1. Wstęp teoretyczny

Drgania (oscylacje) – procesy, w trakcie których pewne wielkości fizyczne na przemian rosną i maleją w czasie. Klasyfikując drgania ze względu na działanie sił zewnętrznych na układ drgający, można wymienić :

• Drgania swobodne – występują, gdy na układ nie działa żadna zmienna siła zewnętrzna, która wpływa na proces drgań. Stała siła o niewielkiej wartości lub działająca w układzie liniowym nie wpływa na drgania ciała, jedynie przesuwa położenie równowagi. Układ taki jest zachowawczy, tzn. energia drgań nie zmienia się.

• Drgania nieswobodne, wymuszone – powstają pod wpływem siły zewnętrznej, okresowo zmiennej. Mogą prowadzić do wielkiego wzrostu amplitudy drgań, a nawet do zniszczenia układu, gdy częstotliwość siły wymuszającej jest bliska lub równa częstotliwości drgań własnych układu – powstaje tzw. rezonans drgań.

Rozpatrując liniowość drgań, wyróżniamy drgania linowe i drgania nieliniowe.

Drgania anharmoniczne, drgania nieliniowe – drgania wykonywane przez układ mechaniczny, w którym działające siły nie są proporcjonalne do odchyleń współrzędnych od położenia równowagi, tylko są związane w bardziej skomplikowany sposób z tymi odchyleniami. Okres drgań anharmonicznych zależy od ich amplitudy. Wszystkie rzeczywiste układy mechaniczne wykonują właśnie drgania anharmoniczne.

Ze względu na występowanie tłumienia drgania dzielimy na nietłumione i tłumione.

Drgania nieswobodne, tłumione – powstają np. pod wpływem sił tarcia (np. gdy siła jest proporcjonalna do prędkości ciała i przeciwnie skierowana) – wtedy energia drgań zmniejsza się, zamieniając się w energię cieplną; tłumienie drgań układu powstaje też, gdy oddziałuje on na inny układ, oddając mu część lub całość swojej energii.

Dekrement tłumienia – stosunek dwóch kolejnych amplitud w ruchu tłumionym

gdzie

A_n – amplituda n-tego drgania,

A_n+1 – amplituda następnego drgania.

Logarytmiczny dekrement tłumienia jest to logarytm naturalny dekrementu tłumienia

W przypadku harmonicznych drgań tłumionych wartość zarówno dekrementu jak i logarytmicznego dekrementu jest stała w czasie, dlatego do wyznaczenia tych parametrów nie jest konieczna znajomość dwóch kolejnych amplitud. Wystarczy znać amplitudę A_n n-tego drgania i amplitudę A_m m-tego drgania, wówczas

Ruch harmoniczny prosty - ruch drgający, w którym na ciało działa siła o wartości proporcjonalnej do wychylenia ciała z położenia równowagi, skierowana zawsze w stronę punktu równowagi. Wykres wychylenia ciała od położenia równowagi w zależności od czasu jest tzw. krzywą harmoniczną (np. sinusoidą).

1. Cel ćwiczenia :

• Wyznaczenie podstawowych parametrów drgań tłumionych: okresu (T), częstotliwości (f), częstotliwości kołowej (ω), współczynnika tłumienia (β),logarytmicznego dekrementu tłumienia (Λ).

1. Wykaz przyrządów :

• Wahadło fizyczne (z obciążnikiem i tarczą o regulowanym ustawieniu).

• Tłumik o regulowanym ustawieniu.

• Kątomierz do pomiaru kąta wychylenia wahadła

• Stoper

1. Wyniki pomiarów i ich opracowanie

1. Tabele przedstawiające wyniki pomiarów

1. Zależność parametrów drgań wahadła fizycznego od amplitudy drgań

Dla n = 50

α0 [°]	10	20	30	40	50
∆α0 [°]	1
α0 [rad]	0,175	0,34908	0,52362	0,69815	0,87269
u(α0) [rad]	0,0175
t [s]	70,25	72,75	60,98	60,11	61,72
u(t) [s]	0,116
T [s]	1,40500	1,45500	1,21960	1,20220	1,23440
u(T) [s]	0,00232	0,00232	0,00232	0,00232	0,00232
f [Hz]	0,71200	0,68700	0,82000	0,83200	0,81000
u(f) [Hz]	0,00120	0,00110	0,00156	0,00160	0,00152
ω [rad/s]	4,472	4,183	5,152	5,226	5,090
u(ω) [rad/s]	0,010	0,010	0,010	0,010	0,010

α₀ – wychylenie z położenia równowagi

∆α₀ – dokładność kątomierza

u (α₀) – niepewność kąta

t – czas 50 drgań

u(t) – niepewność t

T – okres

u(T) – niepewność okresu

f – częstotliwość

u(f) – niepewność częstotliwości

ω – częstość kołowa

u(ω) –niepewność częstości kołowej

Na podstawie równania: ω = ω₀ −  c₂ *  ω₀ *  α₀²

wyznaczono częstotliwość kołową drgań swobodnych ω₀ oraz współczynnik c₂ w tym równaniu. W tym celu wyniki z punktu 4.2 i 5.1 przedstawiono na wykresie ω = F(α₀²):

Jest to równanie prostej typu: y = ax+ b , gdzie a = - c₂* ω₀ oraz b = ω₀

c₂ ≈ 0,26

ω₀  ≈ 4, 44

1. Pomiary drgań tłumionych wahadła fizycznego.

• jeden tłumik

A [°]	50	40	30	20	10
∆A [°]	1
A [rad]	0,87269	0,69815	0,52362	0,34908	0,17454
u(A) [rad]	0,0175
t1 [s]	0	4,76	8,14	15,76	30,91
t2 [s]	0	3,93	7,70	14,19	26,62
t3 [s]	0	3,89	7,82	15,53	30,87
$\overline{t}$ [s]	0	4,19	7,89	15,16	29,47
S$\overline{t}$ [s]	0	0,284	0,132	0,490	1,43
∆tm [s]	0,01
∆te [s]	0,2
u(t) [s]	0,116	0,545	0,307	0,503	1,43

Dla n = 50

t_n = 62,68 [s]

T = 1,2536 [Hz]

Na podstawie moich pomiarów wykonałam wykres zależności amplitudy (A) od czasu drgań tłumionych (t) :

Wartość liczbowa współczynnika kierunkowego prostej jest równa wartości liczbowej współczynnika tłumienia ośrodka: β=-a.

β ≈ 0,023

Logarytmiczny dekrement tłumienia drgań tłumionych wynosi:

Λ = β * T = 0,0228 * 1,2536 ≈ 0,03

• Dwa tłumiki

A [°]	50	40	30	20	10
∆A [°]	1
A [rad]	0,87269	0,69815	0,52362	0,34908	0,17454
u(A) [rad]	0,0175
T1 [s]	0	2,68	7,74	15,24	30,45
T2 [s]	0	3,60	7,56	13,79	30,24
T3 [s]	0	3,68	7,76	14,05	26,40
$\overline{t}$ [s]	0	3,320	7,690	14,360	29,03
S$\overline{t}$ [s]	0	0,342	0,064	0,447	1,32
∆tm [s]	0,01
∆te [s]	0,2
u(t) [s]	0,116	0,361	0,132	0,462	1,33

Dla n = 50

t_n = 62,84 [s]

T = 1,2568 [Hz]

Wykres A(t) :

β ≈ 0,023

Λ ≈ 0,03

1. Wzory :

• u (t) = $\sqrt{s_{\overline{t}}^{2} + \ s_{m}^{2} + \ s_{e}^{2}}$

• $\overline{t}$ = $\frac{t_{1} + t_{2} + t_{3}}{3}$ = $\frac{1}{3}\ \sum_{i = 1}^{3}t_{i}$

• $s_{\overline{t}}\text{\ \ }$= $\sqrt{\frac{\sum_{i}^{3}{(t_{i} - \overline{t})}^{2}}{3(3 - 1)}}$ ,dla obliczeń w części A przyjmuję $s_{\overline{t}}$ = 0

• s_m = $\frac{t_{m}}{\sqrt{3}}$ , ∆t_m = 0,01 s

• s_e = $\frac{t_{e}}{\sqrt{3}}$ , ∆t_e = 0,2 s

• δ_ω = δ_f = δ_T = δ_t

• δ_t = $\frac{u(t)}{t}$

• T = $\frac{t}{n}$

• u(T) = δ_{t *} T

• f = $\frac{1}{T}$

• u(f) = δ_t * f

• ω = 2πf

• u(ω) = δ_t * ω

1. Przykładowe obliczenia :

• S_m = $\frac{0,01\ s}{\sqrt{3}}$ $\ \tilde{\sim}$ 0,0058 s

• $s_{\overline{t}}$ =$\sqrt{\frac{\left( 4,76 - 4,19 \right)^{2} + \ \left( 3,93 - 4,19 \right)^{2} + \ \left( 3,89 - 4,19 \right)^{2}}{6}}\ \approx$ 0,284 s

• s_e = $\frac{0,2s}{\sqrt{3}}$ ≈ 0,116 s

• u(t) = $\sqrt{\left( 0,284\ s \right)^{2} + \ \left( 0,0058\ s \right)^{2} + \left( 0,116\ s \right)^{2}\ }\ \approx$ 0,545 s

• δ_t = $\frac{0,116\ s}{70,25\ s}$ ≈ 0,0017

• T = $\frac{70,25\ s}{50}$ =1,405 s

• u(T) =0,0017 * 1,405 s ≈ 0,00232 s

• f =$\ \frac{1}{1,405\ s}$ ≈ 0,712 Hz

• u(f) = 0,712 Hz * 0,0017 ≈ 0,0012 Hz

• ω = 2π * 0,712 Hz ≈ 4,472 $\frac{\text{rad}}{s}$

• u(ω) =4,472 $\frac{\text{rad}}{s}$* 0,0017 ≈ 0,01 $\frac{\text{rad}}{s}$

1. Wnioski

• Przeprowadziłam pomiary drgań dla minimalnego tłumienia ośrodka. Na podstawie moich pomiarów wyznaczyłam podstawowe parametry drgań : okres(T) i częstotliwość(f). Metodą regresji liniowej wyznaczyłam częstotliwość kołową drgań swobodnych (ω₀).

• W drugiej części pomiary były wykonywane dla drgań tłumionych. Pomiarów dokonano dla jednego tłumika zamocowanego na wahadle fizycznym oraz dla dwóch tłumików. Wyznaczyłam okres drgań tłumionych, ich częstotliwość oraz częstotliwość kołową. Metodą regresji liniowej wyznaczyłam współczynnik tłumienia ośrodka (β). Znając współczynnik β, mogłam obliczyć logarytmiczny dekrement tłumienia drgań tłumionych (Λ).