EKONOMETRIA

Model ekonometryczny

Elementy składowe pojedynczego równania w modelu ekonometrycznym

zależność scholastyczna y = f(α,x) +  ε

objaśnienia: y – zmienna objaśniana, zależna, jest jedna wielkość

x – zmienne objaśniające, niezależne – to wektor. x = {x₁, x₂,…, x_n} – składa się ze zmiennych

[Model nie wyjaśnia jak się kształtuje dany model, tylko wyjaśniamy te zmienne.]

α – wektor parametrów strukturalnych w modelu zależy od funkcji f

ε – zmienne losowe (składnik losowy) o nieznanej treści (zjawiska o czysto losowym charakterze)

szacujemy model: model zależności: $\hat{\gamma} = f(\alpha,x)$

objaśnienia: $\hat{y}$ – oszacowanie zmiennej zależnej

α – wektor oszacowań parametrów strukturalnych modelu

Dobór zmiennych do modelu ekonometrycznego

Regresja prosta. Metoda najmniejszych kwadratów.

model zależności stochastycznej y_i =  β_o + β₁ *  x_i + ε_i

model oszacowany:$\ \hat{y}i = \ b_{0} + b_{1}*\ x_{i}$

metoda regresji - jedna zmienna niezależna, szacujemy na podstawie obserwacji zmiennej x i y

x i y – to wektory zawierające konkretne liczby

rys. – najlepsza opcja, kiedy zmienna leży najbliżej punktów

$$\sum_{i = 1}^{\alpha}e_{i}^{2}$$

$$\mathbf{SEE = \ }\sum_{i = 1}^{\alpha}\left( y_{i} - {\hat{y}}_{i} \right)^{2} = \sum_{i = 1}^{\alpha}\left( y_{i} - \ b_{o} - b_{1}*\ x_{1} \right)^{2}$$

tak dobieramy b_o i b₁ (oszacowanie parametrów), aby ich suma kwadratów błędów była jak najmniejsza

Metoda najmniejszych kwadratów (MNK): min b_o i b₁ (SSE)

Układ równań normalnych, z warunku koniecznego istnienia ekstremum funkcji.

$$\left\{ \begin{matrix} \frac{\text{dSEE}}{db_{o}} = - 2\ \sum_{i = 1}^{n}\left( y_{1} - b_{o} - b_{1} - x_{i} = 0 \right)\ \\ \frac{\text{dSEE}}{db_{1}} = - 2\sum_{i = 1}^{n}{x_{i}\left( y_{1} - b_{o} - b_{1} - x_{i} = 0 \right)} \\ \end{matrix} \right.\ $$

po przekształceniach:

Estymatory parametrów strukturalnych.

Model regresji prostej

Założenia MNK:

- zmienne niezależne są nielosowe

- składniki losowe mają rozkłady N(0, α²)

- składniki losowe ε_i i ε_j są niezależne dla każdego i =/ j

Błędy dopasowania

- średni błąd kwadratowy (oszacowanie wariancji składnika logowego)

$$MSE = \ \frac{\text{SSE}}{n - 2} = \ \frac{1}{n - 2}\ \sum_{i = 1}^{n}\left( y_{i} - \ {\hat{y}}_{i} \right)^{2}$$

SSE – suma kwadratów błędów

- standardowy błąd szacunku (oszacowanie odchylenia standardowego składnika losowego)

$$S = \ \sqrt{\text{MSE}} = \ \sqrt{\frac{\sum_{i - 1}^{n}\left( y_{i} - \ {\hat{y}}_{i} \right)^{2}}{n - 2}}$$

Do liniowego modelu ekonometrycznego:

$\sum_{i - 1}^{n}{\left( y_{i} - \ \hat{y} \right)^{2} = \ }\sum_{i - 1}^{n}{\left( y_{i} - \ {\hat{y}}_{i} \right)^{2} + \ \sum_{i - 1}^{n}\left( \ {\hat{y}}_{i} - \ \overset{\overline{}}{y} \right)^{2}}$

S_yy        =             SEE           +         SSR (suma kwadratow odchylen regresyjnych)

S_yy – miara całkowitej zmienności y

SSR – część zmienności, zmiennej zależnej, która została przez model wyjaśniona

Współczynnik determinacji

$$\mathbf{r}^{\mathbf{2}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{\text{SRR}}}{\mathbf{S}_{\mathbf{\text{yy}}}}\mathbf{= \ }{\mathbf{r}_{\mathbf{\text{yy}}}}^{\mathbf{2}}$$

informuje jaka część zmienności zmiennej zależnej jest wyjaśniana przez model

r² przyjmuje wartość z przedziały (0,1)

r² <0,9;1) - model bardzo dobry

r² <0,8;0,9) – model dobry

r² <0,6;0,8) - model zadowalający

r² =1 – moder deterministyczny (Syy=SSR)

r² = 0 – model zły

r²=r_yy² oznacza, że współczynnik deterministyczny jest kwadratem współczynnika korelacji między zmienną….

Weryfikacja statystyczna istnienia liniowej zależności:

tabela analizy wariancji

F_empiryczne – wartość służąca nam do weryfikacji statystycznej modelu zależności między x a y

F_{1, n-2} – wartość powinna być duża

F_empiryczne – pozwala nam zweryfikować _hipotezę H_o=β₀=1 y=b_{0 +}0 X, między x a y nie ma zależności liniowej

α – poziom istotności

F_emiryczne >F_krytyczne odrzucamy H_o, współczynnik β₁ =/ 0. Między x i y istnieje związek liniowy.

Istotność F >α odrzucamy H_o

F_emiryczne <F_krytyczne Brak podstaw do odrzucenia H_o, współczynnik β₁ nie istotnie różny od 0. Między x i y nie ma związku liniowego.

Istotność F >α

F_{krytyczne =} ROZKŁ.F.ODWR.VPS(α, st.sw licznika, st.sw.mianownika)

Istotność F – prawdopodobieństwo tego, ze liczba F_{1, n-2 ­}jest większa od F_{empirycznego.} F_empiryczne powinno być jak największe. Istotność F powinna być jak najmniejsza.

Poziom istotności – 0,01 lub 0,05

0,01 oznacza, że w jednej na sto prób liczymy się z prawdopodobieństwem popełnienia błędu

ROZKŁAD.F(F;MS resztkowy) = ISTOTNOŚC F

Badanie istotności parametrów strukturalnych

1) H_o: β₀=0 t = n-2

2) H_o: β₁=0 – reszta tak samo t = n-2

T_kryt = ROZKŁAD.T.ODW.DS(α, n-2)

1. |T_emp| > T_kryt - T_kryt odrzucamy H_o, współczynnik β₀ istotnie różny od 0; współczynnik powinien być w modelu uwzględniony; istotność T_emp < α

2. |T_emp| < T_kryt - brak podstaw do odrzucenia H_o, współczynnik β₀ nie istotnie różny od 0; współczynnik powinien być w modelu usunięty; istotność T_0emp > α

Poprawność modelu ekonometrycznego – test serii (pozwala weryfikować hipotezę czy reszty mają charakter losowy)

1. Porządkujemy reszty według wartości zmiennej niezależnej (x)

2. Seria reszt – to ciąg reszt tego samego znaku (zera pomijamy)

3. Formułujemy H0: postać fikcyjna modelu jest poprawna

4. Weryfikujemy H₀ na postawie statystyki testowej – liczba serii reszt k_emp. Ta statystyka ma rozkład serii z parametrem k: k_n1,n2. n₁ – liczba reszt dodatnich; n_{2 –} liczba reszt ujemnych; lub odwrotnie

5. Odczytujemy z tablicy wartości krytyczne k₁ i k₂

6. Obszar krytyczny: (-nieskończoność, k₁>u <k₂, + nieskończoność), gdzie

k₁ = k_α/2, n₁,n₂; k₂= k_1-α/2;n₁;n₂

W2

Przy pomocy testu serii, sprawdzić czy na poziomie istotności 0.05 model liniowy jest odpowiedni

Reszty e_i mają następujące znaki kolejno:

++-+---++-+-

Kemp = 8

+n1 = 6

-n2 =6

K_{1 a/2}= 3 – z testu serii

K_{2(1- a/2)(1-0,025=0,975)}= 10 – z testu serii

Obszar akceptacji hipotezy o losowym wyborze reszt jest to obszar od k₁ do k₂. Kemp należy do obszaru akceptacji

poniżej k₁ i powyżej k₂ obszar krytyczny

Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy

Model regresji wielorakiej

Model zależności stochastycznej:

y_i = β₀ +β₁⋅x_1i +β₂⋅x_2i +… +β_k⋅x_ki +ε_i

Model oszacowany:

Nie można zastosować METODY MOMENTÓW! – do oszacowania

Regresja wieloraka:

Dane do analizy regresji

„1” – potrzeba do wyrazu wolnego

$\hat{y} = 1*b0 + x1*b1\ldots.$

Metoda najmniejszych kwadratów (MNK)

• Suma kwadratów różnic (błędów)

• MNK min_{b0, b1…bk}(SEE)

• Założenia – jak w regresji prostej (reszty nają rozkład normalny, „x” są nielosowe)

Formuła macierzowa dla współczynników

Jeśli n=k+1 to b=X^-1*y

Jeśli n>k+1 to b=X⁺*y=(X^T*X)^-1*X^T*y

y= x*b

X^Ty = (X^T X)*b

(X^T X) to kwadrat

(X^T*X)^-1X^t*y = (X^T*X)^-1 *(X^T*X)*b

(X^T*X)^-1 *(X^T*X) -> to I jednostka

b= (x^T*x)^-1 *x^T*y

(x^T*x)^-1 *x^T -> ten wzór to X⁺

Błędy dopasowania:

• średni błąd kwadratowy

• standardowy błąd szacunku s – jest oszacowaniem składnika losowego

Wartość błędów nie stanowi miary jakości modelu. Najlepszy błąd daje najmniejsze standardowe błędy szacunku.

Błędy dopasowania

• dla liniowego modelu ekonomicznego:

= +

S_YY = SSE + SSR

całkowita zmienność część zmienności część zmiennej zależnej y

zmiennej zależnej y nie wyjaśniona wyjaśniona przez model

przez model

Miara jakości modelu = współczynnik determinacji wielorakiej – nie ujmuje stopnia złożoności modelu. Określa jaka część zmienności zmiennej zależnej jest wyjaśniona przez model.

Dodawanie kolejnych zmiennych do modelu zawsze poprawia współczynnik determinacji, a nam potrzeba te zmienne, które naprawdę wpływają, dlatego utworzone s korygowany współczynnik determinacji wielorakiej – ujmuje złożoność modelu (k). Określa jaka jest jakość modelu.

Model regresji wielorakiej musi być zweryfikowany statystycznie i merytorycznie (czy daje sensowne wyniki)

Tabela analizy wariancji: (tabela analizy wariancji i testujemy istotność poszczególnych składników)

F: (rozkład F z l. stopni swobody licznika k i mianownika n-k-1). Można ją wykorzystać do weryfikacji hipotezy.

H₀: β1+β2+…+βk

H₁: U_i β1 =/ 0 – istnieje takie „i”, że β1 =/ 0 (hipoteza alternatywna)

do weryfikacji hipotezy: : rozk.F, st. swobody licznika k; st. swobody mianownika n-k-1)

Jeżeli hipoteza jest prawdziwa to bardzo mało prawdopodobne są duże wartości tej statystyki.

y= β₀+O*x₁ + O*x_2­ +..0*x_k+ε

α – małe prawdopodobieństwo, że statystyka przyjmuje duże wartości

F_emp (obliczane z próby) jeżeli jest w obszarze krytycznym to hipotezę zerową odrzucamy, a jeżeli nie to przyjmujemy

Jeżeli α =0,05 w 5 próbach na 100 mogliśmy się mylić w naszej ocenie hipotezy „0”.

F_emp >F_kryt H₀ odrzucamy_, przynajmniej jeden ze współczynników β_i jest istotnie różny od 0. Istnieje związek liniowy między zmienną zależną, a przynajmniej jedną zmienną niezależną x (zmiany x przenoszą się na y)

F_emp ≤F_kryt brak podstaw do odrzucenia H_0. Wszystkie współczynniki _­ przy zmiennych niezależnych x nieistotnie różne od 0, a wobec tego brak związku liniowego między zmienną zależną y a zmienną niezależną x. Jeżeli tak jest to nie ma sensu testować dalej hipotez.

Jeżeli istotność F_emp <α odrzucamy hipotezę zerową

Jeżeli istotność F_emp > α nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej

Wartość KRYTYCZNA : F_kryt = ROZKŁAD.

Testy istotności dla współczynników:

Hipoteza o istotności parametrów strukturalnych:

H₀: β_i = 0; H₁: β_i =/ 0

$T = \frac{b_{i}}{s(b)}$ - można udowodnić, żema rozkład T z liczbą st. swobody n-k-1

T – statystyka dla weryfikacji hipotezy

Jeżeli |T _emp|> T_kryt H₀ : odrzucamy, czyli B_i =/0 jeśli i = 0 wyraz wolny powinien być uwzględniony w modelu istotności T _emp<α. Jeśli i > 0 zmienna xi powinna być w modelu uwzględniona (związek między xi a zmienną zależna y)

Jeżeli |T _emp|< T_kryt brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej. βi = 0, i = 0 wyraz wolny nieistotnie różny od zera powinien być pominięty

T _emp < α - odrzucamy H₀

T _emp > α – brak podstaw do odrzucenia H₀

W3

Przykład – tabela współczynników

	Współczynniki	Błąd standardowy	t Stat	Wartość-p
Przecięcie	35,09382492	2,23759562	15,68372	1,04E-06
Zmienna X 1	0,578496678	0,12164652	4,755555	0,00207
Zmienna X 2	1,782380091	0,52973487	3,364664	0,012008

ROZKŁAD.T.ODW(0,05;9)=2,26

ŷ= 35+0,58*x₁+1,78*x₂

wyraz wolny –wartość zmiennej zależnej, jeśli zmienne niezależne równe zera

x₁=0 , x₂=0, ŷ=b₀

∆x₁=1, ∆x₂=0 ∆ y=b₁

∆x₁=1, ∆x₂=0 ∆ y=b₂

Poprawność modelu ekonometrycznego – test serii

• Jak dla regresji prostej

• Kolejność reszt:

  • Zgodnie z upływem czasu

  • Według wybranej zmiennej niezależnej

Wybieramy tą najważniejszą i względem niej stosujemy resztę (T-stat, największe czyli najbardziej istotne różne od 0). Jeżeli z testu serii okaże się, że postać liniowa nie jest poprawna to mamy model regresji nieliniowej.

Model regresji nieliniowej

• Model zależności stochastycznej:

Y_i = f(x_i, β)+ ε_i gdzie: x^T_i = [x_1i, x_2i,…., x_ki ]

β^T = [β₁, β₂,….., β_m]

• Model oszacowany:

Ŷ_i = f(x_i, b) gdzie: b^T = [b₁, b₂,…., b_m] ; b – wektor oszacowań parametrów strukturalnych w modelu

Przykłady:

y_i = α + β*x_1i + γ*x²_2i + ε_i

ŷ_i = α + b*x_1i + c*x²_2i

y_i = α + β*ln(x_1i) + γ*x²_2i + ε_i

ŷ_i = α + b*ln(x_1i) + c*x²_2i

Model regresji nieliniowej szacujemy na podstawie takich samych danych jak model regresji liniowej.

Metoda najmniejszych kwadratów (MNK)

• Suma kwadratów różnic (błędów):

• MNK:

min(SSE)

b₀, b₁,….,b_k

Klasyfikacja regresywnych modeli nieliniowych

• Modele linearyzowalne – transformacja zmiennych

ŷ_i = ƒ (x_i, b) ⇒ ŷ_i = b₀’ + b₁’*x_1i’ + ... + b_k’*x_ki’

• Modele ściśle nieliniowe – metody optymalizacji nieliniowej

y_i = β₀ * x_1i  +  β₁ *  e^β₂x_2i +  ε_i 

$${\hat{y}}_{i} = b_{0}*x_{1i}\ + \ b_{1}*\ e^{b_{2}x_{2i}}$$

Model wielomianowy

Linearyzacja:

jedna zmienna: , dla j=1, 2, ..., k

dwie zmienne:

przykład: ŷ = b₀ + b₁* x₁ + b₂*x₂ x₁ + b₃* x₁² *x₂² + b₄*x₃⁵

x₂^’ = x₁ *x₂

x₃^’ = x₁² *x₂²

x₄^’ = x₃⁵

ŷ = b₀ + b₁* x₁^’ + b₂*x₂^’ + b₃* x₃^’ + b₄*x₄^’

Model odwrotny do liniowego

$$\hat{y} = \ \frac{1}{b_{0} + b_{1}*x_{1i} + b_{2}*x_{2i} + \ldots + \ b_{k}*x_{\text{kt}}}$$

Linearyzacja:

$$y^{'} = \ \frac{1}{y}$$

Model potęgowy

• np. funkcja produkcji Cobba-Douglasa:

Linearyzacja: obustronne zlogarytmowanie:

y_i′ =ln y_i, , dla j=1, 2, ..., k, ?

przykład: y =  b₀ * x₁^b₁ * x₂^b₂

lny^′ = ln(b₀*x₁^b₁*x₂^b₂) = lnb₀ + lnx₁^b₁ +  lnx₂^b₂ = lnb₀ +  b₁ lnx₁  + b₂lnx₂

y’ = lny

b’₀ = ln b₀

x₁’= lnx₁

x₂’= lnx₂

y’ = b₀’ + b₁*x₁’ + b₂ *x₂’

b₀ = exp(b₀’) = e^b₀′

Model wykładniczy

Linearyzacja: obustronne zlogarytmowanie:

y’=ln y_i ; b₀ = ln b₀

przykład: $\hat{y} = *\exp(b_{0}*x_{1} + b_{2}x_{2})\ $

$$\ln\hat{y} = \ \ln\lbrack b_{0}*\exp{(b_{1}x_{1} + b_{2}x_{2})\rbrack = \ln b_{0} + \text{lnexp}(b_{1}x_{1} + b_{2}x_{2}) = \ln}b_{0} + \ b_{1}x_{1} + b_{2}x_{2}$$

y’ = lny

b₀’ = lnb_0­

y’ = b₀’+ b₁x₁ + b₂x₂

b₀ = exp(b₀’)

Model logarytmiczny

Linearyzacja:

Ocena dopasowania modeli nieliniowych do danych

Funkcja Tornquista I rodzaju - popyt na dobra podstawowe, pierwszej potrzeby (wyżywienie, odzież, stałe opłaty)

interpretacja: Popyt na dobro podstawowe wzrasta szybciej niż proporcjonalnie w początkowym zakresie dochodów. Dalszy wzrost dochodów powoduje niewielki wzrost tych wydatków – osiągany stan nasycenia (a – poziom nasycenia)

Funkcja Tornguista I rodzaju:

 ,gdzie a > 0, b > 0

 - wydatki na dane dobro

 - dochody lub wydatki ogółem gospodarstw domowych

szacowanie parametrów: 1/y = 1/a +b/a x 1/x

linearyzacja y’ = 1/y; x’=1/x, a’=1/a; b’ = b/a

Funkcja Tornquista II rodzaju - popyt na dobra wyższego rzędu (meble, sprzęt gospodarstwa)

interpretacja: Popyt na dobra wyższego rzędu pojawia się przy pewnym poziomie dochodów (c). W początkowym zakresie dochodów wzrasta szybciej niż proporcjonalnie. Dalszy wzrost dochodów powoduje niewielki wzrost tych wydatków – osiągany stan nasycenia (a – poziom nasycenia)

Funkcja Tornguista II rodzaju:

, gdzie 

 - wydatki na dane dobro

• - dochody lub wydatki ogółem gospodarstw domowych

szacowanie parametrów: y = a-b y^/x – Ac/x

linearyzacja: z = y^/x; x’ = 1/x; b’= -b, c’=-ac

funkcja zlinearyzowana y^= a+b’ x z + c’ *x’

Funkcja Tornquista III rodzaju - popyt na dobra luksusowe(luksusowe wille, samochody)

interpretacja: Popyt na dobra luksusowe pojawia się przy pewnym poziomie dochodów (c) Potem zwiększa do proporcjonalnego wzrostu wraz ze wzrostem dochodów (asymptota ukośna)

Funkcja Tornguista III rodzaju:

, gdzie 

 - wydatki na dane dobro

 - dochody lub wydatki ogółem gospodarstw domowych

y^ = - Ac + ax – b x y^/x

linearyzacja x’ = y^/x; a’ = -ac, b’ = a, c’ = -b

W 4 11.04.

W 7

Model ekonomiczny jest uproszczonym obrazem zjawisk zachodzących w gospodarce.

- uproszczenie jest niezbędne ze względu na złożoność procesów gospodarczych

- musi być przejrzysty

-może być opisany słowami lub formułami

np.

Model krzywej Phillipsa

Model Keynesa dla danej gospodarki

Modelem ekonometrycznym nazywamy formalny opis stochastycznej zależności wyróżnionej wielkości, zjawiska lub przebiegu procesu ekonomicznego, od czynników które je kształtują, wyrażony w formie pojedynczego równania bądź układu równań

Model ekonometryczny jest konstrukcją formalną, która za pomocą jednego równania lub wielu równań odwzorowuje zasadnicze powiązania ilościowe zachodzące pomiędzy badanymi zjawiskami ekonomicznymi.

Rodzaje danych i zmiennych:

- rodzaje zmiennych: *zmienne ilościowe (mają wartości liczbowe)

* zmienne jakościowe ( reprezentują pewne kategorie)

- rodzaje danych statystycznych:

* dane przekrojowe (dane o wielu obiektach)

* dane czasowe

* dane przekrojowo czasowe

ETAPY BUDOWY MODELU EKONOMETRYCZNEGO

• ustalenie celów tworzenia modelu

• specyfikacja modelu ekonometrycznego

- identyfikacja zmiennych wykorzystanych w badaniu i zebranie danych

- identyfikacja postaci modelu

• estymacja parametrów strukturalnych modelu

• weryfikacja modelu

• zastosowanie modelu

Model procesu decyzyjnego

Model decyzyjny jest konstrukcją formalną odwzorowującą istotne cechy rzeczywistej sytuacji decyzyjnej:

matematyczna postać modelu decyzyjnego: Z = f[(x₁,x₂,…x_n)]

gdzie, (x₁,x₂,…x_n) - zmienne decyzyjne, są przedmiotem sterowania przez podejmowanie decyzji, określają one alternatywne sposoby działania

Z – jest miarą oceny podjętej decyzji

f – jest funkcją odwzorowującą zależność między zmiennymi decyzyjnymi, a miarą oceny Z. Funkcja f nazywana jest funkcją celu.

Zbiór alternatywnych sposobów działania zwykle jest ograniczony – podejmowanie decyzji przebiega warunkach pewnych ograniczeń. Uwzględnienie tych warunków w modelu decyzyjnym polega na określeniu zbioru dopuszczalnych decyzyjnych (rozwiązań) dla konkretnej sytuacji decyzyjnej. Ogólnie warunki ograniczające można przedstawić następująco: g_i(x) ≥ 0 [i =   = 1, 2, …n)

Postać matematyczna problemu decyzyjnego: (max lub min) Z = f[(x₁,x₂,…x_n)] przy ograniczeniach g_i(x) ≥ 0 [i =   = 1, 2, …n)