Fragment książki Jarosława Strzeleckiego Logika z wyobraźnią.

Wszelki uwagi merytoryczne i stylistyczne proszę kierować pod adres [e-mail]

PODZIAŁ LOGICZNY

I. DEFINICJA: Podziałem logicznym jakiegoś zbioru Z jest układ przynajmniej dwóch (np. A, B)

niepustych podzbiorów zbioru Z, takich że

1. Każdy element zbioru A jest elementem zbioru Z, ale nie każdy element zbioru Z jest

elementem A (inaczej mówiąc zbiór A jest podrzędny względem zbioru Z).

2. Każdy element zbioru B jest elementem zbioru Z, ale nie każdy element zbioru Z jest

elementem B (inaczej mówiąc zbiór B jest podrzędny względem zbioru Z).

3. Żaden element zbioru A nie jest elementem zbioru B oraz żaden element zbioru B nie jest

elementem zbioru A (inaczej mówiąc A i B nie mają żadnych wspólnych elementów).

4. Zbiory A i B zostały utworzone w oparciu o określoną zasadę podziału.

5. Suma zbiorów A i B jest zbiorem Z.

II. POJĘCIA dodatkowe:

1. Całość dzielona ( totum divisionis ) : zbiór Z

2. człony podziału ( membra divisonis ) : zbiory A, B

III. UWAGI:

1. Podział logiczny może być układem większej ilości podzbiorów niż tylko dwóch (A, B,

C,...).

2. Przez pojęcie nazwy możemy rozumieć jej zakres, czyli zbiór wszystkich jej desygnatów.

Wówczas podział logiczny będzie podziałem logicznym określonego pojęcia - nazwy.

3. Są dwa rodzaje zasad podziału:

a) według cech sprzecznych (np. biały – niebiały, parzysta – nieparzysta, polski –

niepolski, śmiertelny – nieśmiertelny, pijany – niepijany). Podział taki nazywamy

dychotomicznym albo dwudzielnym.

b) według modyfikacji wybranej cechy (np. Wybraną cechą niech będzie kolor ludzkiej

skóry. Jej modyfikacjami są różne kolory, zatem podział logiczny zbioru ludzi ze

względu na kolor skóry jest następujący: biali, czarni, żółci, czerwoni). Podział taki

nazywamy wieloczłonowym.

Zbiór Z

Zbiór A Zbiór B

4. Formalnymi warunkami poprawności podziału logicznego są:

a) warunek jedyności zasady – podział posiada tylko jedną zasadę podziału (por. I.4.),

b) warunek rozłączności członów podziału – człony podziału nie mają żadnego wspólnego

elementu (por. I.3),

c) warunek zupełności – suma członów podziały jest równa całości dzielonej (por. I.5.).

IV. Przykłady. Mamy następujący zbiór przedmiotów o nazwie Żółty Zbiór:

Dokonajmy na nim różnych podziałów logicznych.

IV.I Poprawne podziały logiczne.

Przypadek I. Całością dzieloną jest Żółty Zbiór. Zasadą podziału niech będzie układ cech

sprzecznych: być trójkątem – niebyć trójkątem. Wówczas mamy do czynienia z podziałem

dychotomicznym, czyli dwudzielnym. Nasz Żółty Zbiór będzie posiadał dwa podzbiory: zbiór

trójkątów oraz zbiór pozostałych figur. Oto graficzne przedstawienie tego podziału:

Sprawdźmy, czy podział taki spełnia formalne warunki poprawności. Czy przyjęliśmy tylko jedną

zasadę podziału? Tak. Jest nią zasada bycia trójkątem. Czy człony podziału są względem siebie

rozłączne? Tak. Żaden element zbioru trójkątów nie jest elementem drugiego zbioru i na odwrót.

Czy suma zbioru trójkątów i zbioru pozostałych figur jest równa Zbiorowi Żółtemu? Tak. Żółty

Zbiór składa się z trzech trójkątów, trzech prostokątów, trzech okręgów. Z tych samych

elementów składa się zbiór będący sumą zbiorów trójkątów i pozostałych figur.

Przypadek II. Tym razem podzielimy Żółty Zbiór według modyfikacji pewnej cechy. Będzie nią

kolor. Powinniśmy uzyskał podział wieloczłonowy. Członami podziału będą zbiory: figur

niebieskich, czerwonych, zielonych. Oto on:

I tym razem podział logiczny jest poprawny formalnie. Został przeprowadzony ze względu na

jedną tylko zasadę podziału (kolor). Człony podziału nie posiadają wspólnych desygnatów. Suma

członów podziału równa jest Zbiorowi Żółtemu.

Przypadek III. Oto graficzna reprezentacja logicznego podziału dokonanego na Żółtym Zbiorze

Członami podziału są zbiory A, B, C. Według jakiej zasady przeprowadzono w tym przypadku

podział logiczny? Z pewnością jest to podział wieloczłonowy, a więc jego fundamentum divisionis

(zasadą podziału) jest modyfikacja pewnej cechy. Jest nią, jak łatwo można się domyśleć,

wielkość powierzchni danej figury. Elementami zbioru A są figury o największej powierzchni. Do

zbioru B należą wszystkie figury o średniej powierzchni, a zbiór C stanowią figury o najmniejszej

powierzchni. Zbiory A, B, C wykluczają się (spełniony warunek rozłączności). Ich suma jest równa

Żółtemu Zbiorowi (spełniony warunek zupełności).

IV.II Niepoprawne podziały logiczne.

Tym razem rozpatrzmy przypadki niepoprawnych podziałów logicznych. Stwórzmy zbiór o

nazwie Bohaterowie Bajek:

Przypadek I. Zasadą podziału jest modyfikacja cechy być zwierzęciem (być przedstawicielem

jakiegoś gatunku zwierzęcia). Chcemy zatem dokonać podziału wieloczłonowego. Przyjmijmy, że

zakres nazwy człowiek wyklucza się z zakresem nazwy zwierzę, czyli że żaden człowiek nie jest

zwierzęciem i żadne zwierzę nie jest człowiekiem. Wówczas zbiór wyglądałby następująco:

A

B

C

Spełniliśmy warunek jedyności zasady podziału. Nie naruszyliśmy również zasady rozłączności

członów podziału, ponieważ żadne ze zwierząt nie należy do przynajmniej dwóch różnych

podzbiorów zbioru Bohaterowie Bajek, czyli że każde zwierze jest przedstawicielem co najwyżej

jednego gatunku. Niestety suma członów podziału nie jest równa całości dzielonej, tzn. że

przeprowadzony „podział logiczny” jest niezgodny z warunkiem zupełności.

Przypadek II. Spróbujemy dokonać takiego „podziału logicznego”, aby naruszona została zasada

rozłączności członów podziału. Musimy zatem znaleźć taką zasadę podziału, w wyniku której

pewne elementy zbioru Bohaterowie Bajek zostaną przypisani do więcej niż tylko jednego członu

podziału. Niech fundamentum divisionis będzie pochodzenie (narodowość) bohatera. Całość

dzielona wygląda następująco:

Reksio i Miś Uszatek należą do zbioru polskich postaci bajkowych. Dziewczynka z zapałkami

wywodzi się z Danii. Nemo jest bohaterem wymyślonym przez Amerykanów. Pinokio jest

narodowości włoskiej. Problematyczna jest postać Kopciuszka. Może ona wywodzić się z Egiptu,

Grecji, Rzymu, Chin, Francji lub Niemczech.

Przypadek III. Przyjrzyjmy się naszemu zbiorowi Bohaterów Bajek:

Elementami zbiór A są bohaterowie, których przygody przyniosły największe zyski w Polsce.

(Oczywiście tylko zakładamy, że tak jest!!). Zbiór B składa się z ulubionych bohaterów Jasia

Kowalskiego, zaś zbiór C stanowią postaci, których dzieci boją się najbardziej (Nie jest to prawdą,

ale ze względów dydaktycznych, uznajmy, że faktycznie tak jest). Nie mamy tutaj do czynienia z

żadnym podziałem logicznym, ponieważ wszystkie zbiory (A, B, C) zostały wyróżniowe na

podstawie innej zasady, a każdy podział logiczny posiada tylko jeden fundamentum divisionis.

A

B

C

KWALIFIKACJA

I. DEFINICJA

KWALIFIKACJA jest to uznanie, że jakiś przedmiot należy do wyróżnionego zbioru.

II. UWAGI

Zakres nazwy stanowi zbiór jej wszystkich desygnatów, zatem kwalifikacja może być

utożsamiona z rozstrzygnięciem, czy jakiś przedmiot jest albo nie jest desygnatem danej nazwy.

III. Przykład

Mamy następujący przedmiot:

Naszym zadaniem jest zakwalifikować go do właściwego zbioru zwierząt. Na przykład do takiego:

Tygrysek należy do zbioru tygrysów. Zakresem nazwy jest zbiór jej wszystkich desygnatów, zatem

dokonując kwalifikacji rozstrzygnęliśmy, że Tygrysek jest desygnatem nazwy tygrys.

ANALIZA PRZEDMIOTU

I. DEFINICJE

ANALIZA PRZEDMOTU jest to wyodrębnienie w przedmiocie jego części.

Składnik jest to samodzielna część przedmiotu.

Własność jest to niesamodzielna część przedmiotu.

PARTYCJA jest to wyodrębnienie w przedmiocie jego składników, czyli części samodzielnych.

STRATYFIKACJA jest to wyodrębnienie w przedmiocie jego własności, czyli części

niesamodzielnych.

II. UWAGI

1. Partycja może być operacją realną (np. realną partycją na oknie byłoby faktyczne

oddzielenie szyby od ram, wykręcenie klamek, zawiasów)

lub mentalną (np. tylko w myślach oddzielam od siebie szyby, ramę okna, klamki, zawiasy).

2. Stratyfikacja jest zawsze operacją mentalną.

3. Partycję i stratyfikację można przeprowadzać zarówno na zbiorach jak i na indywiduach.

4. Różnica między definicją nominalną a analizą przedmiotu jest taka, że w definicji

nominalnej podawane jest znaczenie definiowanego wyrażenia (metajęzyk), a w analizie

przedmiotu wyodrębniane są części przedmiotu (język przedmiotowy).

5. Różnica między definicją realną a analizą przedmiotu jest taka, że w definicji realnej

podawana jest jednoznaczna charakterystyka przedmiotu (język przedmiotowy), a nie są

wyodrębniane części przedmiotu (język przedmiotowy).

III. Przykład I

SOKRATES

Mentalną partycją jest wyodrębnienie nosa, oczu, brody, łysiny. Gdybyśmy wzięli młotek i

stukając nim w nos, oczy, brodę, łysinę, odłupalibyśmy te części, wówczas dokonalibyśmy

partycji realnej.

Stratyfikacja Sokratesa (mówiąc dokładniej popiersia Sokratesa) polegałaby na

wyodrębnieniu własności twarzy Sokratesa, a więc: brzydka twarz, jajowata głowa, kartoflany nos

itp. .

Podział logiczny danego pojęcia jest to układ przynajmniej dwóch pojęć względem niego podrzędnych i zarazem między sobą równorzędnych.

Lub wyrażając to dokładniej:

Podział logiczny pojęcia A jest to układ pojęć: a1, a2, ..., an taki, że: każde a1 jest A i każde a2 jest A, i każde an jest A, przy czym nieprawda, że każde A jest a1 i nieprawda, że każde A jest a2, itd.

Pojęcie, którego podziału dokonujemy (w naszym przypadku: A), nosi nazwę całości dzielonej (łac. totum divisionis), zaś pojęcia a1 … an to człony podziału (membra divisionis).

Przykładowo: Układ pojęć „kobieta” i „mężczyzna” jest podziałem logicznym pojęcia „człowiek”, ponieważ dwa pierwsze pojęcia są podrzędne zakresowo względem trzeciego. Inaczej to wyrażając: każdy mężczyzna jest człowiekiem i każda kobieta jest człowiekiem, oraz zarazem nieprawda, że każdy człowiek jest mężczyzną i nieprawda, że każdy człowiek jest kobietą.

Podział typologiczny może być ustalony ex post po dokonaniu pomiaru pewnej cechy lub grupy cech charakteryzujących badane obiekty. Zazwyczaj dokonuje się go wtedy na podstawie przeprowadzonej wcześniej klasyfikacji poprzez pominięcie w analizie klas pustych bądź mało licznych, lub poprzez grupowanie pewnych klas posiadających jakąś - uznaną przez badacza za istotna - cechę wspólną, pomimo występowania różnić w innych analizowanych zmiennych (cechach) uznawanych za mniej istotne.

Podział typologiczny Teoretyczną podstawą podziału zakresów nazw omówionego w podrozdziale 12.1 jest teoriomnogościowa zasada abstrakcji (zob. podrozdz. 14.5), która jest zasadą identyfikacji według pewnej relacji równoważności. W przypadkach, gdy wskazanie żadnej równoważności w obrębie zakresu pojęcia nie jest możliwe, a pewne grupy obiektów wykazują podobieństwo do wybranych elementów zakresu pojęcia, tworzona jest typologia, której efektem jest tzw. podział typologiczny.

Typologia jest zabiegiem systematyzującym polegającym na grupowaniu przed­miotów na zasadzie ich podobieństwa. Typem jest nie­ostry zbiór elementów zakresu podobnych do egzemplarza wzorcowego, relacja podobieństwa jest zwrotna i symetryczna − w odróżnieniu od równoważności relacja ta nie jest przechodnia.

Kluczem do określenia typologii jest wskazanie, w oparciu o dostępny zbiór własności, obiektów najbardziej typowych, które pełnią rolę egzem­plarzy wzorcowych i określenie relacji podobieństwa. Egzemplarz wzorcowy musi posiadać wszystkie wymagane własności. Inne obiekty rozważanego zakresu są albo do tego egzemplarza podobne i wówczas należą do typu wyznaczonego przez obiekt wzorcowy, albo nie mogą być do niego podobne i przez to do tego typu nie należeć.

Przykład. W zbiorze wszystkich ludzi typami są (nieostre) zbiory Ł − ludzi łysych,

R − ludzi rudych, Bl − blondynów oraz Br − brunetów. Dla każdego z typów Ł, R, Bl i Br można wskazać obiekty wzorcowe. Dla Ł będzie to osoba nieposiadająca włosów, w przypadku R jakiś „czerwono włosy” Irlandczyk itd.

Formalne warunki poprawności typologicznego podziału pojęcia są zbliżone do warunków rozłączności i adekwatności podziału logicznego, (P_l) i (P₂) w podroz­dziale 12.1. Teraz jednak warunek rozłączności dotyczy egzemplarzy wzorcowych, a warunek zupełności sprowadza się do przynależności dowolnego obiektu do przy­najmniej jednego z wyznaczonych typów.

Zbiór typów {T₁, T₂ , .., T_n} jest podziałem typologicznym niepustego pojęcia A, jeżeli:

(t₁) żaden element zbioru A nie jest egzemplarzem wzorcowym więcej niż jed­nego typu,

(t₂) każdy element zbioru A należy przynajmniej do jednego z typów T₁, T₂ , .., T_n. */* Rozważane są również typologie niespełniające warunku zupełności. Dzieje się tak wówczas, gdy w kontekście ustalonej typologii pojawiają się egzemplarze nietypowe. Np. filmy fabularne niepodpadające pod kryteria gatunkowe, tzw. kino autorskie. < koniec przypisu Efektem nakładania na siebie wielu podziałów typologicznych jest klasyfikacja typologiczna. Nakładanie, tak jak w przypadku podziałów logicznych, polega na wprowadzaniu innych typologii w elementach poprzedniej typologii. Przykład. Podział typologiczny rozważany w przykładzie poprzednim można skrzyżować np. z podziałem zbioru ludzi na: W − wysokich, S − osób średniego wzrostu i N  −  niskich. Otrzyma się wtedy klasyfikację typologiczną: ŁW, ŁŚ, ŁN, RW, RS, RN, BlW, BlS, BlN, BrW, BrŚ, BrN

w której typami są (nieostre) zbiory osób wysokich, łysych (ŁW), łysych średniego wzrostu (ŁŚ), łysych niskiego wzrostu (ŁN) itd.

Podział rzeczowy Podział rzeczowy jest podziałem całości na części. W taki sposób „dzieli się” − zegarek lub inne urządzenie (agregat) na elementy składowe. Teoretyczne podstawy takiej czynności formułowane są przez teorię zbiorów kolektywnych, mereologię. */* Od greckiego słowa meros (część). Twórcą mereologii jest S. Leśniewski. < koniec przypisu

Zbiór kolektywny jest całością zbudowaną z części, które nie posiadają własności przypisanej całości.

Podstawową relacją mereologiczną jest relacja „bycia częścią”. Napis „a b” czytamy „a jest częścią b”. Przyjmujemy, że wszystkim obiektom (zbiorom) uniwersum mereologicznego przysługuje równocześnie status części, jak i całości. */* Wynika to z przyjmowanego przez mereologów założenia, że każdy obiekt jest swoją częścią. Oczywiście, takie rozumienie części odbiega nieco od potocznego. < koniec przypisu

Niektóre spośród nich, będąc całościami, mogą być zarazem częściami innych zbio­rów. Częścią właściwą danego obiektu jest część obiektu od niego różna. Relację ⊲ „bycia częścią właściwą” można zdefiniować w sposób następujący: a ⊲ b wtedy i tylko wtedy, gdy a  b i a ≠b.

Interesująco wypada porównanie  i ⊲ z teoriomnogościowymi relacjami inklu­zji  ⊆ oraz należenia do zbioru   . Relacja   ma te same własności co ⊆: jest zwrot­na, antysymetryczna i przechodnia. Z kolei, ⊲ i są przeciwzwrotne, ale pierwsza z nich jest przechodnia, a druga nie jest przechodnia.

Do kolektywnego rozumienia pojęcia zbioru nawiązuje podział nazw na zbio­rowe i niezbiorowe (por. podrozdz. 2.6). Główną intencją tej charakterystyki jest wyartykułowanie odniesienia nazwy do jej desygnatów posiadających kolektywny charakter. Jeżeli zbiór w sensie kolektywnym jest desygnatem nazwy A, to żaden jego element (żadna jego część właściwa) nie jest desygnatem A.

Wskazanie kolektywu K wiąże się z podaniem wspólnej własności φ_K jego składników, która przysługuje wyłącznie kolektywowi i nie przysługuje jego składnikom. Dla określenia owego „kolektywu” używa się operatora E_x ozna­czającego „ogół wszystkich x”, które spełniają określoną własność. Uniwersalnym odniesieniem do wszystkich elementów równocześnie jest to, że razem tworzą one tę „nierozerwalną” całość, będąc jej elementami K= E_x(φ_K (x)): K jest całością wszystkich obiektów, które spełniają funkcję φ_K (x).

Przykład. (i) Jazzowy kwartet Davea Brubecka z 1959 r. składał się z Davea Brubecka (p), Paula Desmonda (as), Gene Wrighta (b) i Joe Morello (d). Oczywiście żaden z muzyków nie był kwartetem, a wspólną ich własnością jest to, że w owym czasie byli członkami tego kwartetu. Zatem K = E_x(Q(x)), gdzie Q(x) jest własnością bycia członkiem kwartetu Brubecka z 1959 r. Własność Q przysługuje dokładnie czterem wymienionym przed chwilą osobom.

(ii) Podział terytorialny może być podziałem mereologicznym. Takim podziałem jest administracyjny podział terytorium Polski na 16 województw i, podobnie, po­dział województw na powiaty.

Główne intuicje podziału mereologicznego nawiązują do idei „fizycznej" partycji obiektu na „rozłączne” części właściwe (składniki). Rodzina a₁, a₂, ..., a_n jest mereologicznym podziałem A wtedy i tylko wtedy, gdy:

1) każde a_i, i = l, 2,..., n, jest częścią A, a_i A,

2) każde dwa różne elementy, a_i ≠a_k podziału, są mereologicznie rozłączne, tzn. ani a_i nie jest częścią a_k, ani a_k nie jest częścią a_i,

3) wszystkie elementy a₁, a₂, ..., a_n współtworzą razem A, który jest całością utworzoną z tych elementów jako części.

Przykład. Notarialny podział nieruchomości jest podziałem mereologicznym. Dana nieruchomość dzielona jest na poszczególne lokale (mieszkania), w których wydzie­lane są poszczególne elementy: pokoje (P), sypialnie (S), kuchnia (K), łazienka (Ł), taras (T), klatkę schodową, pomieszczenie gospodarcze (PG) itd.

Lokal nr l Lokal nr 2 Lokal nr 3 Lokal nr 4 Klatka schodowa

Nieruchomość przy ul. Piotra Skargi 154

PSKŁPKŁ PKŁTPKŁ schody PG

Porządkowanie Porządkowanie jest rzeczową lub umysłową czynnością, polegającą na ustaleniu kolejności (preferencji) przedmiotów pod pewnym względem. Najprostszym i naj­bardziej pożądanym rodzajem porządku jest tzw. ścisły porządek liniowy, którego zasadą jest ustawienie obiektów

„w linii”, która ma kierunek „dodatni” lub wzrasta­jący. Archetypem takiego porządku jest znana z matematyki oś liczbowa.

Zasadą porządku jest odpowiednia relacja pomiędzy obiektami ustalonego uniwersum. Relacją o najszerszym zastosowaniu jest relacja tzw. częściowego porząd­ku.

Dwuargumentowa relacja ρ na zbiorze A jest częściowym porządkiem A, jeśli dla dowolnych

x, y, z A:

• x ρ x {zwrotność}

• x ρ y ∧ y ρ x→ x=y {antysymetria}

• x ρ y ∧ y ρ z → x ρ z {przechodniość}

Równoważnie mówimy też, że zwrotna, antysymetryczna i przechodnia relacja ρ częściowo porządkuje A.

Dwuargumentowa relacja δ na zbiorze A jest ąuasi-porządkiem A, jeśli jest zwrotna i przechodnia.

Przykład. 1) Relacja ≤ określona w standardowy sposób na liczbach jest częściowym po­rządkiem zbioru liczb rzeczywistych R.

2) Relacja wynikania logicznego ⊨ jest quasi-porządkiem zbioru formuł For KRZ. Zauważmy, że relacja ta nie jest częściowym porządkiem zbioru For, ponie­waż nie spełnia warunku antysymetrii: wystarczy rozważyć dwie tautologie, np. p → p oraz q → q. Jest oczywiście prawdą, że p → p ⊨ q → q oraz  q → q ⊨ p → p, lecz równocześnie p → p ≠ q → q.

Charakterystyczną cechą częściowego uporządkowania zbioru jest dopuszczenie nieporównywalności elementów. Rozmaite przypadki zbiorów częściowo uporząd­kowanych znane są z algebraicznej teorii krat.

Przykład. Rozważmy następujące diagramy:

e f

d

c

a b

Zgodnie z przyjętą w teorii zbiorów i w algebrze konwencją, przyjmujemy, że częściowy porządek ≤ zadany jest kierunkiem od dołu do góry: z dwóch elementów ten jest większy, który na diagramie jest „wyżej” - dokładniej, do którego moż­na „dojść” od drugiego z nich, poruszając się zawsze z dołu do góry po łamanej. W przypadku lewego diagramu:

a  ≤  c  ≤  d, a  ≤  b  ≤  d, a ≤ d, elementy b i c nie są porównywalne.

Prawy diagram określa porządek, według którego:

a  ≤  c ≤ d  ≤  e, a ≤ c ≤ d  ≤  f, b ≤ c ≤ d ≤ e, b ≤ c ≤ d  ≤  f,

a  ≤  d, a ≤ e, a ≤ f, b≤ d, b≤ e,b≤f,

zaś elementy a i b oraz e i f nie są porównywalne.

Częściowe porządki używane są nie tylko w praktyce naukowej, ale też w co­dziennym życiu. Taki charakter mają rozmaite „niezbyt zorganizowane” kolejki. W kolejce po atrakcyjne deficytowe dobro jest zapewne ktoś na pierwszym miejscu, może też ktoś inny na drugim miejscu, ale już do kolejnych równe prawo uzurpu­ją sobie liczni „kolejkowicze”, zwykle im dalej tym „uprawnionych” jest więcej. Dopiero od pewnego miejsca szereg „równouprawnionych” wykazuje „zmienną” tendencję spadkową. W końcu kolejka na ogół zaczyna przybierać postać właści­wą: na następujących po sobie miejscach stoją już „indywidualni” zrezygnowani. Wyglądać to może następująco:

+ czoło kolejki

+

+ +

+ + + + +

+ + + + + + +

+ + + + + +

+ + + + + +

+ + + +

+ + +

+ +

+

+ koniec kolejki

Ewentualne dalsze zabiegi porządkujące imitują inne wypracowywane przez teorię relacji rodzaje porządków. Zaraz wskażemy jeszcze dwa ważne typy relacji porządkujących.

Relacja ρ częściowego porządku zbioru A jest liniowym porządkiem, jeśli jest spójna, tzn. jeśli zachodzi między dowolnymi różnymi elementami:

• x≠y → x ρ y lub y ρ x

Znaczy to, że wszystkie różne elementy zbioru A są porównywalne.

Porządek ρ jest gęsty w A, jeśli dla x≠y, x ρ y implikuje, że istnieje w zbiorze A element z, różny od x i od y, taki, że x ρ z oraz z ρ y. Inaczej mówiąc, w porządku gę­stym pomiędzy dowolne dwa różne elementy można zawsze wstawić inny element.

Przykład. 1) Relacja ≤ jest liniowym i gęstym porządkiem zbioru liczb rzeczywistych R. Zarówno liniowość, jak i gęstość tego porządku wynika natychmiast z reprezentacji zbioru liczb rzeczywistych na osi liczbowej. Gęstość może też być wykazana efek­tywnie poprzez wskazanie operacji przyporządkowującej dwóm liczbom rzeczywi­stym liczbę pośrednią: przykładem takiej operacji jest tworzenie średniej arytme­tycznej (x + y) /2.

2) Relacja ≤ jest liniowym, lecz niegęstym porządkiem zbioru liczb całkowitych C. Rozważmy bowiem dwie dowolne kolejne liczby całkowite, np. 2 i 3. Pomiędzy te liczby nie można wstawić liczby trzeciej.

Definicja i rodzaje definicji

Budowa i rodzaje definicji.

Wyraz „definicja” jest odpowiednikiem łacińskiego definicio - określenie, ograniczenie, natomiast wyraz „finis” - kres, granica, koniec. Od tych słów pochodzi definire - określać, ograniczać.
Definicja jest to określenie czegoś; krótkie objaśnienie czegoś; krótkie informacje o czymś.
Przy pomocy definicji można określić jakąś rzecz, czyli jakiś przedmiot wchodzący w skład rzeczywistości pozajęzykowej lub też można określić jakieś wyrażenie czyli jakiś składnik języka. W dziełach z zakresu logiki bywają zazwyczaj podawane pewne reguły, wskazujące, jakie warunki winny być zachowane w definicji:
- Definicja powinna podawać własność istotną określonego gatunku (rodzaj najbliższy i różnicę gatunkową) - Definicja nie może zawierać terminu definiowanego ( wówczas występuję błędne koło) - Definicja musi ściśle odpowiadać gatunkowi definiowanemu. Definicja musi wyznaczać zakres przedmiotów należących do definiowanego gatunku, musi oznaczać cały ten zakres i nic więcej ponadto. - Definicja nie może być sformułowana za pomocą wyrazów o znaczeniu niejasnym, obrazowym lub wieloznacznym. - Definicja nie powinna być negatywna tam, gdzie może być pozytywna (reguły tej często zastosować nie można i nie zawsze ona obowiązuje).
Definicję, która określa jakąś rzecz nazywamy definicją rzeczową czyli realną. Definicja realna jest krótką informacją o jakiejś rzeczy podającą jednoznaczną charakterystykę danego przedmiotu. Określany przy pomocy definicji realnej przedmiot może być jakąś rzeczą jednostkową gdy, np. określamy co to jest Warszawa mówiąc „Warszawa jest to obecnie największe miasto kraju nad Wisłą”. Definiowany przedmiot może też być zbiorem rzeczy jednostkowych stanowiących jeden gatunek, gdy, np. na pytanie co to jest człowiek odpowiadamy: ”Człowiek jest to stworzenie czujące i rozumne”.
Logika tradycyjna opierając się na stanowisku Arystotelesa definicją nazywała tylko określenie rzeczy. Rozróżniała definicje:
1. esencjalne;
2. przyczynowe;
3. opisowe.
Definicja esencjalna - istotowa
Określa rzecz przez podanie jej cech istotnych. Definicja przyczynowa - genetyczna Podaje przyczynę powstania czyli pochodzenia rzeczy (genezę). Definicja opisowa Polega na wskazywaniu cech swoistych lub przypadkowych jakiejś rzeczy. Definicję, która jest wyjaśnieniem wyrażenia jakiegoś języka nazywamy definicją słowną. Zamiast definicja słowna najczęściej mówi się definicja nominalna. Definicje ze względu na to, do czego się odnoszą możemy podzielić na nominalne i realne. Definicja słowna - nominalna jest informacją o jakimś wyrażeniu podającą przekładalność tego wyrażenia na inne wyrażenia. Polega na zastępowaniu jednych wyrażeń innymi wyrazami, przy czym ten proces zastępowania może zmierzać ku znajdowaniu wyrażeń równoznacznych ze względu na treść lub równoważnych ze względu na zakres występujących nazw. Współczesna logika uważa definicję za określenie dotyczące zasadniczo wyrażeń a nie rzeczy, gdyż przy pomocy definicji objaśniać można wszelkie wyrażenia, lecz nie każde wyrażenie jest nazwą jakiejś rzeczy, dlatego definicje określające jakieś wyrażenia, słowa trafniej jest nazywać definicjami werbalnymi (werbum - słowo), a nie nominalnymi (nomen - nazwa). Ajdukiewicz definicje dotyczące wyrażeń nazywa nominalnymi. Tak pojęte definicje nominalne są zasadniczo określeniami nazw - pewnych wyrażeń, ale ponieważ każda nazwa oznacza jakiś przedmiot, czyli jest nazwą jakiejś rzeczy przeto każda definicja nazwy dotyczy rzeczy, do której ta nazwa się odnosi. Definicja nominalna może określać nazwę z dwu stron: 1. Albo od strony jej treści, czyli znaczenia, kiedy podaje cechy charakterystyczne tworzące treść - sens tej nazwy i przysługujące wspólnie wszystkim przedmiotom, do których ta nazwa się odnosi, np. ”człowiek” znaczy to samo, co „stworzenie czujące i rozumne”. 2. Albo od strony jej zakresu podając jakieś przedmioty należące do zakresu tej nazwy, np. człowiek jest to stworzenie cielesne i rozumne. Kiedy nazwę określa się od strony jej zakresu wtedy zależy tylko od intencji określającego, czyli od celu któremu ma służyć definicja, czy uważać ją za definicje słowną czy realną? Aby zaznaczyć, że w danej definicji chodzi o sens czyli znaczenie nazwy, formułuje się ją w stylizacji słownej czyli werbalnej używając zwrotu „znaczy to samo co” lub „ znaczy tyle co” lub „ to tyle co”. Dla podkreślenia zaś, że w danej definicji chodzi o zakres nazwy czyli o zbiór jej wszystkich desygnatów, a więc pewnych przedmiotów używa się zwrotu „jest to”, nadającego definicji stylizację przedmiotową. Definicje sensowe są formułowane w stylizacji werbalnej i podają równość znaczeń dwóch wyrażeń. Definicje zakresowe nazw są formułowane w stylizacji przedmiotowej i podają równość zakresów dwu nazw. Zarówno definicje słowne podające równość znaczeń dwu wyrażeń, jak i definicje nazw, podające równość ich zakresów, pozwalają przekładać wyrażenia definiowane na definiujące. Definicje zakresowe nazw sformułowane w stylizacji przedmiotowej pełnią ponadto jeszcze inną rolę, a mianowicie podają zarazem jednoznaczną charakterystykę przedmiotów będących desygnatami nazwy definiowanej. Dlatego definicje zakresowe nazw są jednocześnie definicjami realnymi i odwrotnie: każda definicja realna podająca jednoznaczną charakterystykę jakiegoś przedmiotu jednocześnie pozwala przełożyć nazwę tego przedmiotu na inną nazwę. Definicja realna odnosi się do przedmiotu. Np. „Zegar to urządzenie służące do mierzenia czasu”. W ten sposób charakteryzujemy przedmiot, a nie znaczenie wyrazu. Pod względem budowy rozróżniamy:
1. definicje równościowe;
2. definicje nierównościowe.
1. Definicje równościowe
Definicja równościowa składa się z trzech części: definiendum, zwrotu łączącego, definiensa. Spójnik definicyjny może mieć stylizację przedmiotową lub słowną. Jeden z członów definicji zawiera w sobie wyraz definiowany i dlatego człon ten nazywa się członem definiowanym czyli definiendum. Drugi człon, w którym nie występuje wyraz definiowany zwie się członem definiującym czyli jest definiens. Definicja równościowa zawsze wyraża albo równość znaczeń członów definicji albo równość ich zakresów. Definicja równościowa może być wyraźna lub uwikłana. Definicja wyraźna Jest wtedy, gdy człon definiowany składa się tylko z wyrazu definiowanego, np. homo est animal racionale. Kwadrat znaczy to samo, co czworobok o równych bokach i kątach. Definicja uwikłana Jest wówczas, gdy człon definiowany zawiera obok wyrazu definiowanego jeszcze inne wyrazy, np. definicja logarytmu. 2. Definicje nierównościowe
Do definicji nierównościowych należą definicje: kontekstowa, przez wskazanie, przez wyliczenie. Definicja kontekstowa Polega na tym, że zamiast podawania definicji równościowej jakiegoś wyrazu używa się go w jakimś tekście i na podstawie treści tego tekstu poznajemy co znaczy lub co oznacza dany wyraz. Definicja przez wskazanie Zachodzi wtedy, gdy na pytanie co oznacza dany wyraz, wskazuje się konkretny przedmiot nazywany tym wyrazem. Definicja przez wyliczenie Ma miejsce wówczas, gdy na pytanie co oznacza dana nazwa, wylicza się wszystkie lub przynajmniej kilka przedmiotów należących do zakresu tej nazwy. Definicje równościowe nazywamy niekiedy definicjami normalnymi. Ze względu na cel, któremu mają służyć dzielimy je na definicje sprawozdawcze i projektujące. Jeżeli definicja ma na celu tylko wyjaśnienie sensu jakiegoś wyrazu, który już jest znany i używany, czyli już należy do jakiegoś języka wtedy definicja ta ma charakter sprawozdawczy, gdyż tylko zdaje sprawę ze znaczenia wyrazu jaki ten wyraz już posiada. Definicja sprawozdawcza jest skierowana ku przeszłości lub teraźniejszości i stanowi wyraz tego, jak dane wyrażenie rozumiane jest (lub było) w określonym języku. Definicja sprawozdawcza jest również nazywana definicją analityczną, gdyż analizuje - rozkłada na poszczególne elementy znaczenie jakiegoś wyrazu. Jeśli natomiast definicja ma na celu zaprojektowanie sensu dla jakiegoś nowo utworzonego wyrazu, który ma być dopiero wprowadzony do jakiegoś języka albo jeśli nadaje nowy sens jakiemuś już używanemu wyrazowi wtedy nazywa się definicją projektującą - wprowadzającą. Definicja projektująca mówi o znaczeniu wyrażenia na przyszłość. Definicja projektująca nosi nazwę definicji syntetycznej, gdyż nowy sens wyrazu definiowanego określa się przy pomocy znaczeń wyrazów już znanych, używanych. A przeto definicja projektująca zbiera w jedną całość - syntetyzuje znaczenia poszczególnych wyrazów definiujących. Z tej syntezy tworzy sens wyrazu definiowanego. Wszelkie skróty językowe tworzy się też przy pomocy definicji projektującej. Do definicji projektujących należą też tak zwane definicje regulujące, które uściślają znaczenie lub zakres wyrazu już używanego, np. wyrażenie „wiek młodociany” ma swój sens w języku potocznym, ale ten sens jest chwiejny, nieustalony i w niektórych wypadkach trudno jest rozstrzygnąć czy czyjś wiek jeszcze jest młodociany czy już nie. Aby uniknąć rozbieżności ustala się przy pomocy definicji regulującej, np. w regulacjach prawnych, że czyjś wiek jest młodociany wtedy, gdy ten ktoś nie ukończył osiemnastego roku życia. Definicje projektujące czy syntetyczne po spełnieniu swego zadania - wprowadzeniu nowego wyrazu stają się automatycznie definicjami sprawozdawczymi - analitycznymi. Definicje projektujące są wyrażeniami posiadającymi budowę zdania nie są jednak zdaniami w sensie logicznym, gdyż w nich niczego się nie stwierdza, a tylko wyraża się pewien projekt. Projekt zaś nie jest ani prawdziwy ani fałszywy, może być tylko pożyteczny dla osiągnięcia jakiegoś celu i nadawać się do zrealizowania lub też może być niepożyteczny, szkodliwy i nie nadawać się do realizacji. Dlatego definicjom projektującym nie przysługuje żadna wartość logiczna. Nie są one ani prawdzie ani fałszywe i wobec tego nie są zdaniami w sensie logicznym. Definicje projektujące nie wymagają uzasadnień ich przyjęcia i dlatego są definicjami umownymi, dowolnymi - arbitralnymi. Ich przyjęcie zależy tylko od zgody ludzi, którym się je przedstawia.

 

BŁĘDY DEFINICYJNE UWAGA: definicja to źródło informacji o znaczeniu terminu. Aby mogła spełniać swoją rolę, musi spełniać pewne warunki!  

Np.: intuicyjnie czujemy, że w poniższych definicjach coś jest nie tak. 

· Praworządność to postępowanie zgodne z zasadami praworządności.

· Kwadrat to czworokąt równoboczny.

· Pragnienie to stan emocjonalno-motywacyjny, polegający na odczuwaniu braku obiektu pragnienia.

· Jezioro to naturalny zbiornik słodkiej wody.

· Śmierć jest cechą każdego człowieka. 

· Aksjologia to dział filozofii zajmujący się problematyką aksjologiczną.

· Balneologika to nauka o rozumowaniach balneologicznych.

· Zbiorem borelowskim nazywamy zbiór należący do najmniejszego s-ciała zawierającego wszystkie zbiory otwarte.

· Samochód to pojazd mechaniczny.

· Metal szlachetny to złoto i srebro.

· Logika to zjawisko polegające na tym, że myśli się poprawnie.

JAKIE SĄ ŹRÓDŁA BŁĘDÓW DEFINICYJNYCH?

W tej klasyfikacji wyróżniam następujące typy błędów:   

1. Nieznane przez nieznane (tzw. ignotum per ignotum).

2. Błędne koło.

3. Nieadekwatność definicji.

Każdy z tych błędów ma nieco inny charakter: pragmatyczny, formalny, merytoryczny

1. Ignotum per ignotum (nieznane przez nieznane)

SWOBODNIE: termin niezrozumiały definiujemy przy pomocy innych niezrozumiałych terminów

® nie rozumiemy tej definicji

® nie dowiemy się z niej nic o znaczeniu definiowanego terminu

OFICJALNIE: gdy wyrażenie nie należące do naszego języka definiujemy przy pomocy wyrażeń również nie należących do języka

· Błąd ten jest RELATYWNY – zależy od wiedzy adresata definicji

® UWAGA: ma więc charakter pragmatyczny

® definicja nie jest błędna sama w sobie, ale ze względu na wiedzę adresata

Np.: Średnica okręgu to odcinek łączący dwa punkty na okręgu i przechodzący przez środek okręgu.

Paraformaldehyd to mieszanina polimerów formaldehydu.

2. BŁĘDNE KOŁO (circulus in definiendo)  

- gdy wyrażenie jest definiowane przy pomocy niego samego: ”masło maślane”  

WYRÓŻNIAMY DWA TYPY:

1. Bezpośrednie błędne koło (idem per idem – to samo przez to samo) - gdy wyraz definiowany występuje także w definiensie. 

Np.(skrajne):

Fizyka to jest fizyka.

Socjologia to jest socjologia.

Definicja przez abstrakcję to taka definicja, której nie da się sformułować inaczej, niż przez abstrakcję.

Pragnienie to stan emocjonalno-motywacyjny, polegający na odczuwaniu braku obiektu pragnienia.

Praworządność to postępowanie zgodne z zasadami praworządności.

ALE! Często zdarza się, że w definiensie pojawia się termin pochodzący od definiowanego terminu, np.

 Np. (mniej skrajne)

Karbon to substancja, z której robi się karbonowe przedmioty

Estetyka to teoria wartości estetycznych, estetycznych ocen i pragnień człowieka.

Aksjologia to dział filozofii zajmujący się problematyką aksjologiczną.

Parapsychologia to nauka o zjawiskach parapsychologicznych.

Dembranologia to nauka dotycząca mechanizmów dembranologicznych.

Takie definicje też uznajemy za błędne! 

Pośrednie błędne koło: kilka „zapętlonych” definicji:

Według następującego schematu ( układ trzech definicji klasycznych): 

A odwołuje się do B

B odwołuje się do C

C .....   ....odwołuje się do A.

Np.:

(1) Logika jest to nauka o myśleniu logicznym.

(2) Myślenie logiczne jest to myślenie jasne, wyraźne i zgodne z regułami racjonalności.

(3) O tym, czy myślenie jest zgodne z regułami racjonalności, decydują kryteria logiczne.

(4) Te zaś są przedmiotem badań logiki.

 A jest to BC

B jest to DE

E jest to AF

Np.:

(1) Biologia to nauka o organizmach żywych.

Organizmy żywe to te organizmy, które są przedmiotem zainteresowania biologii

OFICJALNY OPIS: błędne koło pośrednie występuje, gdy wyraz jest definiowany za pomocą niego samego za pośrednictwem kilku definicji, które wskutek tego tworzą wspólnie błędne koło, mimo, że każda z tych definicji z osobna jest poprawna. 

3. NIEADEKWATNOŚĆ DEFINICJI  

Gdy zakresy definiendum i definiensa różnią się, tj. gdy definiendum i definiens nie są sobie równoważne 

 Wyróżnimy cztery przypadki tego błędu:

(1) Definicja za szeroka.

(2) Definicja za wąska.

(3) Krzyżowanie się zakresów.

(4) Błąd przesunięcia kategorialnego 

3.1. Definicja  ZA SZEROKA

zakres definiensa JEST SZERSZY niż zakres definiendum) - Np.:

(a) Psychologia to nauka o człowieku.

® BŁĄD! Oprócz psychologii jest wiele innych nauk o człowieku.

(b) Kwadrat to czworokąt równoboczny.

® BŁĄD! – przecież taki warunek spełniają też romby.

UWAGA NA CZĘSTY BŁĄD!!!

Co jest złego w definicji „pies to ssak”? Przecież to prawda...

CEL DEFINICJI: adekwatna charakteryzacja terminu!!! 

3.2. Definicja ZA WĄSKA - zakres definiensa JEST WĘŻSZY niż zakres definiendum             

Np.: (a) Parlamentarzysta to poseł.

® BŁĄD! Oprócz posłów w parlamencie są też senatorowie.

(b) Metal szlachetny to złoto i srebro.

® BŁĄD! Oprócz złota i srebra są też inne metale szlachetne.

3.3. KRZYŻOWANIE SIĘ zakresów 

(a) Jezioro to naturalny zbiornik słodkiej wody.

(b) Samochód to pojazd przeznaczony do przewozu ludzi.

(c) Dzieło sztuki to wykonany celowo przedmiot, który jest uznawany przez większość ludzi za piękny.

(d) Rower to jednoosobowy pojazd dwukołowym wyposażony w siedzisko.

3.4. ROZŁĄCZNOŚĆ zakresów

· TU: Interesuje nas pewien szczególny rodzaj takiej rozłączności, który bierze się stąd, że definiendum i definiens odnoszą się do obiektów zupełnie innych typów, np.:

Wybuch to cecha materiałów, które ulegają gwałtownym reakcjom chemicznym.

Wybuch nie jest cechą tylko zdarzeniem. 

Śmierć jest cechą każdego człowieka. 

Śmierć nie jest cechą tylko zdarzeniem.

Mamy do czynienia  z błędem tzw. przesunięcia kategorialnego.

Mówiąc swobodnie, błąd ten polega na tym, że całkowicie pomyliły nam się typy przedmiotów o których mówią definiendum i definiens.  

UWAGA: Błąd ten ma fundamentalny charakter – nie polega na tym, że np.  szczury nam się pomyliły z myszami, albo trapezy z rombami.  

Błąd ten polega na pomieszaniu kategorii pojęciowych! Np.:

(a) Logika to zjawisko polegające na tym, że myśli się poprawnie.

®  logika nie jest zjawiskiem

(b) Starzenie się jest rzeczą, którą posiada każdy człowiek.

® starzenie się to proces, a nie rzecz.

(c) Kryzys demograficzny to społeczeństwo, w którym jest mało dzieci.

® kryzys to nie jest typ społeczeństwa

 CZYM GROZI BŁĄD DEFINICYJNY?

- w wypadku definicji sprawozdawczej powoduje jej fałszywość;

- w wypadku definicji projektującej może powodować jej nieużyteczność.

UWAGA: Na definicję nakładamy więc następując warunki:

(1) Ma być zrozumiała - Rozmówca musi rozumieć, o co chodzi!

(2) Ma nie zawierać błędnego koła - Nie możesz się zapętlić!

(3) Ma definiować to, o co chodzi (być adekwatna) - Bądź staranny w charakteryzowaniu definiowanych terminów!

PODSUMOWANIE:

· Trzy kategorie błędów:

(1) Błąd pragmatyczny ignotum per ignotum = wyrażenie niezrozumiałe (dla odbiorcy) definiujemy również przy pomocy wyrażenia niezrozumiałego.

(2)  Błąd błędnego koła = w definicji wyrażenia odwołujemy się do niego samego.

(3) Błąd merytoryczny (nieadekwatność definicji) - cztery typy nieadekwatności definicji: za wąska, za szeroka, krzyżowanie się zakresów, rozłączność zakresów.

Przyczyny nieporozumień

Wieloznaczności i ryzyko sporu słownego (→ logomachii).

Supozycje (role znaczeniowe) nazw:

prosta: „Wczoraj na podworku widziałem psa.”

„Pies podał mi łapę.”

formalna: „Pies jest popularnym zwierzęciem domowym.”

materialna: „≪Pies≫ składa się z 4 liter.”

Supozycje (role znaczeniowe) czasownikow:

znaczenie aktualne / znaczenie potencjalne:

„Piotr gra w szachy.”

Nieporozumienia spowodowane przez okazjonalność:

ja, ty, on, ona, tutaj, tam, teraz, dzisiaj, wczoraj, itp.

Nieporozumienia spowodowane przez okazjonalność:

ja, ty, on, ona, tutaj, tam, teraz, dzisiaj, wczoraj, itp.

automatyczne wyrażenia okazjonalne

versus

wyrażenia wskazujące

Nieporozumienia spowodowane przez okazjonalność:

referencyjne / anaforyczne użycie wyrażeń okazjonalnych

„On jest pilotem”

„Piotr jest pilotem. On jest wspaniały!”

Nieporozumienia spowodowane przez okazjonalność:

„Piotr podarował Jankowi samochod. Chyba go lubię!”

Ekwiwokacja:

→ błąd logiczny powstały na skutek używania w wywodzie

tego samego słowa lub zwrotu w rożnych znaczeniach,

mimo że względy poprawności wymagają, by znaczenie

było to samo.

Jeśli ktoś jest pełnoletni, może kupić dom.

Jeśli ktoś może kupić dom, to ma dużo pieniędzy.

Jeśli ktoś jest pełnoletni, to ma dużo pieniędzy.

Ekwiwokacja:

→ błąd logiczny powstały na skutek używania w wywodzie

tego samego słowa lub zwrotu w rożnych znaczeniach,

mimo że względy poprawności wymagają, by znaczenie

było to samo.

Jeśli Piotr jest inteligentny, to gra w szachy.

Jeśli Piotr gra w szachy, to nie może do nas przyjść.

Jeśli Piotr jest inteligentny, to nie może do nas przyjść.

Ekwiwokacja:

→ błąd logiczny powstały na skutek używania w wywodzie

tego samego słowa lub zwrotu w rożnych znaczeniach,

mimo że względy poprawności wymagają, by znaczenie

było to samo.

Pegaz jest skrzydlatym koniem.

Pegaz jest.

Amfibolie, czyli wieloznaczności składniowe

― wieloznaczność strony czynnej:

„Dzieci zjadły rekiny.”

„Środki wyznaczają cele.”

„Byt określa świadomość.”

„Spadek indeksow giełdowych spowodował wzrost

bezrobocia.”

„Koszty przewyższają dochody.”

Amfibolie, czyli wieloznaczności składniowe

― wieloznaczność składni dopełniacza:

„krytyka opozycji”,

„oskarżenie ministra”,

„książka Jana”,

„polski oboz koncentracyjny”,

„Piotr przedstawił krytykę teorii, ktora ma wiele luk.”

Amfibolie, czyli wieloznaczności składniowe

― wieloznaczność spowodowana brakiem przecinka:

„Wypuścić nie wolno rozstrzelać”

(treść rozkazu na piśmie).

Amfibolie, czyli wieloznaczności składniowe

― inne przykłady:

„Jan zakopał skarb wraz z żoną i teściową.”

„W przychodni nie przyjmuje się dzieci z gorączką lub

obrzękiem szyi i wysypką.”

„Zatrudnię osobę potrafiącą obsługiwać komputer i

tapicera.”