SPRAWOZDANIE Z WYKONANIA ĆWICZENIA

POPRAWA

Elżbieta Tchorowska

8.11.2012

Dr T. Ossowski

Rok:2, kierunek: fizyka

Czwartek, godz. 10:30

Ćwiczenie nr 15,

DRGANIA MASY ZAWIESZONEJ NA SPRĘŻYNIE

1. Przyrządy pomiarowe: Dokładność:

……stoper……....…………………... ………0,01 s…..……..

……taśma……………………………. ………1mm..………..

………………………………………. ………………………..

………………………………………. ………………………..

1. Tabela pomiarowa

Lp.	Obciążenie [g]	Poł. wskazówki /Amplituda [cm]	Czas [s]	Lp.	Obciążenie [g]	Amplituda [cm]	Czas [s]
1.	0	Wydłuż: 22	/	2.	50	Wydłuż: 22	/
3.	50	1	21,53	13.	50	5	21,60
4.	50	2	21,34	14.	50	5	21,41
5.	50	3	21,37	15.	50	5	21,52
6.	50	4	21,56	16.	50	5	21,85
7.	50	5	21,50	17.	50	5	21,44
8.	50	6	21,69	28.	100	57,5	/
9.	50	7	21,28	29.	90	54	/
10.	50	8	21,53	30.	80	51	/
11.	50	9	21,50	31.	70	47,5	/
12.	50	10	21,47	32.	60	43,5	/
18.	10	26	/	33.	50	40,25	/
19.	20	29,5	/	34.	40	37,75	/
20.	30	33	/	35.	30	33	/
21.	40	37,75	/	36.	20	29,5	/
22.	50	40	/	37.	10	26	/
23.	60	44	/	38.	40	1	19,94
24.	70	47,5	/	39.	50	1	21,56
25.	80	50,5	/	40.	60	1	22,37
26.	90	54	/	41.	70	1	23,56
27.	100	57,5	/	42.	80	1	24,87
				43.	90	1	25,56
				44.	100	1	26,38

Objaśnienie do pomiarów:

- pomiary 1 i 2 – wydłużenie sprężyny w spoczynku dla danej masy

- pomiary 3-12 – czas drgań dla danej masy i zadanej amplitudy drgań

- pomiary 13-17 – czas drgań dla stałej zadanej masy i stałej zadanej amplitudy

- pomiary 18-27 – wydłużenie sprężyny dla zadanych mas przy zwiększaniu obciążenia

- pomiary 28-37 – wydłużenie sprężyny dla zadanych mas przy zmniejszaniu obciążenia

- pomiary 38-44 – czas drgań dla zadanych mas przy stałej zadanej amplitudzie

1. Niezbędne pojęcia:

Siła sprężystości – siła, która powoduje powrót ciała do poprzedniego kształtu po odkształceniu

Dla małych odkształceń możemy zastosować prawo Hooke’a, które mówi, że odkształcenie jest wprost proporcjonalne do przyłożonej siły.

Pionowo wiszącą sprężynę można rozciągnąć zawieszając na jej dolnym końcu ciężarek o masie m. Rozważmy najpierw przypadek, gdy sprężyna jest nieważka lub jej masa własna jest znikomo mała w porównaniu z masą zawieszonego na niej ciężarka. Zgodnie z trzecią zasadą dynamiki Newtona, sprężyna rozciągnięta ciężarkiem, działa na ciężarek siłą sprężystą F_spr równą co do wartości sile rozciągającej sprężynę (1), lecz przeciwnie do niej skierowaną. Zapisujemy to:

F_spr = − kx (2)

Ciężarek będzie w równowadze w położeniu, x_o, w którym siła sprężystości zrównoważy jego ciężar mg:

mg − kx_o = 0 (3)

Stąd wydłużenie x_o odpowiadające stanowi równowagi jest równe:

(4)

I.2. Równanie ruchu ciężarka zawieszonego na nieważkiej sprężynie.

Jeśli sprężyna zostanie wydłużona tak, by wypadkowa ciężaru (mg) i siły sprężystej (− kx), działających na masę m nie była równa zeru, wówczas zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona, ciężarek będzie poruszał się ruchem przyspieszonym, z przyspieszeniem:

Równanie ruchu ma postać:

(5a)

lub po podzieleniu przez m i po uwzględnieniu wzoru (4):

(5b)

Wprowadzając nową zmienną z = x − x_o, określającą wychylenie masy m z położenia równowagi, otrzymujemy

(5c)

Rozwiązaniem równania (5c) jest funkcja opisująca drganie harmoniczne wokół położenia równowagi

(6)

gdzie A jest amplitudą drgania (maksymalnym wychyleniem z położenia równowagi), ω_o, równe

(7a)

jest nazywane częstością kołową, a ϕ jest fazą początkową drgania.

Amplituda A i faza początkowa ϕ zależą od warunków początkowych (od tego jak puścimy w ruch ciężarek). Czas T_o, w którym układ wykonuje jedno drganie nazywany okresem drgań jest równy:

(7b)

Zmiana wartości amplitudy drgań nie powoduje zmiany ich częstości. Ten fakt zwany izochronizmem drgań jest konsekwencją liniowego związku pomiędzy siłą sprężystą F_s a wydłużeniem x sprężyny (wzór (2)).

I.3. Ruch ciężarka zawieszonego na sprężynie, której masa m_s ≠ 0

Ruch ten opisuje wzór podobny do wzoru (6), z tym, że okres drgań T jest dłuższy, równy:¹

(8)

to jest taki, jaki byłby w przypadku nieważkiej sprężyny o takim samym współczynniku sprężystości, obciążonej ciężarkiem o łącznej masie M = m+1/3 m_s. Zależność wyrażoną wzorem (8) można przedstawić w wygodniejszej do obliczeń postaci, podnosząc ją do kwadratu:

(9a)

Widać, że T² zależy w sposób liniowy od wartości masy m zawieszonej na sprężynie, co możemy zapisać w sposób uproszczony:

Am+B (9b)

Współczynnik kierunkowy prostej A opisującej zależność T² (m) jest równy

(10)

zaś wartość rzędnej B, dla m=0 jest równa

1. Sprawdzenie, czy okres drgań zależy od amplitudy (dla 20 drgań)

Dla danej masy 50g i danej amplitudy 5 cm:

13.	50	5	21,60
14.	50	5	21,41
15.	50	5	21,52
16.	50	5	21,85
17.	50	5	21,44

Oraz

7.	50	5	21,50

Wyliczamy średnią okresu 20 drgań:

$$\frac{\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{6}}\mathbf{t}_{\mathbf{i}}}{\mathbf{6}}$$

$$\overset{\overline{}}{t} = \frac{21,6 + 21,41 + 21,52 + 21,85 + 21,44 + 21,50}{6} = \frac{129,32}{6} = 21,55\lbrack s\rbrack$$

Wyliczamy odchylenie od średniej:

Dla Lp. 13:

$$t = \left| t - \overset{\overline{}}{t} \right| = \left| 21,60 - 21,55 \right| = 0,15\lbrack s\rbrack$$

Lp	Masa	Amplituda	Okres 20 drgań	Średni okres 20 drgań	Odchylenie
13.	50	5	21,60	21,55	0,15
14.	50	5	21,41	21,55	0,14
15.	50	5	21,52	21,55	0,03
16.	50	5	21,85	21,55	0,30
17.	50	5	21,44	21,55	0,11
7.	50	5	21,50	21,55	0,05

Maksymalne odchylenie wynosi 0,30[s] dla 20 drgań.

Sprawdzamy, czy dla innych amplitud drgań, okres nie przekracza średniej +/- odchylenia:

Lp.	Masa	Amplituda	Okres 20 drgań	Średnia okresu 20 drgań	Odchylenie
3.	50	1	21,53	21,55	0,02
4.	50	2	21,34	21,55	0,21
5.	50	3	21,37	21,55	0,18
6.	50	4	21,56	21,55	0,01
7.	50	5	21,50	21,55	0,05
8.	50	6	21,69	21,55	0,14
9.	50	7	21,28	21,55	0,27
10.	50	8	21,53	21,55	0,02
11.	50	9	21,50	21,55	0,05
12.	50	10	21,47	21,55	0,08

Maksymalne odchylenie wynosi 0,27s. i występuje dla pomiaru nr 9. Możemy przyjąć, że amplituda drgań nie ma wpływu na okres drgań.

Dokładność średniego czasu zależy od dokładności pomiaru amplitudy oraz czasu. Taśma ma dokładność 1 mm, ale z powodu ciężkiego ustalenia wyniku (drgania sprężyny, zmiana kąta patrzenia) przyjmujemy dokładność 0,25cm. Dokładność czasu wynika z dokładności stopera wynoszącą 0,01sekundy, ale również z czasu reakcji człowieka – średni czas to 0,2 sekundy.

1. Obliczymy średnie wydłużenie sprężyny dla danych obciążeń:

Wskazówka przy obciążeniu zerowym pokazuje 22 cm.

Dla masy 10:

Średni odczyt: $\overset{\overline{}}{x} = \frac{x_{1} + x_{2}}{2} = \frac{52}{2} = 26$cm.

Średnie wydłużenie: 26cm-22cm=4cm

Masa	Odczyt I	Odczyt II	Średni odczyt	Średnie wydłużenie
10	26	26	26	4
20	29,5	29,5	29,5	7,5
30	33	33	33	11
40	37,75	37,75	37,75	15,75
50	40	40,25	40,125	18,125
60	44	43,5	43,75	21,75
70	47,5	47,5	47,5	25,5
80	50,5	51	50,75	28,75
90	54	54	54	32
100	57,5	57,5	57,5	35,5

1. Poprowadzimy wykres zależności siły od wydłużenia:

Korzystając ze wzoru F = mgi przyjmując g w zaokrągleniu do części setnych (9,81$\frac{\mathbf{m}}{\mathbf{s}^{\mathbf{2}}}\mathbf{)}$, możemy wyliczyć siłę działającą na sprężynę przy pomiarach 18-37.

LP.	Obciążenie[g]	Obciążenie [kg]	Siła [N]
18.	10	0,01	0,0981
19.	20	0,02	0,1962
20.	30	0,03	0,2943
21.	40	0,04	0,3924
22.	50	0,05	0,4905
23.	60	0,06	0,5886
24.	70	0,07	0,6867
25.	80	0,08	0,7848
26.	90	0,09	0,8829
27.	100	0,1	0,9810

Wykres zależności siły przyłożonej od długości sprężyny przy zwiększaniu obciążenia:

Współczynnik kierunkowy wynosi 2,72037, przy błędzie standardowym 0,01979. Z tego wynika, że nasz współczynnik sprężystości k=2,72037.

1. Wykreślimy wykres zależności okresu drgań od przyłożonej siły do sprężyny.

Początkowo wyznaczymy okres jednego drgania, dzieląc zmierzony przez nas czas przez 20.

Do obciążenia dodamy masę szalki = 17,9g.

LP.	Obciążenie [g]	Amplituda [cm]	Czas 20 drgań [s]	Okres 1 drgania [s]
38.	57,9	1	19,94	0,997
39.	67,9	1	21,56	1,078
40.	77,9	1	22,37	1,1185
41.	87,9	1	23,56	1,178
42.	97,9	1	24,87	1,2435
43.	107,9	1	25,56	1,278
44.	117,9	1	26,38	1,319

Dążymy do:

Am+B, gdzie

,

Podnosimy otrzymany okres 1 drgania do kwadratu:

LP.	Obciążenie [g]	Amplituda [cm]	Czas 20 drgań [s]	Okres 1 drgania [s]	Kwadrat drgania [s2]
38.	57,9	1	19,94	0,997	0,994009
39.	67,9	1	21,56	1,078	1,162084
40.	77,9	1	22,37	1,1185	1,251042
41.	87,9	1	23,56	1,178	1,387684
42.	97,9	1	24,87	1,2435	1,546292
43.	107,9	1	25,56	1,278	1,633284
44.	117,9	1	26,38	1,319	1,739761

Wyznaczamy wykres:

Wykres zależności masy zawieszonej na sprężynie od kwadratu okresu drgania:

Wnioski:

Wyznaczone doświadczalnie wartości współczynników A i B wynoszą:

A = 12, 41038 oraz B = 0,29686.

Porównujemy je z wynikami, które otrzymamy z podanych wzorów:

Am+B, gdzie

,

Podstawiając wyliczone wcześniej k= 2,72037, otrzymujemy:

$$\mathbf{A =}\frac{\mathbf{4*(3,14}\mathbf{)}^{\mathbf{2}}}{2,72037}\mathbf{= 14,}50$$

Masa sprężyny podana w instrukcji laboratoryjnej wynosi m=75g=0,075kg.

$$\mathbf{B = 14,}50\mathbf{*}\frac{\mathbf{0,075}}{\mathbf{3}}\mathbf{=}0,3625$$

Rozbieżność między współczynnikami wyznaczonymi eksperymentalnie a tymi wyznaczonymi teoretycznie nie jest bardzo duża, zwłaszcza dla zmierzonych wartości obciążeń, które są bardzo małe. Niedokładność wynika z niedokładności pomiaru czasu, podniesienie okresu drgania do kwadratu zwiększa w pewnym stopniu błąd.

---

1. Wyprowadzenie książkowe↩