1942 elipsoida Krasowkiego, odwz G-K, wierny obraz południka środkowego, pasy 6stopniowe, skale: 1: 25 000- modyfikowanie skal mniejszych np. 1: 50 000 podział międzynarodowy- godło zgodne- podział arkuszowy po obrazach południków i równoleżników 1965 eliposida Krasowskiego, odwz G-k, skale 1: 10 000, 1: 25 000, 1: 50 000; gugig 80 odwzorowanie quaisistereograficzne, jedna strefa obejmuje cały kraj, skale 1: 100 000, podział na arkusze, siatka karto jest lekko przesunięa i skrecona, skale 1: 50 000; 1922 odwzor G-k, 1 strefa obejmuje cały kraj, odorz modyfikowane, skale 1: 5000, 1: 10 000, podział na arkusze Borowa góra:powierzchnia odniesienia- elipsoida Bessela, odwor G-K w pasach 6 stop modyfikowane, zmniejszenie skali na południku środkowym z 1 na 0.9993, skale 1: 100 000a

Ogólny podział map m geograficzne: m ogólnogeograficzne ( Ze wzgl na skalę oraz związany z nią zakres i stopień uogólnienia treści, m ogólnogeog dzielą się na: m top wielkoskalowe w s 1 : 5 000 i 1 : 10 000; m topo średnioskalowe w skalach 1 : 25 000, 1 : 50 000 i 1 : 100 000; m topo małoskalowe w s od 1 : 200 000 do 1 : 500 000 włącznie), m tematyczne ( społeczno gospodarcze, przyrodnicze) Mapy ogólnogeograficzne zawierają wszystkie gł elementy krajobrazu powierzchni Ziemi jak: hydrografię, rzeźbę t, osiedla, drogi, lasy, użytki rolne itd. przedstawione z jednakowym względnym stopniem szczegółowości. Mapa topograficzna stanowi obraz kartograficzny przestrzeni geog jakie tworzą elem fiz- eog występujące na powierzchni ziemi, konstruowane wg okreś zasad mat i graf, Mapy te dają wszechstronną charakterystykę wzajemnego rozmieszcz enia obiektów i zjawisk terenowych, ich cechy jakościowe, ilościowe oraz nazwy i opisy. Wszystkie elementy przestrzeni geog w obrazie karto map topo są praktycznie równoważne Treść map topograficznych stanowią: os mat (siatka kartogr lub siatka kilometrowa, narożniki arkuszy), skala i podziałka mapy oraz punkty osnowy geo; osiedla; obiekty przemysłowe, rolnicze i socjalno-kulturalne; koleje i urządzenia z nimi związane; dr i urządzenia z nimi zw; wody i urządzenia z nimi zw; roślinność, uprawy i grunty; granice: państwa, jednostek administracyjnych, użytków itd.; rzeźba t, opisy informacyjne związane z treścią m. Treść map przedstawiona jest znakami umownymi ustalonymi we wzorach i objaśnieniach znaków topo map w odpo s oraz zgodnie ze wzorami map w instrukcji. Przeznaczenie map topograficznych m te przeznaczane są do zaspokojenia różnorodnych potrzeb gospodarczych: wykonanie pomiarów i obl gik, sporządzenia planów zagospodarowania przest ich realizacja, rozwiązanie problemów naukowo- bad,studia nad t i ocena specyfiki t, jako materiał podkładowy do opracowań m temat.

Offset, druk offsetowy – przemysłowa odmiana druku płaskiego, w której obraz przenoszony jest z płaskiej formy drukowej na podłoże drukowe (np. papier) za pośrednictwem cylindra obciągniętego gumą, (tzw. obciągu). Offset jest obecnie jedną z najpopularniejszych technik druku.

Offset wodny – do pojawienia się offsetu bezwodnego technika offsetowa zawsze wiązana była z drukiem z użyciem roztworu nawilżającego. W klasycznym offsecie, tj. wodnym, na płaskiej powierzchni formy drukowej znajdują się miejsca hydrofilowe, i te zwilża roztwór wodny, oraz miejsca hydrofobowe, i te zwilża farba drukowa. Między środowiskiem roztworu wodnego a środowiskiem offsetowej farby olejowej wy

Offset bezwodny – rodzaj druku offsetowego, w którym forma drukowa nie jest zwilżana środkiem zwilżającym, tj. wodą z dodatkami. Do druku bezwodnego stosowane są specjalne formy drukowe (formy silikonowe) i specjalne farby cechujące się wysokim napięciem powierzchniowym. stępuje odpychanie

Mapy tematyczne: M społeczno-gos są to mapy obrazujące wybrane zjawiska oraz stosunki gos i społeczne określonego obszaru. Mapy te zawierają informacje ilustrujące określone zagadnienia z zakresu struktury zagospodarowania terenu oraz zagadnienia i zjawiska społeczne przedstawione na tle odpowiednio dobranej mapy ogólnogeog lub wybranych ogólnogeog elementów treści mapy zasadniczej; Mapy przyrodnicze są to opracowania karto ilus stan zasobów nat, zjawiska fizjograficzne i wzajemne powiązania występujące między poszczególnymi czynnikami środowiska przyr oraz skutki działalności ludzkiej w zakresie przeobrażeń tego środowiska na określonym obszarze Instrukcje: gł urzędu gik: K-1 dotyczy zasad opracowania m zasadniczej; K-2 ( 1980, wydanie II) dotyczy zasad oprawco i reprodukcji map topo do celów gospodarczych; K-3 zasady opracowania i reprodukcji map tematycznych z wyłączeniem m zasad / 0-2 ogólne zasady opracow map do celów gosp (87, wyd III); O-1/O-2 ogólne zasady wykonywania prac gik Arkusz: data wydania mapy, data ukończenia opracowania mapy, rodzaj materiału źródłoego i datę jego aktualności, nazwe instytucji opracowującej i wydającej daną m, imie i nazwikso osoby odpowiedzielanej za opracowanie danego arkusza m, inne dane wydawnicze określone odrębnymi przepisami.Podział map, godła i wymiary arkuszy M topo ze wzgl na zakres treści i stopień uogólnienia charakterystyki powierzchni Ziemi dzielą się na: wielkoskalowe w skalach 1:5 000 i 1:10 000, średnioskalowe w skalach 1:25 000 i 1:50 000, małoskalowe w skalach 1:100 000 - 1:500 000.Mapy topograficzne w skalach 1:5 000, 3:10 000, 1:25 000 i 1:50 000 opracowuje się w państwowym układzie współrzędnych "1965".

METODY JAKOŚCIOWE - prezentacja faktu wystąpienia zjawiska:

Stosowane do przedst.. przestrzennego rozmieszczenia zjawiska 1. sygnaturowa - do ukazania poł. obiekt. i zjawisk za pomocą znaków p-ktowych lub liniowych zróżnicow. graficznie stosownie do jakościowych cech reprezentowanych obiektów i zjawisk Sygnatury: *geometrycz. *symbolice. *obrazkowe *literowe 2. zasięgów - wykazanie zasięgu (obszar wyst.) danego zjawiska: *zasięg plamowy *sygnaturowy *liniowy *opisowy 3. chorochromatyczna (powierzchniowych jednostek naturalnych) - wydzielenie i wyróżnienie graf. fragment. o odmiennym charakterze.

Sposób liniowy - Do prezentacji zjawisk liniowych, charakteryzuje stan zjawiska, przemieszczanie. Stosow. met. sygnaturowa i kartodiagr., diagramy liniowe, połączenia sygnatur liniowych. Przedstawiają potoki ruchu ulicznego, natężenie ruchu weekendowego, funkcjonalność komunikacji zbiorowej itp.

Sposób powierzchniowy - Zmiany zjawisk powierzch. za pomocą met. chorochromat., izolinii, zasięgów, kartodiagr., zmiany w czasie za pomocą izolinii, wykresów.

MET. ILOŚCIOWE: 1. kartodiagramu – przedst. zjawiska za pomocą przypisanych im diagram. (odniesionych do p-któw, linii lub powierzchni) Kartodiag: *p-kowe *sumaryczne *struktural. *powierzchniowe *liniowe wektorowe *liniowe wstęgowe 2. kartogramów – ukazanie śr. (przeciętnej) charakteryst. ilościowej zjawiska w określ. polach odniesienia, z reguły wyraż. w ujęciu względnym i z zastosow. przedziałów klasowych (np. gęst. zal.) 3. kropkowa – przestrz. rozmieszcz. za pomocą drobnych znaków o określonej wadze (tzn. reprezentujących peną liczbę obiektów) 4. dozymetryczna – kartogram o polach odnies. dobranych do podobnych wartości natężenia zjawiska 5. izolinii - połącz. p-tów o tym samym nasileniu zjawiska

*izol. Natężenia *odl. (ekwidystanty) *izol. ruchu (izochrona, izobata)

Generalizacja kartograficzna – uzasadniony dobór i uogólnienie elementów z punktu widzenia przeznaczenia i tematyki mapy, uzależnione od skali mapy

1) Ilościowa – na mapie następuje redukcja sygnałów geometryczno-przestrzennych przedstawiających treść mapy a) formy – niemożność przedstawienia obiektów rzeczywistych w taki sam sposób na mapie - odległości - zależy od skali a nie od redaktora - kształtu – uproszczenie przebiegu linii, konturów powierzchniowych, pominięcie mało ważnych elementów b) treści – wybieramy elementy bardziej istotne z punktu widzenia istoty obiektu, kryteria: wielkość, funkcjonalność, ośrodkowość 2) Jakościowa – uogólnianie pojęć, zastąpienie pojęć elementarnych i szczegółowych ogólnymi lub bardziej szerszymi (liczba sygnałów nie zmieniona, nic nie ubywa pod względem ilościowym), po symbolizacji następuje grupowanie 3) Komputerowa – Algorytm Doyelosa-Penckera, pozwala generalizować linię łamaną, szukamy najdalszego punktu, robimy to do ustalonej tolerancji

ELIPSOIDA

Elipsoida obrotowa o odpowiednio dobranych parametrach jest znacznie lepszym przybliżeniem kształtu bryły ziemskiej niż kula. Elipsoidą odniesienia nazywamy elips. obrotową o odpowiednio dobranych parametr. i określonym usytuowaniu w bryle ziemskiej, na którą rzutowano punkty danej sieci geodezyjnej. W ukł. współ. prostokątnych XYZ umieszcza się elipsoidę obr. w taki sposób, że środek elips. pokrywa się z początkiem ukł. współ, oś obrotu elipsoidy pokrywa się z osią Z ukł. współ. RYS 7

Wsp. każdego pkt leżącego na pow. elipsoidy obrotowej spełniają równanie X²/a²+Y²/a²+Z²/b²=1 Kształt i wielkość elipsoidy obr. określają parametry: półosie a i b lub półoś a i spłaszczenie α [α=(a-b)/a] Zamiast α można posługiwać się mimośrodem elipsoidy

e²=(a²-b²)/a²=α(2-α), także: b²/a² =1- e² wielkość II mimośrodu obliczamy ze wzoru: e’²=(a²-b²)/b² = e²/(1- e²)

Równoleżnikiem punktu P jest ślad przecięcia pow. elipsoidy pł. przech. przez p-kt P i równoległą do płaszczyzny równika. Ma kształt okręgu.

Południkiem punktu P jest ślad przecięcia elipsoidy płaszcz. przech. przez p-kt P i oś obrotu elipsoidy. Ma kształt elipsy. Wprowadza się oś U i powstaje nowy, prostokątny układ UZ. RYS 8

Równanie połud. zawierającego pkt P w tym układzie to U²/a²+Z²/b²=1 Normalna n do elipsoidy leży w płaszcz. południka P. Szerok. elipsoidalną B (sz. geodezyjna) punktu P jest kąt miedzy normalną n do pow. elipsoidy w p-kcie P i płaszcz. równika Dł elipsoidalną L (dł. geodezyjna) p-tu P jest kąt dwuścienny między płaszcz. połud.

p-tu P i płaszcz. połud. początkowego

Przekroje normalne Przez p-kt P leżący na danej, regularnej pow. można poprowadzić tylko jedną prostą prostopadłą do tej pow. zwaną normalną n. Wszystkie płaszcz. zawierające normalną n przecinają daną pow. wzdłuż krzywych zwanych przekrojami normalnymi w punkcie P. Krzywizny z reguły są zmienne. Spośród wszystkich przekrojów normalnych w danym punkcie wyróżniamy 2 przekroje główne. Jeden ma krzywiznę największą spośród krzywizn wszystkich przekr. normalnych w danym punkcie, drugi zaś ma krzywiznę najmniejszą. Płaszcz. przekr. gł. przecinają się pod kątem prostym.

Jednym z przekr. gł. elips. obrotowej jest przekr. płaszcz. połud, zwany przekr. połud, a drugim – przekr. płaszcz. prostopadłą do płaszcz. połud. zwany przekr. poprzecznym Dług. promienia M krzywizny przekr. połudn. M=ds/dB, S- dł. połud, rożniczka dS zależy od dU i dZ czyli: dS.=√(dU²+dZ²), lub dS= -dU√(1+(dZ/dU)²), znak minusa mówi o tym że ujemnemu przyrostowi dU odpowiada dodatni przyrost dS., uwzględniając dZ/dU= -ctg B, to otrzymamy: dS.=- dU√(1+ctg ²B)=-dU/sin B, zatem M=-dU/dB*1/sin B,

dU/dB=-a(1-e²)sin B/(1-e²sin ²B)^3/2,

Co ostatecznie daje nam wzór na M=[a(1-e²)]/(1-e²sin²B)^3/2.

Oba przekroje mają wspólną styczną w punkcie P, a płaszcz. tych przekr. tworzą kąt równy szer. elips. B, możemy zastosować tw. Meusniera: r=Ncos B,r to promień równoleżnika, zatem N=r/cosB, podst. r=U otrzymujemy dł. promienia N krzywizny przekr. poprzecznego to N=a/(1-e²sin²B)^1/2 Zależność tę można wykorzystać do uproszczenia wzorów określające wsp. prostokątne pkt leżącego na pow. elipsoidy: X= NcosBcosL Y= NcosBsinL Z= N(1-e²) sinB. Promień. M jest najmn. a N najw. promieniem krzywizny przekr. normalnych w danym p-kcie. Promień krzywizny dowolnego przekr normalnego (wzór Eulera) 1/R_A=cos²A/M+sin²A/N. Śr. promień krzywizny Q w danym p-kcie elips. definiujemy jako Q=1/2π₀∫^2πR_AdA. Obliczamy ze wzoru Q=√MN=(a√1-e²)/(1-e²sin²B)

Długość łuku południka Wzór wyjściowy dS=MdB S₁₂<60km z dok. 1mm:

S₁₂=M_s(B₂-B₁), M_s=M(B_Sr); Dla 60km<S₁₂<750km z dok. 1mm: S₁₂=[(M₁+4M_s+M₂)*(B₂-B₁)]/6; Dla S₁₂>750km S₁₂=_B1∫^B2MdB =₀∫^B2MdB-₀∫^B1MdB

ODWZOROWANIE GAUSSA-KRUGERA jest odwz. równokątnym pow.i elipsoidy obrotowej na pł. Odwz to jest odwzor. walcowym poprz. równokąt. pow. elips. obrotowej. Charakteryzuje się występow. niewielkich zniekształceń w wybranym, wąskim pasie połud. Powierzchnie elipsoidy obrotowej należy podzielić na wąskie pasy połud. i każdy z nich odwzorować oddzielnie na płaszcz. Szerokość pasa połud. (ΔL) zależy od przyjętych dopuszczalnych zniekształceń dług. lub zniekształceń pól. Odwz G-K spełnia 3 warunki: jest odwz. równokątnym, obrazem połud. Śr. danego pasa jest odcinek linii prostej, a obrazami pozostałych połud. są linie krzywe symetrycznie rozłożone względem obrazu połud. śr., połud. śr. pasa odwzorowuje się bez zniekształceń (m₀= 1).

Funkcje odwzorowawcze w postaci funkcji B, l. Wprowadźmy układ wsp prostokątnych x, y w następujący sposób: oś odciętych x pokrywa się z obrazem połud. Śr. L₀ i jest skierowana na północ, oś rzędnych y pokrywa się z prostoliniowym obrazem równika i jest skierowana na wschód.

funkcje odwzorowawcze:

x=F₁(B,l), y=F₂(B,l);

w postaci funkcji B₀,b,l

x=(a₀₀+ a₀₁b+ a₀₂b²+ a₀₃b³)+ (a₂₀+ a₂₁b+...)+(a₄₀+ a₄₁b+.....);

y==(a₁₀+ a₁₁b+ a₁₂b²+ a₁₃b³)+ (a₃₀+ a₃₁b+...)+(a₅₀+ a₅₁b+.....)

z= q+ il, rozwinąć w szereg Taylora w otoczeniu z₀= q.

x=S+l²/2*NsinBcosB+l⁴/24*NsinBcos³B*(5t²+9η²+4η⁴)+l⁶/720*NsinBcos⁵B(61_58t²+t⁴)

y=lNcosB+l³/6*Ncos³B(1-t²+η²)+l⁵/120*Ncos⁵B(5-18t²+t⁴+14η²-58η²t²)

Odwz. G-K jest równokątne, zatem skala długości w danym punkcie jest jednakowa we wszystkich kierunkach. Najłatwiej możemy obliczyć ją w kierunku równoleżników: m=m_λ=$\sqrt{G}/r = \sqrt{\left( \frac{\text{dx}}{\text{dl}} \right)2 + \left( \frac{\text{dy}}{\text{dl}} \right)2}/$NcosB i potem je: m=1+y²/2R²+y⁴/24R². Skala długości na południku środkowym jest równa jedności, a dla wszystkich pozostałych punktów jest większa od jedności.

warunek równokątności, będzie spełniony, jeżeli związek współrzędnych prostokątnych x, y i wsp. izometrycznych q, l będzie miał postać funkcji analitycznej f: x+iy=f(q+ il); x=S-d²S/dq²* l²/2+ d⁴S/d q⁴*l⁴/24...; y=dS./dq*l- d³S/d q³* l³/6

Drugi warunek- funkcja f ma następującą cechę: dla l = 0 musi wystąpić y = 0. Współrzędna x_m punktu leżącego na południku środkowym będzie określona za pomocą wzoru: x_m= f (q)

Trzeci warunek będzie spełniony, jeżeli dla l=0 będzie zachodzić następująca równość: x_m= S= ₀∫^B M dB, gdzie S oznacza długość południka liczoną od równika do danego punktu o szerokości elipsoidalnej B

Odległość sferyczną między dwoma punktami A i B leżącymi na sferze nazywamy kąt środkowy ά oparty na łuku koła wielkiego AB przechodzącego przez te punkty

Teoria odwzorowań Odwzorowaniem jednej pow. na drugą nazywamy każdą wzajemnie jednoznacz. odpowiedniość punktową między pow. nazywaną oryginałem a powierzchnią nazwaną obrazem Odwzorowanie nazywamy regularnym, gdy funkcje f i g spełniają warunki: a)każdej parze wartości parametrów u,v przyporządkowują jedną i tylko jedną parę wartości parametrów U,V b)są ciągłe i co najmniej 2-krotnie różniczkowalne c)są wzajemnie niezależne. W odwzorowaniu tym obrazem pkt jest pkt, krzywej – krzywa, kąta – kąt, obszaru – obszar. Jeżeli oryginałem jest cała pow.elipsoidy obrotowej lub jej część to rolę parametrów u,v odgrywają zwykle wsp.elipsoidalne B,L. Jeżeli rolę parametrów U,V odgrywają wsp. prostokątne x,y to f-cje odwzorowawcze mają postać x=x(B,L) y=y(B,L).Jeżeli położenie pkt. na pł. opisują wsp.biegunowe ρ,δ to f-cje odwzorow. mają postać δ=δ(B,L) ρ=ρ(B,L)

Elementarna skala długości stosunek dł. ds nieskończenie małego łuku na obrazie do dł. ds odpowiadającemu mu łuku na oryginale m=ds/ds. Elementarna skala długości w danym odwzorowaniu zależy od współ. B,L określających położenie punktu, i od azymutu A elementu liniowego ds – m= m(B,L,A).Tylko w odwz. równokątnych zależy tylko od współ. punktu. Wartość skali długości mieści się w przedziale (0,∞).

Skala dł. w kierunku południków: m_B=√E/M E=(δx/δB)²+(δy/δB)², Skala dł. w kier. równoleżników: m_L=√G /r G=(δx/δL)²+(δy/δL)

I Tissota W każdym odwzorow. regularnym, nie będącym odwzorow. równokątnym, istnieje na oryginale dokładnie jedna siatka ortogonalnych linii parametrycznych, której obrazem jest także siatka ortogonalna. Kierunki tej siatki nazywamy kierunkami głównymi

II Tissota „Obrazem graficznym skal długości we wszystkich kierunkach wyprowadzonych z danego punktu jest elipsa o półosiach równych skalom długości w kierunkach głównych”.

Odwz. AZYMUTALNYCH NORMALNYCH KULI

x=ρ(б)cosλ, y=ρ(б)sin

Wielkość F jest równa 0 południki i równoleżniki są krzywymi głównymi, a kierunki południków i równoleżników są kierunkami głównymi.

w kierunku południków: m_б=(√E)/R, a w kierunku równoleżników: m_λ=(√G)/r

gdzie m_б=dρ/R*dб m_λ=ρ(б)/R*sinб

RÓWNOODL EGŁOŚCIOWE KULI

warunek: m_б=1 czyli 1/R*dρ/dб=1

musi spełniać warunek: m_λ=1 czyli ρ(б)/Rsinб=1. dla φ=90^o-б stwierdzamy jest odwzorowanie ortograficznym

Skalę długości w kierunku południków w tym odwz. określa wzór: m_б=1/R*dρ/dб=cosб

RÓWNOPOLOWE KULI

warunek: m_бm_λ=1 czyli 1/R*dρ/dб*ρ/Rsinб=1

ρ=2Rsin б/2 m_ρ=cos б/2 , m_λ=1/cos б/2

RÓWNOKĄTNE KULI

z warunków równokątności : pierwszy,θ=90^o,jest spełniony

drugi m_б=m_λ do takiego równ. różniczkowego: 1/R*dρ/dб=ρ/Rsinб ρ=2R tg б/2 , m=1/cos² б/2

WALCOWYCH NORMALNYCH KULI

m_φ=(E)^1/2/R=1/R*dx/dφ m_λ=(G)^1/2/Rcosφ=1/cosφ .

Walcowe poprzeczne równokątne

Krzywymi głównymi sa wertykały i almukantaraty Wertykał półokrąg koła wielkiego lub koło wielkie sfery niebieskiej przechodzące przez zenit i nadir i prostopadłe do horyzontu. Pierwszym nazywany jest wertykał, którego płaszczyzna prostopadła jest do płaszczyzny południka niebieskiego. Almukantarat (inaczej almukantar) - koło małe na sferze niebieskiej przechodzące przez punkty o tej samej wysokości nad horyzontem. Jest ono równoległe do horyzontu. Warunk zgodności skal główności w kierunkach w/w dy/rdh=1/cosh; x=Rg y=Rlntg(PI/4+h+2) Skala dł. m=1+y^2/2R^2+y^4/24R^2

ODWZOROWANIE QUASI-STEREOGRAFICZNE odwzorowanie quasi-stereograficzne jest odwz. równokątnym elipsoidy obrotowej. Siatka kartograficzna w tym odwzorowaniu jest podobna do siatki w odwzorowaniu stereograficznym kuli. Odwzorowanie q-s charakteryzuje się występow. niewielkich zniekształceń w pobliżu punktu głównego, który odpowiada punktowi styczności płaszczyzny i kuli w odwzorowaniu stereograficznym. Odwzorowanie q-s jest zatem szczególnie przydatne do przedstawiania obszarów, które granice mają kształt regularny, zbliżony do okręgu. Punkt główny P₀ (B₀ , L₀) odwzorowania powinien się znajdować w pobliżu punktu środkowego odwzorowywanego obszaru. Południk przechodzący przez punkt główny będziemy nazywać południkiem środkowym, który odwzorowuje się jako odcinek linii prostej. Wprowadźmy układ współrzędnych płaskich x, y w następujący sposób: początek ukł. znajduje się w obrazie punktu głównego, oś x pokrywa się z obrazem południka środkowego i jest skierowana do obrazu bieguna północnego, oś y jest prostopadła do osi x i wraz z nią tworzy układ prawoskrętny. Odwzorowanie q- s musi spełniać następujące warunki: odwzorowanie jest równokątne,

obrazem południka środkowego jest odcinek linii prostej, a obrazami innych południków są krzywe symetryczne względem południka środkowego, odcięte x punktów leżących na południku środkowym oblicza się wg wzoru: x_m= 2R₀ tg (s/2R₀ ), gdzie R₀ oznacza średni promień krzywizny powierzchni elipsoidy obrotowej w punkcie głównym odwz., s oznacza długość łuku południka od punktu głównego P₀ do równoleżnika odwz-ego punktu P.

Funkcje odwzorowawcze jako funkcje wielkości B₀, b, l. Odwzorowanie będzie równokątne, jeżeli zależność między wsp. prostokątnymi płaskimi x, y i izometrycznymi q, l będą funkcją analityczną: x+ iy= f (q+ il). Początek układu współrzędnych płaskich znajduje się w punkcie głównym odwzorowania P₀ (B₀, L₀), dlatego dla q=q₀ (B₀) współrzędna x musi być równa 0. Zależność możemy zastąpić wzorem: x+ iy =f (Δq+ il), w której Δq =q-q₀.

Kolejne funkcje odwzorowawcze : -jako f. wielkości B₀,u,s ; -f. odwzor. odwzorowania odwrotnego

x=(a₀₁b+a₀₂b²+a₀₃b³+a₀₄b⁴+a₀₅b⁵ )+ (a₂₀+a₂₁b+a₂₂b²+a₂₃b³...)l²+(a₄₀+ a₄₁b)l⁴;

y==(a₁₀+a₁₁b+ a₁₂b²+ a₁₃b³+ a₁₄b⁴)l+(a₃₀+a₃₁b+a₃₂b²)l³+a₅₀l⁵

Współczynnik a_ij można obliczyć jednorazowo dla danego odwzorowania po ustaleniu wsp. B₀ pkt. Głównego odwzorowania. Podane szeregi potęgowe ograniczają się najwyżej do 5-tej potęgi argumentów b i l. Zapewniają dokładność obliczenia wsp. x i y równą 1cm, w przypadku pkt. leżących w pobliżu granicy Polski, pod warunkiem, że pkt. główny odwzorowania będzie umieszczony w pobliżu środka geometrycznego Polski.

Funkcje odwzorowawcze B₀, u, s:

Każdemu punktowi odwzorowywanego obszaru można jednoznacznie przyporządkować parę liczb u i s.(z rys. wyżej), u- jest długością łuku równoleżnika przechodzącego przez dany punkt, obliczoną wg. Wzoru:u=lr=lNcos B, a s to długość łuku południka środkowego, którą oblicza się:s=f₁b¹+ f₂b² + f₃b³+ f₄b⁴+...;wsp. prostokątne można przedstawić jako f wielkości u i s:x=F₁(u, s), y=F₂(u, s),założenie:F1-parzysta wzgl. u, F2-nieparzysta wzgl. u.

x=(w₀₀+ w₀₁s¹+ w₀₂s²+ w₀₃s³+ w₀₄s⁴+ w₀₅s⁵_+...)+( w₂₀+ w₂₁s¹+ w₂₂s²+ w₂₃s³+...)u²+( w₄₀+ w₄₁s¹+...)u⁴+...;

y=(_w10+ w₁₁s¹+ w₁₂s²+ w₁₃s³+ w₁₄s⁴+ w₁₅s⁵_+...)u+( w₃₀+ w₃₁s¹+ w₃₂s²+ w₃₃s³+...)u³+( w₅₀+ w₅₁s¹+...)u⁵+...;

Elementarne skale dł. i pól. Skalę m możemy obliczyć w kierunku równoleżników wg. wzoru : m=√(δx/δl)²+(δy/δl)² /NcosB po przekształceniach

m=√(δx/δu)²+(δy/δu)²