+α2

T₁=R₂sinα-T₂cosα+(R₁-R₂)sinα₁

R₁=R₂cosα+T₂sinα+(R₁-R₂)cosα₁

1. α=α1+α2

T₂=R₁sinα-T₁cosα+(R₁-R₂)sinα₂

R₂=R₁cosα+T₁sinα+(R₁-R₂)cosα₂

Korzystając z powyższych zestawów równań możemy rozwiązać podwójny łuk koszowy w następujący sposób (jeden z możliwych przypadków):

• Znane jest położenie początkowego punktu P łuku kołowego, czyli α₁, R₁, R₂, T₁

Obliczamy T₂, α, α₂:

α=200^g-β

α₂=α-α₁

lub $cos\alpha 2 = \frac{T1sin\alpha + R1cos\alpha - R2}{R1 - R2}$

T₂ = R₁ sinα - T₁ cosα - (R₁ - R₂) sinα₂

TEMAT 2: ŁUK ODWROTNY

Łukiem odwrotnym nazywamy zespół dwóch łuków kołowych, z których każdy jest skierowany z przeciwnym kierunku. Stosuje się je w trudnych warunkach terenowych, gdzie wyokrąglenie załamania trasy za pomocą jednej krzywej jest niemożliwe, np. góry.

Wyróżniamy dwa rodzaje łuków odwrotnych:

1. Łuki odwrotne styczne względem siebie (rzadko stosowane, jeśli już to mają bardzo duże promienie)

2. Łuki odwrotne przedzielone wstawką prostej (wstawka ma długość poniżej 300 m)

Elementy geometryczne łuku odwrotnego:

Położenie linii W₁W₂ ustala się drogą kolejnych przybliżeń w terenie. Następnie mierzy się jej długość i kąty zwrotu α₁ i α₂, następnie na tej podstawie przyjmuje się wartość promieni R₁ i R₂. W następnej kolejności oblicza się wartość stycznych obu łuków kołowych:

$$t1 = R1*tg\frac{\alpha 1}{2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ t2 = R2*tg\frac{\alpha 2}{2}\text{\ \ }$$

I długość W₁W₂=t₁+t₂+w

Jeżeli obliczona długość W₁W₂ jest za krótka lub za długa w stosunku do pomierzonej wartości tej stycznej, to mamy następujące możliwości:

• Przesuwamy w terenie wspólną styczną do właściwego, obliczonego położenia

Przesunięcie linii W₁W₂ obliczamy z trójkąta OW₂W₂’, w którym znamy wszystkie kąty i długość OW₂’ (różnica między długością stycznej pomierzoną a obliczoną)

$$W2W2^{'} = \frac{\text{OW}2^{'}*sin\alpha 1}{\text{sinα}}$$

• Linię pomierzoną W1W2 pozostawiamy bez zmian, natomiast dopasowujemy wartości promieni R1 i R2 tak, aby spełnić równanie W₁W₂=t₁+t₂+w

• Linię pomierzoną W₁W₂ pozostawiamy bez zmian, natomiast zmieniamy (przyjmujemy) inne wartości stycznych t₁ i t₂, a promienie obliczamy z wyżej wymienionych wzorów.

Zadanie: Obliczenie elementów głównych łuku odwrotnego składającego się z dwóch łuków kołowych bez wstawki prostej:

Dane: R₁=400,00 m

R₂=600,00 m

α₂=26^g07^c98^cc

W₁W₂=540,70 m

Obliczenie:

$$t2 = R2*tg\frac{\alpha 2}{2}$$

t₂=600*tg13^g03^c99^cc=124,65 m

W₁W₂=t₁+t₂

t₁=W₁W₂-t₂=540,70-124,65=416,05 m

$$t1 = R1*tg\frac{\alpha 1}{2}$$

$$\text{tg}\frac{\alpha 1}{2} = \frac{t1}{R} = \frac{416,05}{400}$$

$$\frac{\alpha 1}{2} = 51g25c19cc$$

α1=102^g50^c39^cc

Mając już dane R₁, t₁, α₁ dla jednego łuku oraz R₂, t₂, α₂ dla drugiego łuku, możemy obliczyć wielkości potrzebne do wytyczenia punktów głównych i pośrednich na łuku odwrotnym z wzorów stosowanych dla pojedynczego łuku kołowego: xs₁, ys₁, PA (cięciwa główna), W₁S₁, s₁, (t₁)₁ i analogicznie dla łuku nr 2.