Funkcje

Def. 1.

Niech X i Y będą dowolnymi zbiorami. Odwzorowaniem f zbioru X w zbiór Y lub funkcją określoną na zbiorze X o wartościach w zbiorze Y nazywamy przyporządkowaniem, które każdemu elementowi x ∈ X przyporządkowuje dokładnie jeden element zbioru Y, y  ∈ Y,  (f^′(x)). Odwzorowanie oznaczamy w następujący sposób: f : X → Y lub f : X ∋ x  → y ∈ Y lub x → f(x).

Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji, a elementy dziedziny nazywamy argumentami. Element y zbioru Y, który jest przyporządkowany przez funkcję f argumentowi x ∈ X nazywamy wartością funkcji dla argumentu lub obrazem elementu (argumentu) x poprzez odwzorowanie f. Zbiór wszystkich wartości nazywamy przeciwdziedziną.

Def.2.

Funkcje f : X → Y oraz g : U  → V są równe wtedy i tylko wtedy, gdy są określone na tych samych zbiorach i ∀ x ∈ X,  f(x) =  g(x). Jeżeli x ∈ R jest to funkcja zmiennej rzeczywistej, jeżeli y ∈ R jest to funkcja rzeczywista, jeżeli x, y ∈ R jest to funkcja rzeczywista zmiennej rzeczywistej.

Def.3.

Odwzorowanie f : x → y = x nazywamy odwzorowaniem tożsamościowym albo identycznościowym, jeżeli ∀  x ∈ X,  f(x) =  x . Odwzorowanie to oznaczamy id_x .

Def.4.

Funkcję f : x → y nazywamy stałą, jeżeli f(X) - obraz całego zbioru – jest zbiorem jednoelementowym.

Def.5.

Odwzorowanie f : x → y jest różnowartościowe (iniektywne) wtedy i tylko wtedy, gdy ∀ x₁,  x₂ ∈ X zachodzi: x₁ ≠  x₂  f(x₁)  ≠ f(x₂) lub f(x₁) = f(x₂)  x₁ =  x₂.

Odwzorowanie jest surjektywne f(x) = Y, każdy element Y jest obrazem pewnego elementu x ∈ X.

Odwzorowanie bijektywne jest jednocześnie suriekcją i iniekcją.

Def.6.

f : x → y jest funkcją rosnącą  ∀ x₁,  x₂ ∈ X,  x₁ <  x₂  f(x₁)  < f(x₂)  

f : x → y jest funkcją malejącą  ∀ x₁,  x₂ ∈ X,  x₁ <  x₂  f(x₁)  > f(x₂) 

Funkcje rosnące, malejące nazywamy monotonicznymi. Może się zdarzyć, że f nie jest monotoniczna na całym X, ale w pewnych przedziałach może być monotoniczna.

Def.7.

Niech f : x → u, gdzie Z → Y,  U ∈ Z. Odwzorowanie h : x → y nazywamy złożeniem odwzorowań f i g, to zapisujemy h = gof jeżeli ∀ x ∈ X  h(x) = g(f(x)). Można składać więcej funkcji, przy składaniu ważna jest kolejność. Składanie odwzorowań nie jest przemienne.

Def.8.

Niech f : x → y. Funkcję φ taką, że x = φ(y) nazywamy funkcją odwrotną do funkcji f, gdzie y = f(x) jeżeli ∀ y ∈ Y  φ(f(x)) =  x  i  ∀ y ∈ Y  f(φ(y)) = y. Tzn. gof =  id_x i foφ =  id_y.

Nie do każdej funkcji istnieje funkcja odwrotna.

Tw.1.

Warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, aby istniała funkcja odwrotna do f jest aby ta funkcja była bijektywna. Funkcję odwrotną do f (jeżeli istnieje) oznaczamy f⁻¹.

Def.9.

Wykresem funkcji f : x → y nazywamy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których współrzędne mają postać (x,f(x)) dla x ∈ X.

Wykresy funkcji danej i odwrotnej do niej są identyczne. Jeżeli w funkcji odwrotnej zamienimy role x i y to otrzymamy funkcję, której wykres powstaje z wykresu funkcji y = f(x) przez symetryczne odbicie względem prostej x = y.

Funkcje odwrotne do odpowiednich fragmentów funkcji trygonometrycznych nazywamy funkcjami cyklometrycznymi.

Funkcje wykładnicze i logarytmiczne o tej samej podstawie są funkcjami wzajemnie odwrotnymi.

Ciągi

Def.1.

Ciąg nieskończony (krótko: ciąg) jest to funkcja f, która odwzorowuje zbiór liczb naturalnych N, w pewien niepusty zbiór Y. Wartość f(n) nazywamy n-tym wyrazem ciągu i oznaczamy przez a_n. Ciąg oznaczamy {a_n},  (a_n) lub a₁,  a₂,  … a_n. Jeżeli Y jest zbiorem liczb to ciąg nazywamy ciągiem liczbowym.

Def.2.

Ciąg a_n (liczbowy) jest rosnący/malejący ↔ ∀  ∈ N   a_n + 1 ≥ a_n. Takie ciągi nazywamy monotonicznymi.

Def.3.

Ciąg (a_n) jest nazywamy ciągiem ograniczonym z dołu/z góry jeżeli ∃ M ∈ R :  ∀ n ∈ N,  a_n ≥ M| a_n ≤ M. Ciąg jest ograniczony jeżeli jest ograniczony z dołu i z góry.

Def.4.

Otoczeniem punktu x₀ ∈ R o promieniu r > 0 nazywamy przedział (x₀ − r,  x₀ + r) i oznaczamy O(x₀, r). Zbiór S(x₀,r) = O(x₀,r) −  {x₀} nazywamy sąsiedztwem punktu x₀ o promieniu r.

Otoczeniem +∞ nazywamy przedział postaci (a, +∞). Analogicznie, przedział ( − ∞,  b) nazywamy otoczeniem −∞.

Def.5.

Liczbę g ∈ R nazywamy granicą właściwą ciągu (a_n) jeżeli w dowolnym otoczeniu punktu g na osi liczbowej znajdują się prawie wszystkie, czyli wszystkie poza co najwyżej skończoną ilością wyrazy tego ciągu.

a_n = g  ↔  ∀ ε > 0,   ∃n₀ ∈ N   i ∀ n >  n₀

|a_n−g| <  ε

Liczbę g nazywamy granicą właściwą.

a_n =   + ∞  ↔  ∀ M ∃ n₀ ∈ N;  ∀ n > n₀ a_n > M

Ciąg, który ma granicę, nazywamy ciągiem zbieżnym.

Tw.1.

Każdy ciąg zbieżny ma tylko jedną granicę właściwą lub niewłaściwą.

Def.6.

Podciągiem ciągu (a_n) nazywamy ciąg (b_n) określony wzorem b_n = a_kn,   n ∈ N gdzie (k_n) jest pewnym rosnącym ciągiem liczb naturalnych.

Tw.2.

Każdy podciąg ciągu zbieżnego (do granicy właściwej lub niewłaściwej) jest zbieżny do tej samej granicy.

Tw.3.

Ciąg zbieżny do granicy właściwej jest ograniczony. Nie działa w drugą stronę.

Tw.4.

Ciąg monotoniczny i ograniczony ma granicę właściwą. Uwaga: ciąg monotoniczny, który nie jest ograniczony ma granicę niewłaściwą.

Tw.5.

Jeżeli lim_{n  → +∞}a_n = a,  lim_{n  → +∞}b_n = b,  a, b ∈ R to:

1. lim_{n  → +∞}(a_n ± b_n)= lim_{n  → +∞}a_n ± lim_{n  → +∞}b_n = a ± b

2. lim_{n  → +∞}(a_n • b_n)= lim_{n  → +∞}a_n • lim_{n  → +∞}b_n = a • b

3. lim_{n  → +∞}(a_n/b_n)= lim_{n  → +∞}a_n/lim_{n  → +∞}b_n = a/b

Tw. 6.

Jeżeli $\underset{\ }{lim}a_{n} = a$ i $\underset{\ }{lim}b_{n} = \infty$ to (a_n+b_n) =  ∞.

Jeżeli $\underset{\ }{lim}a_{n} = + \infty$ i $\underset{\ }{lim}b_{n} = + \ \infty$ to (a_n+b_n) =   + ∞.

Jeżeli $\underset{\ }{lim}a_{n} = - \infty$ i $\underset{\ }{lim}b_{n} = - \infty$ to (a_n+b_n) =   − ∞.

Jeżeli $\underset{\ }{lim}a_{n} = a$ i $\underset{\ }{lim}b_{n} = + \infty$ to (a_n•b_n) =   + ∞ dla a > 0 lub (a_n•b_n) =   − ∞ dla a < 0.

Jeżeli $\underset{\ }{lim}a_{n} = \infty$ i $\underset{\ }{lim}b_{n} = \infty$ to (a_n•b_n) =  ∞.

Jeżeli $\underset{\ }{lim}a_{n} = a$ i $\underset{\ }{lim}b_{n} = \infty$ to $\operatorname{}{\left( \frac{a_{n}}{b_{n}} \right) = \ 0}$.

Twierdzenie 6 nie obejmuje wszystkich przypadków, np. $\frac{\infty}{\infty}$, $\frac{0}{0}$, 0 • ∞,… są to symbole nieoznaczone.

Oznacza to, że tylko z informacji gdzie zmierzają poszczególne „części” ciągu nie możemy wnioskować nic o jego granicy. Symbol nieoznaczony nie znaczy, że ciąg nie ma granicy.

Tw.7. – o trzech ciągach

Jeżeli lim_{n  → +∞}a_n = g, lim_{n  → +∞}c_n = g to ∃ n₀ ∈ N ∀ n > n₀ a_n ≤ b_n ≤ c_n wtedy lim_{n  → +∞}b_n = g.

Tw.8.

{a_n},  {b_n}  :  a_n > 0 ∀ n ∈ N

Jeżeli lim_{n  → +∞}a_n = a,  a > 0,  lim_{n  → +∞}b_n = b,  to lim_{n  → +∞}a_n^(b_n) = a^b.

Jeżeli lim_{n  → +∞}a_n = 0,  lim_{n  → +∞}b_n = +∞, to lim_{n  → +∞}a_n^(b_n) = 0.

Jeżeli lim_{n  → +∞}a_n = 0,  lim_{n  → +∞}b_n = −∞, to lim_{n  → +∞}a_n^(b_n) = +∞.

Jeżeli lim_{n  → +∞}a_n = a,  lim_{n  → +∞}b_n = +∞, to lim_{n  → +∞}a_n^(b_n) = +∞, a > 1 lub lim_{n  → +∞}a_n^(b_n) = 0,  a ∈ (0, 1).

To twierdzenie nie obejmuje następujących symboli: 0⁰,  ∞⁰,  1^∞ - symbole nieoznaczone.

Tw.9. – o granicach specjalnych.

1. Jeżeli A > 0 to $\lim_{n\ \rightarrow + \infty}\sqrt[n]{A} = 1$.

2. $\lim_{n\ \rightarrow + \infty}\sqrt[n]{n} = 1$.

3. Jeżeli b_n ≥ 0 ∀ n ∈ N,  lim_{n  → +∞}b_n = b,  b > 0 to $\lim_{n\ \rightarrow + \infty}\sqrt[n]{b_{n}} = 1.$

4. Niech $a_{n} = {(1 + \frac{1}{n})}^{n}\ \forall\ n \in N.$
   Można pokazać, że ciąg {a_n} jest rosnący i ograniczony z góry. Z twierdzenie 4 wynika, że ciąg {a_n} ma granicę właściwą. Granicę właściwą ciągu ${(1 + \frac{1}{n})}^{n}$ nazywamy liczbą e i oznaczamy literą e. $e \ \lim_{n\ \rightarrow + \infty}{(1 + \frac{1}{n})}^{n}\ $, e ∼ 2, 71.

x = lnx

1. Jeżeli lim_{n  → ∞}b_n = ∞,  to $\lim_{n\ \rightarrow \infty}{(1 + \frac{1}{b_{n}})}^{b_{n}} = e.$

Granica i ciągłość funkcji

Def.1.

Punkt x₀ ∈ R nazywamy punktem skupienia zbioru jeśli istnieje ciąg {x_n} taki, że x_n ∈ X/{x_n} dla n ∈ N. Granica x_n = x₀. Mówimy, że nieskończoność jest punktem skupienia zbioru x ∈ R jeżeli istnieje ciąg {x_n} o wyrazach należących do X, zbieżny do nieskończoności.

Def.2.- granica funkcji (według Hailego)

Niech x₀ będzie punktem skupienia zbioru x ∈ R. Funkcja f : X → Y ∈ R ma w punkcie x₀ granicę skończoną lub nie.

Jeżeli dla każdego ciągu {x_n} takiego, że x_n  ∈  X ∖ {x₀}  zbieżnego do x₀.

Ciąg {f(x)} jest zbieżny do g.

f(x) = g  ↔  ∀{x_n} :  x_n ∈ X ∖ {x₀},   x_n =  x₀ zachodzi f(x_n) = g

Def.3.- granica funkcji (według Cauchy’ego)

Niech x₀ będzie punktem skupienia zbioru X. Funkcja f : X → Y ma w punkcie x₀ granicę g, jeżeli dla każdego otoczenia V punktu g istnieje otoczenie U punktu x₀ takie, że jeżeli x ∈ U  ∩  (X ∖ {x₀}) to f(x) ∈ V.

Podane definicje obejmują wszystkie przypadki granic właściwych w punktach właściwych i niewłaściwych. Definicje granicy funkcji według Heinego i Cauchy’ego są równoważne.

Def.4.

Funkcja :X → Y ma w punkcie x₀ granicę lewostronną/prawostronną równą g, jeżeli funkcja równoważna w zbiorze X ∩ (−∞, x₀)/ X ∩ (x₀,   + ∞) ma w punkcie x₀ granicę g. Jeżeli funkcja ma granicę w punkcie x₀ to ma także granicę prawostronną i lewostronną w punkcie x₀ i są one sobie równe i wynoszą g.

Tw.1.

Jeżeli funkcja posiada w punkcie x₀ granice jednostronne i są one równe to funkcja posiada granicę w x₀ i f(x) = g.

Tw.2.- granice specjalne

$$\operatorname{}\begin{matrix} \frac{\text{sinx}}{x} = 1 \\ \end{matrix}$$

$$\operatorname{}\begin{matrix} \frac{\text{tgx}}{x} = 1 \\ \end{matrix}$$

$$\operatorname{}\begin{matrix} \frac{\text{arcsinx}}{x} = 1 \\ \end{matrix}$$

$$\operatorname{}\begin{matrix} \frac{\text{arctgx}}{x} = 1 \\ \end{matrix}$$

$$\operatorname{}\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n} = e$$

Def.6

Funkcja jest ciągła w punkcie x₀ jeżeli:

1. Jest określona w punkcie x₀,

2. Ma w punkcie x₀ granicę,

3. Granica funkcji w punkcie x₀ jest równa wartości funkcji w punkcie x₀.

Jeżeli w tej definicji warunek 2. zastąpimy warunkiem istnienia granicy jednostronnej to otrzymamy definicję ciągłości jednostronnej funkcji.

Def.7

Funkcja jest ciągła w zbiorze, gdy jest ciągła w każdym punkcie tego zbioru.

Def.8

Jeśli funkcja nie jest ciągła w punkcie x₀, to x₀ nazywamy punktem nieciągłości.

Jeżeli x₀ jest punktem nieciągłości funkcji ciągłej w pewnym sąsiedztwie punktu x₀ to x₀ nazywamy izolowanym punktem nieciągłości tej funkcji.

Izolowane punkty nieciągłości dzielimy na 2 rodzaje – takie, w których istnieją jednostronne granice właściwe – są to tzw. punkty nieciągłości pierwszego rodzaju oraz pozostałe punkty, które nazywamy punktami nieciągłości 2-go rodzaju.

Jeżeli x₀ jest punktem nieciągłości pierwszego rodzaju takim, że istnieją granice jednostronne to nieciągłość jest spowodowana tym, że funkcja nie jest określona w punkcie x₀ albo jest określona tak, że jej wartość x₀ nie jest równa istniejącej granicy w tym punkcie.

Tw.3.

Suma, różnica, iloczyn, iloraz funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą.

Złożenie funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą.

Funkcja odwrotna do funkcji ciągłej jest funkcją ciągłą.