Politechnika Świętokrzyska

Wydział Zarządzania i Modelowania Komputerowego

Kierunek: Ekonomia

Model ekonometryczny:

Od czego zależała cena benzyny Pb95 w latach 2009-2011?

Kielce 2013

1. Opis problemu

Problem jaki postawiłyśmy sobie do zbadania to cena benzyny Pb95 w latach 2009-2011. Jako cechy charakteryzujące wybrałyśmy:
-import ropy naftowej -cenę LPG
- wydobycie ropy naftowej
- liczbę nowo-zarejestrowanych pojazdów
- kurs waluty USD
- produkcję przemysłową w Polsce

Model jednowymiarowy ma postać:

Y=f(x₁,x₂,x₃,x₄,x₅,x₆)

Y - cena benzyny Pb95 – zmienna objaśniana

X₁ - import ropy naftowej – zmienna objaśniająca

X₂ - cena LPG – zmienna objaśniająca

X₃ - wydobycie ropy naftowej – zmienna objaśniająca

X₄ -liczba nowo-zarejestrowanych pojazdów – zmienna objaśniająca

X₅ - kurs waluty USD – zmienna objaśniająca

X₆ - produkcja przemysłowa w Polsce – zmienna objaśniająca

1. Dane wyjściowe

Tabela1 Dane wyjściowe w rozpatrywanym modelu

	Y	x1 ( w mln ton)	x2 (w zł/l)	x3 (w tys. ton)	x4 (w szt.)	x5 (w zł)	x6
I ^2009	3,49	1,65	1,8	55	31 042	3,1717	-15,3
II	3,81	1,67	1,74	53	34 788	3,6314	-14,6
III	3,37	1,64	1,72	52	36 263	3,5412	-1,9
IV	3,86	1,66	1,67	56	33 149	3,348	-12,2
V	4,41	1,67	1,65	59	29 263	3,2337	-5,2
VI	4,54	1,69	1,67	61	30 991	3,2146	-4,5
VII	4,46	1,71	1,92	58	28 707	3,0596	-4,4
VIII	4,48	1,68	1,91	56	24 516	2,8956	0,1
IX	4,36	1,66	1,89	51	29 097	2,8595	-1,3
X	4,27	1,64	1,97	52	29 616	2,8469	-1,2
XI	4,37	1,65	2,08	53	31 576	2,799	9,9
XII	4,26	1,64	2,04	54	33 134	2,8352	7,4
I ^2010	4,38	1,8	2,17	55	28 591	2,8518	8,5
II	4,35	1,8	2,18	57	28 006	1,9385	9,2
III	4,5	1,81	2,2	53	33 788	2,8672	12,3
IV	4,61	1,82	2,16	54	29 436	2,8799	9,7
V	4,75	1,83	2,12	58	29 707	3,2137	14
VI	4,76	1,84	2,15	61	32 869	3,3571	14,5
VII	4,66	1,85	2,16	62	28 822	3,195	10,3
VIII	4,65	1,86	2,14	58	26 484	3,0894	13,5
IX	4,58	1,87	2,16	57	32 640	3,0318	11,8
X	4,58	1,88	2,29	54	35 637	2,8482	8
XI	4,59	1,89	2,28	53	39 680	2,8913	10,1
XII	4,67	1,9	2,48	55	42 293	3,0197	11,5
I ^2011	4,83	1,93	2,64	57	27 690	2,9148	10,3
II	4,95	1,96	2,61	54	26 551	2,8787	10,7
III	5,04	2,01	2,56	55	32 405	2,8688	7
IV	5,13	2,32	2,52	56	28 128	2,7467	6,7
V	5,17	2,25	2,51	52	28 221	2,7419	7,8
VI	5,14	2,14	2,49	53	30 915	2,7586	2
VII	5,13	2,12	2,47	54	26 603	2,7911	1,8
VIII	5,16	2,22	2,48	52	22 546	2,8756	8,1
IX	5,18	2,2	2,44	52	21 789	2,8779	10,2
X	5,21	2,18	2,5	54	31 760	2,7691	7,6
XI	5,15	2,31	2,47	53	28 431	2,7778	6,6
XII	5,23	2,27	2,49	55	29 003	2,7891	10,2

1. Eliminacja zmiennych quasi-stałych

Ze zbioru zmiennych wybranych jako zmiennych objaśniających eliminuje się te zmienne, które odznaczają się zbyt małą zmiennością. Miarą zmienności jest w tym przypadku współczynnik zmienności:

, gdzie:

- średnia

- odchylenie standardowe

Jeśli zmienna spełnia warunek to oznacza iż charakteryzuje się ona małą zmiennością i jest traktowana przez nas jako quasi-stała. Taką zmienną eliminujemy ze zbioru zmiennych kandydujących do modelu.

Obliczenia średniej, odchylenia standardowego i współczynnika zmienności przedstawia tabela 2.

Tabela2. Średnia, odchylenie standardowe i współczynnik zmienności

	Y	X1	X2	X3	X4	X5	X6
Średnia	1,89	4,61	2,19	55,11	30392,69	2,96	4,98
odch.stand.	0,22	0,46	0,29	2,70	4067,00	0,28	7,75
V	11,41	9,93	13,35	4,90	13,38	9,44	155,69

W naszym modelu, jako quasi-stałą uznajemy X3, co oznacza, że eliminujemy ją jako pierwszą. Natomiast pozostałe zmienne przechodzą do dalszej analizy, gdyż poszczególne wartości wskaźnika zmienności są większe od wartości krytycznej równej 9%.

1. Analiza współczynników korelacji

Współczynnik korelacji liniowej mierzy siłę liniowej współzależności. Oblicza się go ze wzoru:

gdzie

Analizę macierzy i wektora współczynników korelacji obliczono za pomocą programu Excel. Wyniki obliczeń przedstawia tabela 3.

Tabela 3. Macierz i wektor współczynników korelacji

	Y	x1	x2	x6	x4	x5
Y	1
x1	0,853	1,000
x2	0,829	0,836	1,000
x6	0,832	0,427	0,679	1,000
x4	-0,399	-0,326	-0,190	-0,064	1,000
x5	-0,468	-0,399	-0,543	-0,430	0,303	1

Wektor korelacji między zmienną objaśnianą a zmiennymi objaśniającymi ma następującą postać:

Natomiast macierz współczynników korelacji między zmiennymi objaśniającymi wygląda następująco:

Ustalenie wartości krytycznej współczynnika korelacji

gdzie:

- poziom istotności, ,

- liczba obserwacji, ,

- wartość statystyki t - Studenta dla zadanego poziomu istotności oraz dla stopni swobody,

- liczba stopni swobody.

Jako następne eliminujemy te zmienne, które są słabo skorelowane z Y. W tym celu korzystamy z warunku:

W naszym przypadku możemy powiedzieć, że silna korelacja jest w przedziałach .

1. Do modelu wybrałyśmy zmienną X₁ , gdyż jest najsilniej skorelowana z Y oraz zmienną X2, ponieważ jest skorelowana ze zmienną Y a nie jest skorelowana ze zmienną X₁.

Ostatecznie do modelu trafiają dwie zmienne – X₁ i X₂, Zmienne X₄ oraz X₅ zostały wyeliminowane, gdyż są słabo skorelowane z Y. Natomiast zmienna X₆ została wyeliminowana, gdyż jest silnie skorelowana.

Zależność zmiennej objaśnianej Y od zmiennej objaśniającej X₁ przedstawia wykres 1.

Wykres 1.

Zależność zmiennej objaśnianej Y od zmiennej objaśniającej X₂ przedstawia wykres 2.

Wykres 2.

1. Wybór postaci funkcji

Do projektu modelowania ekonometrycznego wybrany został model liniowy funkcji.

Poszukujemy zależności w postaci:

gdzie: - zmienna objaśniana,

- zmienne objaśniające,

- liczba zmiennych objaśniających,

- składnik losowy.

Rozpisując powyższą zależność dla poszczególnych obserwacji otrzymujemy:

…

gdzie:

- N-ta obserwacja zmiennej objaśnianej,

- N-ta obserwacja K-tej zmiennej objaśniającej,

- nieznane losowe składniki (zakłócenia) uwzględniające wpływ nie uwzględnionych w modelu czynników.

Przyjmiemy następujące oznaczenia macierzy:

1. Estymacja modelu – określenie parametrów funkcji

Zakładamy model postaci:

,

Obliczamy macierz :

Macierz odwrotna:

Obliczamy macierz :

Obliczamy macierz β:

Powyższe dane zostały obliczone za pomocą programu Excel.

Nasz model ma postać:

Wzrost importu ropy naftowej, spowoduje wzrost ceny o ok.1,13 zł. Z kolei jednostkowy wzrost cen LPG spowoduje wzrost ceny benzyny o ok.0,6zł.

1. Weryfikacja modelu

Współczynnik determinacji oblicza się ze wzoru:

Wartość R² jest liczbą należącą do przedziału [0:1]. Bliskie jedności R² wskazują na dobre dopasowanie, natomiast bliskie zera na słabe dopasowanie modelu do danych empirycznych. W praktyce przyjmuje się że model jest dobrze dopasowany, gdy R² > 0,6.

Współczynnik determinacji mówi, jaka część całkowitej zmienności zmiennej Y jesr wyjaśniona przez model.

R² = 0,7724 ~ 0,77

Z obliczeń wynika, że współczynnik determinacji jest większy od wartości 0,6. Stwierdzamy zatem, że model jest dobrze dopasowany do danych empirycznych. Wybrany przez nas model tłumaczy w 77% zmienność zmiennej Y.

1. Weryfikacja statystyczna modelu

Estymator wariancji składnika losowego:

0,043803031

Estymator odchylenia standardowego:

0,20929

Współczynnik zmienności:

V = 0,045 = 4,5%

Z obliczeń wynika, iż błędy sięgają 4,5 % średniego poziomu Y. Z związku z czym można stwierdzić, że są to małe błędy.

Macierz wariancji oraz kowariancji estymatorów parametrów:

Średnie błędy szacunku parametrów (błędy bezwzględne):

Błąd oszacowania parametru wynosi 0,336, błąd oszacowania parametru wynosi 0,322, a błąd oszacowania parametru wynosi 0,237.

Średni błąd względny szacunku k-tego parametru:

Dla$\left| \frac{0,336}{1,157} \right|$*100%= 29,04%

Dla $\left| \frac{0,322}{1,133} \right|$*100%= 28,42%

Dla $\left| \frac{0,237}{0,602} \right|$*100%= 39,36%

Model ma postać:

Parametry wyznaczone są z następującymi błędami:

• z błędem 0,336

• z błędem 0,322

• z błędem 0,237.

Najdokładniej wyznaczony jest parametr , ponieważ jego błąd względny jest najmniejszy i wynosi 28,42%%. Błąd względny parametru wynosi 29,04%. Najgorzej oszacowany jest parametr gdyż jego błąd względny wynosi 39,36%.

1. Stawianie hipotez dla parametrów

β₀ β₁ β₂

H₀ : β₀ = 0 H₀ : β₁ = 0 H₀ : β₀ = 0

H₁ : β₀0 H₁ : β₁0                                  H₁ : β₂0

α =0,05

t_{1 − ∝} = t_0, 95 =   2,05183

Wartość statystyki testowej oraz obszary krytyczne:

Wartość statystyki testowej oraz obszary krytyczne dla parametru :

T= $\frac{1,157}{0,336}$ =3,4434

Wartość statystyki testowej oraz obszary krytyczne dla parametru :

T=$\frac{1,133}{0,322}$ = 3,5186

Wartość statystyki testowej oraz obszary krytyczne dla parametru :

T=$\frac{0,602}{0,237}$ =2,5400

K = (2,05183;+∞)

Dla parametrów i wartość statystyki testowej należy do obszaru krytycznego, dlatego we obu przypadkach odrzucamy hipotezy zerowe, uznając za prawdziwe hipotezy alternatywne. Parametry i są istotnie statystycznie różne od zera. W naszym wypadku oznacza to, że import ropy naftowej w mln ton oraz cena LPG w zł, mają wpływ na cenę benzyny.

1. Przedziały ufności dla parametrów modelu

Przedziału ufności :

Dla parametru :

Dla parametru :

Dla parametru :

Z prawdopodobieństwem 95% , , . Na podstawie 30-elementowej próby nie można stwierdzić w jakim wieku może być najmłodsza kobieta, która może urodzić dziecko, ponieważ przedział ufności zawiera wartości dodatnie jak i ujemne, a jak powszechnie wiadomo wiek nie może być ujemny, a nie mamy podstaw by twierdzić, że jest to 6,48 rok życia. Jeśli chodzi o przedział dla β₁ interpretuje się go tak, że jednostkowy wzrost importu ropy naftowej może powodować wzrost ceny benzyny w granicach od 0,47 do 1,35. Przedział dla β₂ interpretuje się tak, że każdy jednostkowy wzrost ceny LPG, wpływa na wzrost ceny benzyny w granicach od 0,00323 do 0,12 do 1,1.

1. Prognozowanie

Celem modelowania jest budowanie prognozy czyli przewidywanie jak badane zjawisko będzie kształtowało się w następnych latach. W naszym modelu będzie to prognozowanie ceny benzyny Pb95 przy założeniu konkretnych zmiennych objaśniających. W tym celu przyjęto, iż wartości zmiennych objaśniających będą wynosiły:2,2 import ropy naftowej oraz 2,53 cena LPG.

Prognozowana Y*(cena benzyny) wynosi:

Y*=5,17

Średni błąd szacunku parametru Y ^*:

Błąd oszacowania parametru Y^* wynosi 1,04

Średni względny błąd prognozy:

Średni względny błąd prognozy wynosi 20,1%, co oznacza, że wartość przyjętych zmiennych objaśniających jest dobrze dobrana i są wartościami wiarygodnymi.

PODSUMOWANIE - WYJŚCIE
Statystyki regresji
Wielokrotność R
R kwadrat
Dopasowany R kwadrat
Błąd standardowy
Obserwacje

ANALIZA WARIANCJI
	df	SS	MS	F
Regresja	2	5,1179	2,5589	60,5207
Resztkowy	32	1,3530	0,0423
Razem	34	6,4709

	Współczynniki	Błąd stand.	t Stat	Wartość-p	Dolne 95%	Górne 95%	Dolne 95%	Górne95%
Przecięcie	1,3557	0,3051	4,4428	0,0001	0,7341	1,9772	0,7341	1,9772
1,65	1,1323	0,2857	3,9631	0,0004	0,5503	1,7143	0,5503	1,7143
1,8	0,5198	0,2126	2,4453	0,0202	0,0868	0,9529	0,0868	0,9529

Wnioski

Celem projektu było zbadanie jaki wpływ na cenę benzyny Pb95 w latach 2009-2011 mają czynniki zewnętrzne. Skupiłyśmy się właśnie na tym problemie, gdyż na przełomie tych lat był to temat bardzo popularny. W pierwszym etapie konstruowania modelu ekonometrycznego było sześć parametrów, które miały wpływ na cenę benzyny Pb95. Z przeprowadzonych obserwacji, analizy ekonometrycznej wynika, iż cena zależy od importu ropy naftowej oraz ceny LPG. Na podstawie zebranych danych i po przeprowadzeniu obliczeń utworzyłyśmy model w postaci: , który opisuje w 77% opisuje zmienność ceny od przyjętych do modelu zmiennych.