Mateusz Ślęczek

WYZNACZANIE PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO
PRZY UŻYCIU WAHADŁA REWERSYJNEGO

Tabela pomiarowa (dla krążka K₁):

Lp.	odległość x, m	czas 20T, s	dokł. Δ20T	okres T, s (na podst. obl.)
1	0,04	32,756	0,005	1,638
2	0,08	28,151	0,005	1,408
3	0,12	23,736	0,005	1,187
4	0,16	22,867	0,005	1,143
5	0,2	23,003	0,005	1,150
6	0,24	23,504	0,005	1,175
7	0,28	25,160	0,005	1,258
8	0,32	26,093	0,005	1,305
9	0,36	27,081	0,005	1,354

Tabela pomiarowa (dla krążka K₂):

Lp.	odległość x, m	czas 20T, s	dokł. Δ20T, s	okres T, s (na podst. obl.)
1	0,04	26,766	0,005	1,338
2	0,08	26,120	0,005	1,306
3	0,12	25,648	0,005	1,282
4	0,16	25,407	0,005	1,270
5	0,2	25,311	0,005	1,266
6	0,24	25,368	0,005	1,268
7	0,28	25,357	0,005	1,277
8	0,32	25,802	0,005	1,290
9	0,36	26,145	0,005	1,307
10	0,4	26,676	0,005	1,334

tEORIA:

Bryła sztywna to ciało, które nie ulega odkształceniom niezależnie od wielkości działających na nie sił, co w praktyce oznacza, że odległość między dwoma jakimikolwiek elementami masy Δm tego ciała pozostaje stała.

Przypuśćmy teraz, że nasze ciało obraca się z pewną prędkością kątową wokół stałej osi. Jeżeli element masy Δm_j jest w odległości r_j od osi obrotu, to możemy zdefiniować tzw. moment bezwładności I, który wyraża się wzorem:

$$I = \sum_{}^{}{\text{Δm}_{j}r_{j}^{2}}$$	((1)

Idealny, modelowy przyrząd do wyznaczania wartości przyspieszenia grawitacyjnego to wahadło matematyczne, ponieważ wzór na okres drgań takiego wahadła zadany jest poprzez równanie:

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$$	((2)

Aby wyznaczyć g wystarczyłoby znać jedynie długość i okres drgań takiego wahadła. Przypomnijmy, że równanie to odnosi się jednak do modelu czysto teoretycznego. Wahadłem matematycznym nazywamy bowiem masę punktową (punkt materialny) zawieszoną na nieskończenie cienkiej, nieważkiej nici. Nietrudno zatem odgadnąć, że wahadło takie nie istnieje i w praktyce jest zastępowane przez, np.: kulkę zawieszoną na cienkiej nici. Niestety jest to przyczyną licznych i dość dużych błędów przy wykonywaniu pomiarów i wyznaczaniu przyspieszenia ziemskiego g. By zapobiec tego typu defektom wykorzystuje się tzw. grawitacyjne wahadła fizyczne. Są to ciała sztywne wykonujące ruch okresowy wokół osi poziomej. Wzór na okres drgań takiego wahadła wygląda następująco:

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{J}{D}}$$	((3)

gdzie J jest momentem bezwładności wahadła względem osi obrotu, natomiast D oznacza tzw. moment kierujący. Wyznaczenie momentu bezwładności oraz momentu kierującego dla ciała o dowolnym kształcie może sprawić nam niemało trudności. Aby ich uniknąć zamiast wahadła fizycznego stosuje się tzw. wahadło rewersyjne (wahadło Katera). Wahadło takie składa się z pręta i dwóch krążków, z których jeden można swobodnie przesuwać po pręcie między dwoma ostrzami oddalonymi od siebie o długość L. Można znaleźć takie położenie ruchomego krążka, że okresy drgań wahadła zawieszonego zarówno na jednym jak i na drugim ostrzu są takie same. Wtedy odległość L między ostrzami, zwana długością zredukowaną jest identyczna jak długość wahadła matematycznego o takim samym okresie. Aby wyznaczyć przyspieszenie ziemskie g, wystarczy zatem do przekształconego równania (2) podstawić
T =T₁=T₂ oraz L=l.

Metoda ta prowadzi do bardzo dobrych, dokładnych wyników, min ze względu na precyzyjne określenie długości L wahadła zredukowanego.

WYKONANIE EKSPERYMENTU:

Najpierw zawiesiłem wahadło na ostrzu O1, i pobudziłem je do drgań o małej amplitudzie i wyznaczyłem okres (przez pomiar 20 wahnięć). Następnie, zmieniając co

4 cm odległość x krążka K2 od ostrza O1, wyznaczyłem kolejne okresy drgań dla każdego z tych położeń. Gdy skończyłem, zawiesiłem wahadło na ostrzu O2, i powtórzyłem powyższe czynności.

W drugiej fazie eksperymentu sporządziłem wykresy zależności okresów drgań od odległości x, dla obu krążków. Następnie odczytałem wartość odległości x w punkcie przecięcia obu krzywych, dla którego okresy drgań T1 i T2 dla obu krążków są takie same. Później ustawiłem krążek K2 w tym położeniu aby sprawdzić, czy okres drgań wahadła jest zgodny z wyznaczonym na podstawie wykresu.

Trzecia i ostatnia faza doświadczenia polegała na tym, aby ustawić długość zawieszonego na tym samym statywie wahadła matematycznego na wartość długości zredukowanej L i zmierzyć jego okres drgań.

OBLICZENIA:

$$\mathbf{T =}\frac{\mathbf{20T}}{\mathbf{20}}$$

Dla krążka K2: $$1.T = \frac{32,756}{20} = 1,638\lbrack s\rbrack$$ $$2.T = \frac{28,151}{20} = 1,408\lbrack s\rbrack$$ $$3.T = \frac{23,736}{20} = 1,187\lbrack s\rbrack$$ $$4.T = \frac{23,867}{20} = 1,143\lbrack s\rbrack$$ $$5.T = \frac{23,003}{20} = 1,150\lbrack s\rbrack$$ $$6.T = \frac{23,504}{20} = 1,175\lbrack s\rbrack$$ $$7.T = \frac{25,160}{20} = 1,258\lbrack s\rbrack$$ $$8.T = \frac{26,093}{20} = 1,305\lbrack s\rbrack$$ $$9.T = \frac{27,081}{20} = 1,354\lbrack s\rbrack$$

Dla krążka K1: $$1.T = \frac{26,766}{20} = 1,338\lbrack s\rbrack$$ $$2.T = \frac{26,120}{20} = 1,306\lbrack s\rbrack$$ $$3.T = \frac{25,648}{20} = 1,282\lbrack s\rbrack$$ $$4.T = \frac{25,407}{20} = 1,270\lbrack s\rbrack$$ $$5.T = \frac{25,311}{20} = 1,266\lbrack s\rbrack$$ $$6.T = \frac{25,368}{20} = 1,268\lbrack s\rbrack$$ $$7.T = \frac{25,537}{20} = 1,277\lbrack s\rbrack$$ $$8.T = \frac{25,802}{20} = 1,290\lbrack s\rbrack$$ $$9.T = \frac{26,145}{20} = 1,307\lbrack s\rbrack$$ $$10.T = \frac{26,676}{20} = 1,334\lbrack s\rbrack$$

Powyższe obliczenia wykorzystałem do wykonania wykresów:

Można odczytać, że wartość funkcji T1(x) = T2(x) = 1,305s dla odległości x ≈ 0,31m, zatem przyspieszenie ziemskie można obliczyć, ze wzoru:

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}},\ gdzie\ l = x\ i\ \pi \approx 3,141$$

$$g = \frac{4\pi^{2}l}{({T1)}^{2}} = \frac{4 \bullet {(3,141)}^{2} \bullet 0,31m}{{(1,305s)}^{2}} \approx 7,186\ m/s^{2}$$

$$u(g) = g\left( \frac{u(l)}{l} + 2 \bullet \frac{u(T)}{T} \right)$$

$$u\left( g \right) = 7,6 \bullet \left( \frac{5 \bullet 10^{- 4}}{0,31} + 2 \bullet \frac{0,005}{1,305} \right) \approx 0,067$$

zatem: g = 7, 6(67)m/s²

Na tej wysokości okres drgań wahadła matematycznego wyniósł T = 1, 269s. Skoro tak, to wartość przyspieszenia ziemskiego g dla wahadła matematycznego obliczymy, ze wzoru:

$$g = \frac{4\pi^{2}l}{({T1)}^{2}} = \frac{4 \bullet {(3,141)}^{2} \bullet 0,31m}{{(1,269s)}^{2}} \approx 7,6\ m/s^{2}$$

Niepewność standardowa wynosi:

$$u(g) = g\left( \frac{u(l)}{l} + 2 \bullet \frac{u(T)}{T} \right)$$

$$u\left( g \right) = 7,6 \bullet \left( \frac{5 \bullet 10^{- 4}}{0,31} + 2 \bullet \frac{0,005}{1,269} \right) \approx 0,072\ $$

zatem: g = 7, 6(72)m/s²

Wnioski:

Na podstawie przeprowadzonego doświadczenia trzeba stanowczo stwierdzić, że pomiary zostały wykonane nieprawidłowo. Świadczą o tym dwie rzeczy: po pierwsze, obliczone wartości przyspieszenia ziemskiego nie są nawet zbliżone do wartości tablicowej (g = 9, 8m/s²); po drugie wyniki otrzymane zarówno z pomiarów przeprowadzonych dla wahadła rewersyjnego jak i matematycznego różnią się od siebie również dość znacząco. Moim zdaniem przyczyną tych rozbieżności są problemy związane ze sprzętem. Podczas zmiany pozycji krążka K2 zauważyłem, że śruba mocująca krążek na pręcie nie zawsze dobrze go dociska, umożliwiając mu zsuwanie się; poza tym podczas jednego z pomiarów, prawdopodobnie siódmego co wnioskuję na podstawie wykresu, ostrze wahadła wysunęło się ze szczeliny co mogło zmienić okres jego drgań.