Układ wyjściowy:

Układ podstawowy:

Układ równań kanonicznych:

$$\left\{ \begin{matrix} r_{11} \bullet Z_{1} + r_{12} \bullet Z_{2} + R_{1p} = 0 \\ r_{21} \bullet Z_{1} + r_{22} \bullet Z_{2} + R_{2p} = 0 \\ \end{matrix} \right.\ $$

Stan Z₁:

Wartości przywęzłowych momentów podporowych:

$$M_{12} = - \frac{1}{L_{12}}EI = - \frac{1}{4}\text{EI}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }M_{21} = \frac{1}{L_{21}}EI = \frac{1}{4}EI$$

$$M_{23} = \frac{3}{L_{23}}EI = \frac{3}{5}\text{EI}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }M_{32} = 0$$

$$M_{24} = \frac{3}{L_{24}}EI = \frac{3}{6}2EI = EI\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }M_{42} = 0$$

M₄₅ = 0 M₅₄ = 0

Wykres momentów stanu Z₁:

$$\mathbf{r}_{\mathbf{11}} = \frac{1}{4}EI + EI + \frac{3}{5}EI = \frac{\mathbf{37}}{\mathbf{20}}\mathbf{\text{EI}}$$

Stan wirtualny – węzłowi „4” nadano przesuw poziomy Z₂=1:

Wartości kątów obrotu prętów obliczono z równań łańcucha kinematycznego:

↓12

4 • ψ₁₂ = 0      ⇒      ψ₁₂ = 0

→54

$$5 \bullet \psi_{45} = 1\ \ \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \ \ \psi_{45} = \frac{1}{5}$$

↓542

0 • ψ₄₅ − 6 • ψ₂₄ = 0      ⇒      ψ₂₄ = 0

→3245

$$4 \bullet \psi_{23} + 0 \bullet \psi_{24} - 5 \bullet \psi_{45} = 0\ \ \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \ \ \psi_{23} = \frac{1}{4}$$

Stan Z₂:

Wartości przywęzłowych momentów podporowych:

M₁₂ = 0          M₂₁ = 0

$$M_{23} = - \frac{3}{L_{23}}EI \bullet \psi_{23} = - \frac{3}{5}EI \bullet \frac{1}{4} = - \frac{3}{20}\text{EI\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }M_{32} = 0$$

M₂₄ = 0          M₄₂ = 0

$$M_{45} = 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ M_{54} = - \frac{3}{L_{54}}EI \bullet \psi_{45} = - \frac{3}{5}EI \bullet \frac{1}{5} = - \frac{3}{25}\text{EI\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$$

Wykres momentów stanu Z₁:

$$\mathbf{r}_{\mathbf{21}}\mathbf{= -}\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{20}}\mathbf{\text{EI}}$$

Wartości r₁₂ i r₂₂ obliczono wykorzystując równanie pracy wirtualnej. W tym celu węzłowi „4” nadano wirtualny przesuw poziomy ${\overset{\overline{}}{}}_{4} = \overset{\overline{}}{1}$ zgodny z kierunkiem niewiadomych wartości. Wirtualne wartości ${\overset{\overline{}}{\psi}}_{\text{ik}}$ określają kąty obrotu prętów obliczone dla stanu wirtualnego.

$$r_{12} \bullet \overset{\overline{}}{1} + \left( M_{32} + M_{23} \right) \bullet {\overset{\overline{}}{\psi}}_{23} + \left( M_{12} + M_{21} \right) \bullet {\overset{\overline{}}{\psi}}_{12} + \left( M_{24} + M_{42} \right) \bullet {\overset{\overline{}}{\psi}}_{24} + \left( M_{45} + M_{54} \right) \bullet {\overset{\overline{}}{\psi}}_{45} = 0$$

$$r_{12} = - \left( 0 + \frac{3}{5}\text{EI} \right) \bullet \frac{\overset{\overline{}}{1}}{4} - \left( - \frac{1}{4}EI + \frac{1}{4}\text{EI} \right) \bullet 0 \bullet \overset{\overline{}}{1} - \left( EI + 0 \right) \bullet 0 \bullet \overset{\overline{}}{1} - (0 + 0) \bullet \frac{\overset{\overline{}}{1}}{5}$$

$$\mathbf{r}_{\mathbf{12}}\mathbf{= -}\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{5}}\mathbf{\text{EI}}$$

$$r_{22} \bullet \overset{\overline{}}{1} + \left( M_{32} + M_{23} \right) \bullet {\overset{\overline{}}{\psi}}_{23} + \left( M_{12} + M_{21} \right) \bullet {\overset{\overline{}}{\psi}}_{12} + \left( M_{24} + M_{42} \right) \bullet {\overset{\overline{}}{\psi}}_{24} + \left( M_{45} + M_{54} \right) \bullet {\overset{\overline{}}{\psi}}_{45} = 0$$

$$r_{22} = - \left( 0 - \frac{3}{20}\text{EI} \right) \bullet \frac{\overset{\overline{}}{1}}{4} - \left( 0 + 0 \right) \bullet 0 \bullet \overset{\overline{}}{1} - \left( 0 + 0 \right) \bullet 0 \bullet \overset{\overline{}}{1} - (0 - \frac{3}{25}EI) \bullet \frac{\overset{\overline{}}{1}}{5}$$

$$\mathbf{r}_{\mathbf{22}} = \frac{3}{80}\text{EI} + \frac{3}{125}EI = \frac{\mathbf{123}}{\mathbf{2000}}\mathbf{\text{EI}}$$

Stan „P”:

• Pręt 1-2

$$M_{12} = - \frac{ql^{2}}{6} = - \frac{6 \bullet 4^{2}}{6} = - 16\ \lbrack kNm\rbrack$$

$$M_{21} = - \frac{ql^{2}}{3} = - \frac{6 \bullet 4^{2}}{3} = - 32\ \lbrack kNm\rbrack$$

• Pręt 2-3

$$M_{23} = \frac{q{l_{y}}^{2}}{8} = \frac{6 \bullet 4^{2}}{8} = 12\ \lbrack kNm\rbrack$$

M₂₁ = 0

• Pręt 2-4

$$M_{24} = - \frac{3Pl}{16} = - \frac{3 \bullet 90 \bullet 6^{2}}{16} = - 101,25\ \lbrack kNm\rbrack$$

M₄₂ = 0 [kNm]

$$M_{4'} = \frac{5Pl}{32} = \frac{5 \bullet 90 \bullet 6}{32} = 84,375\ \lbrack kNm\rbrack$$

Wykres momentów stanu „P”:

R_1p = −32 − 101, 25 + 12 = −121, 25 [kNm]

Wyznaczenie wartości przemieszczeń wirtualnych sił Q_A, Q_B oraz P zakładając wirtualny przesuw poziomy węzła „4” o ₄=1:

Q_A = Q_B = 6 • 4 = 24kN

$$\left\{ \begin{matrix} {\overset{\overline{}}{}}_{A} = \overset{\overline{}}{1} \\ {\overset{\overline{}}{}}_{B} = 2 \bullet {\overset{\overline{}}{\psi}}_{23} = 2 \bullet \frac{\overset{\overline{}}{1}}{4} = \frac{\overset{\overline{}}{1}}{2} \\ {\overset{\overline{}}{}}_{C} \\ \end{matrix} \right.\ $$

Wartość R_2p wyznaczono wykorzystując równanie pracy wirtualnej:

$$R_{2p} \bullet \overset{\overline{}}{1} + \left( M_{32} + M_{23} \right) \bullet {\overset{\overline{}}{\psi}}_{23} + \left( M_{12} + M_{21} \right) \bullet {\overset{\overline{}}{\psi}}_{12} + \left( M_{24} + M_{42} \right) \bullet {\overset{\overline{}}{\psi}}_{24} + \left( M_{45} + M_{54} \right) \bullet {\overset{\overline{}}{\psi}}_{45} +$$

+Q_B•_B + Q_A•_A + P•_C = 0

$$R_{2p} \bullet \overset{\overline{}}{1} = - \left( 0 + 12 \right) \bullet \frac{\overset{\overline{}}{1}}{4} - ( - 16 - 32) \bullet 0 \bullet \overset{\overline{}}{1} - ( - 101,25 + 0) \bullet 0 \bullet \overset{\overline{}}{1} + \left( 0 + 0 \right) \bullet \frac{\overset{\overline{}}{1}}{5} -$$

$$- 24 \bullet \frac{\overset{\overline{}}{1}}{2} - 24 \bullet \overset{\overline{}}{1} - 90 \bullet 0$$

R_2p = −3 − 24 − 12 = −39 [kN]

Rozwiązanie układu równań kanonicznych:

$$\left\{ \begin{matrix} r_{11} \bullet Z_{1} + r_{12} \bullet Z_{2} + R_{1p} = 0 \\ r_{21} \bullet Z_{1} + r_{22} \bullet Z_{2} + R_{2p} = 0 \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$\left\{ \begin{matrix} \frac{37}{20}EI \bullet Z_{1} - \frac{3}{20}EI \bullet Z_{2} - 121,25 = 0 \\ - \frac{3}{20}EI \bullet Z_{1} + \frac{123}{2000}EI \bullet Z_{2} - 39 = 0 \\ \end{matrix} \right.\ $$

Po rozwiązaniu układu równań kanonicznych otrzymano:

$$\left\{ \begin{matrix} Z_{1} = 145,788825\frac{1}{\text{EI}} \\ Z_{2} = 989,7288414\frac{1}{\text{EI}} \\ \end{matrix} \right.\ $$

Sprawdzenie poprawności obliczeń:

$$\frac{37}{20}EI \bullet 145,788825\frac{1}{\text{EI}} - \frac{3}{20}EI \bullet 989,7288414\frac{1}{\text{EI}} - 121,25 = 0$$

0, 000 = 0

$$- \frac{3}{20}EI \bullet 145,788825\frac{1}{\text{EI}} + \frac{123}{2000}EI \bullet 989,7288414\frac{1}{\text{EI}} - 39 = 0$$

0, 000 = 0

Obliczenia momentów przywęzłowych z wykorzystaniem superpozycji:

M_ikⁿ = M_ik⁰ + M_ik¹ • Z₁ + M_ik² • Z₂

M₁₂ⁿ = M₁₂⁰ + M₁₂¹ • Z₁ + M₁₂² • Z₂

$$M_{12}^{n} = - 16 + \left( - \frac{1}{4}\text{EI} \right) \bullet 145,788825\frac{1}{\text{EI}} + 0 = - 52,44720625\ \lbrack kNm\rbrack$$

M₂₁ⁿ = M₂₁⁰ + M₂₁¹ • Z₁ + M₂₁² • Z₂

$$M_{21}^{n} = - 32 + \frac{1}{4}EI \bullet 145,788825\frac{1}{\text{EI}} + 0 = 4,44720625\ \lbrack kNm\rbrack$$

M₂₃ⁿ = M₂₃⁰ + M₂₃¹ • Z₁ + M₂₃² • Z₂

$$M_{23}^{n} = 12 + \frac{3}{5}EI \bullet 145,788825\frac{1}{\text{EI}} - \frac{3}{20}EI \bullet 989,7288414\frac{1}{\text{EI}} = - 48,98603121\ \lbrack kNm\rbrack$$

M₃₂ⁿ = M₃₂⁰ + M₃₂¹ • Z₁ + M₃₂² • Z₂

M₃₂ⁿ = 0 + 0 + 0 = 0 [kNm]

M₂₄ⁿ = M₂₄⁰ + M₂₄¹ • Z₁ + M₂₄² • Z₂

$$M_{24}^{n} = - 101,25 + EI \bullet 145,788825\frac{1}{\text{EI}} + 0 = 44,538825\ \lbrack kNm\rbrack$$

M_4′ⁿ = M_4′⁰ + M_4′¹ • Z₁ + M_4′² • Z₂

$$M_{4'}^{n} = 84,375 + \frac{1}{2}EI \bullet 145,788825\frac{1}{\text{EI}} + 0 = 157,2694125\ \lbrack kNm\rbrack$$

M₄₂ⁿ = M₄₂⁰ + M₄₂¹ • Z₁ + M₄₂² • Z₂

M₄₂ⁿ = 0 + 0 + 0 = 0 [kNm]

M₄₅ⁿ = M₄₅⁰ + M₄₅¹ • Z₁ + M₄₅² • Z₂

M₄₅ⁿ = 0 + 0 + 0 = 0 [kNm]

M₅₄ⁿ = M₅₄⁰ + M₅₄¹ • Z₁ + M₅₄² • Z₂

$$M_{54}^{n} = 0 + 0 - \frac{3}{25}EI \bullet 989,7288414\frac{1}{\text{EI}} = - 118,767461\ \lbrack kNm\rbrack$$

Ostateczny wykres momentów:

ΣM₂ = 0

48, 98603121 − 4, 44720625−

−44, 538825 = 0

0, 000 = 0

Sprawdzenie kinematyczne:

$$\overset{\overline{}}{1} \bullet_{3} = \sum_{}^{}{\int_{s}^{}{\frac{M_{p}^{n} \bullet \overset{\overline{}}{M}}{\text{EI}}\text{ds}}}$$

$$_{3} = \frac{1}{\text{EI}}\left\lbrack \frac{1}{2} \bullet 5 \bullet 48,98603121 \bullet \frac{2}{3} \bullet \left( - 4 \right) + \frac{2}{3} \bullet \frac{6 \bullet 4^{2}}{8} \bullet 5 \bullet \frac{1}{2} \bullet \left( - 4 \right) \right\rbrack +$$

$$+ \frac{1}{2EI}\left\lbrack \frac{1}{2} \bullet 3 \bullet 44,538825 \bullet \left( \frac{2}{3} \bullet \left( - 4 \right) + \frac{1}{3} \bullet \left( - 2 \right) \right) + \right.\ $$

$$+ \frac{1}{2} \bullet 3 \bullet 157,2694125 \bullet \left( \frac{1}{3} \bullet \left( - 4 \right) + \frac{2}{3} \bullet \left( - 2 \right) \right) + \left. \ \frac{1}{2} \bullet 157,2694125 \bullet 3 \bullet \frac{2}{3} \bullet \left( - 2 \right) \right\rbrack +$$

$$+ \frac{1}{\text{EI}}\left\lbrack \frac{1}{2} \bullet 5 \bullet 118,767461 \bullet \frac{2}{3} \bullet 5 \right\rbrack = \frac{1}{\text{EI}}\left\lbrack - 406,5735414 \right\rbrack +$$

$$+ \frac{1}{2EI}\left\lbrack - 222,694125 - 629,07765 - 314,538825 \right\rbrack + \frac{1}{\text{EI}}\left\lbrack 989,7288417 \right\rbrack =$$

=0, 0000003 ≅ 0, 000

Obliczenia sił poprzecznych:

• Pręt 2-3

ΣM₂ = 0

$$- M_{23} + T_{32} \bullet 5 - \frac{6 \bullet 4^{2}}{2} = 0$$

$$T_{32} \bullet 5 = M_{23} + \frac{6 \bullet 4^{2}}{2}$$

$$T_{32} \bullet 5 = 48,98603121 + \frac{6 \bullet 4^{2}}{2}$$

T₃₂ = 19, 39720624 [kN]

ΣM₃ = 0

$$- M_{23} - T_{23} \bullet 5 + \frac{6 \bullet 4^{2}}{2} = 0$$

$$T_{23} \bullet 5 = - M_{23} + \frac{6 \bullet 4^{2}}{2}$$

$$T_{23} \bullet 5 = - 48,98603121 + \frac{6 \bullet 4^{2}}{2}$$

T₂₃ = −0, 197206242 [kN]

• Pręt 1-2

ΣM₁ = 0

$$- M_{12} + M_{21} + T_{21} \bullet 4 - \frac{6 \bullet 4^{2}}{2} = 0$$

$$T_{21} \bullet 4 = M_{12} - M_{21} + \frac{6 \bullet 4^{2}}{2}$$

T₂₁ • 4 = 52, 44720625 − 4, 44720625+

$$+ \frac{6 \bullet 4^{2}}{2}$$

T₂₁ = 24 [kN]

• Pręt 2-4

ΣM₂ = 0

M₂₄ − T₄₂ • 6 + 90 • 3 = 0

T₄₂ • 6 = M₂₄ + 270

T₄₂ • 6 = 44, 538825 + 270

T₄₂ = 52, 4231375 [kN]

ΣM₄ = 0

M₂₄ + T₂₄ • 6 − 90 • 3 = 0

T₂₄ • 6 = −M₂₄ + 270

T₂₄ • 6 = −44, 538825 + 270

T₂₄ = 37, 5768625 [kN]

• Pręt 4-5

ΣM₄ = 0

−M₅₄ − T₅₄ • 5 = 0

T₅₄ • 5 = −M₂₄

T₅₄ • 5 = −118, 767461

T₅₄ = −23, 7534922 [kN]

ΣM₅ = 0

−M₅₄ + T₄₅ • 5 = 0

T₄₅ • 5 = M₅₄

T₄₅ • 5 = 118, 767461

T₄₅ = 23, 7534922 [kN]

Wykres sił poprzecznych:

Obliczenia sił normalnych:

• Węzeł „4”

ΣX = 0

−N₄₂ + T₄₅ = 0

N₄₂ = T₄₅ = 23, 7534922 [kN]

N₄₂ = N₂₄

ΣY = 0

−N₄₅ + T₄₂ = 0

N₄₅ = T₄₂ = 52, 4231375 [kN]

N₄₅ = N₅₄

• Węzeł „2”

sinβ = 0, 8     cosβ = 0, 6

ΣX = 0

−N₂₃ • cosβ + T₂₃ • sinβ − T₂₁ + N₂₄ = 0

$$N_{23} = \frac{T_{23} \bullet sin\beta - T_{21} + N_{24}}{\text{cosβ}} =$$

$$= \frac{0,197206242 \bullet 0,8 - 24 + 23,7534922}{0,6}$$

N₂₃ = −0, 147904677 [kN]

ΣY = 0

−N₂₃ • sinβ − T₂₃ • cosβ − N₂₁ + T₂₄ = 0

N₂₁ = T₂₃ • cosβ + N₂₃ • sinβ − T₂₄=

N₂₁ = (−0,147904677) • 0, 8 + 0, 197206242 • 0, 6 − 37, 5768625

N₂₁ = −37, 5768625 [kN]

N₂₁ = N₁₂

• Pręt 2-3

sinβ = 0, 8     cosβ = 0, 6

ΣX = 0

−N₃₂ + N₂₃ + q • cosβ • 4 = 0

N₃₂ = N₂₃ + q • cosβ • 4

N₃₂ = 0, 14, 54904677 + 6 • 0, 6 • 4

N₃₂ = 14, 54904677 [kN]

Wykres sił normalnych: