Inżynieria Środowiska I ROK		22.05.2012 r.
Ćwiczenie numer 13	Wyznaczanie przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego.

1.Wstęp:

Wahadłem nazywamy ciało zawieszone w stałym punkcie albo na stałej osi tak, by mogło się obracać lub wykonywać wahania (drgania) około stałego położenia równowagi pod działaniem momentu kierującego, wytworzonego przez siłę ciężkości.

Siły przyłożone do wahadła, w jego położeniu równowagi, są siłami ciężkości i równają się ciężarowi wahadła Q=mg, punktem przyłożenia ich wypadkowej jest środek ciężkości wahadła S. Wahadło jest w równowadze, gdy jego środek ciężkości znajduje się w płaszczyźnie pionowej przechodzącej przez oś obrotu. S oznacza środek ciężkości wahadła o masie m. Gdy wahadło zostanie wychylone o mały kąt α, to działa nań względem osi O moment siły: M=-mgdsinα gdzie: d- odległość punktu zaczepienia od środka masy (OS), znak ”-” oznacza , że moment siły dąży do zawrócenia wahadła do położenia równowagi.

Ruch wahadła opisuje druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego, zgodnie z którą iloczyn momentu bezwładności I i przyspieszenia kątowego jest równa momentowi siły

zakładając małe kąty wychylenia, w przybliżeniu otrzyma się równanie:

Wprowadzając oznaczenie:

Szczególne rozwiązanie tego równania, przedstawiające zależność kąta pochylenia α od czasu t, ma postać: α=Asint gdzie: A-jest amplitudą drgań , ϖ-częstotliwość kołową drgań wahadła.

Uwzględniając zależność między okresem drgań w ruchu harmonicznego T i jego częstością kołową ϖ otrzymamy wzór na okres drgań wahadła fizycznego:

Z tego wzoru wynika, że dla małych wychyleń okres drgań wahadła fizycznego zależy od momentu bezwładności względem osi obrotu, od masy wahadła

z tego łatwo już zauważyć, że wahadło matematyczne o długości Ir=I/md ma taki sam okres drgań jak wahadło fizyczne.

Można udowodnić, że okres T₁ wahadła fizycznego, zawieszonego na osi przechodzącej przez punkt O₁ i równoległej do osi zawieszenia w punkcie O,jest równy okresowi T wahadła, gdy jest ono zawieszone na osi w punkcie O. Okres wahadła zawieszonego w punkcie O:

okres wahadła zawieszonego w punkcie O₁:

Jeżeli Io oznacza moment bezwładności względem osi przechodzącej przez punkt S i równoległej od osi przechodzącej przez punkt O i O₁, wówczas na podstawie twierdzenia Steinera otrzymamy:

Jeżeli więc, w punkcie przechodzącym przez punkt O, znajduje się taki nowy punkt zawieszenia O₁ względem którego okres wahań naszego wahadła nie ulega zmianie, wówczas odległość od punktu O do punktu O₁ jest długością zredukowaną wahadła fizycznego. Znając długość zredukowaną wahadła fizycznego można dokładnie wyznaczyć wartość przyspieszenia ziemskiego g.

Model wahadła fizycznego. Oś zawieszenia przechodzi przez punkt O.

2.Tabela pomiarowa:

Katarzyna Głowska

L.p	n-liczba wachnięć	tn [ms]-czas	x [cm] -odległość	T-okres [s]	l [cm] - długość	L.p	n-liczba wachnięć	tn [ms]-czas	x [cm] -odległość	T-okres [s]	l [cm] - długość
1	10	13012	5	1,3012	48	1	10	13 660	47	1,366	48
2	10	11730	7	1,173	48	2	10	13 482	45	1,3482	48
3	10	11102	9	1,1102	48	3	10	13 323	43	1,3323	48
4	10	10640	11	1,064	48	4	10	13 201	41	1,3201	48
5	10	10455	13	1,0455	48	5	10	13 098	39	1,3098	48
6	10	10361	15	1,0361	48	6	10	13 031	37	1,3031	48
7	10	10343	17	1,0343	48	7	10	12 969	35	1,2969	48
8	10	10430	19	1,043	48	8	10	12 927	33	1,2927	48
9	10	10556	21	1,0556	48	9	10	12 916	31	1,2916	48
10	10	10737	23	1,0737	48	10	10	12 912	29	1,2912	48
11	10	10978	25	1,0978	48	11	10	12 927	27	1,2927	48
12	10	11215	27	1,1215	48	12	10	12 953	25	1,2953	48
13	10	11479	29	1,1479	48	13	10	13 007	23	1,3007	48
14	10	11705	31	1,1705	48	14	10	13 065	21	1,3065	48
15	10	11824	33	1,1824	48	15	10	13 136	19	1,3136	48
16	10	12075	35	1,2075	48	16	10	13 208	17	1,3208	48
17	10	12324	37	1,2324	48	17	10	13 296	15	1,3296	48
18	10	12592	39	1,2592	48	18	10	13 395	13	1,3395	48
19	10	12851	41	1,2851	48	19	10	13 502	11	1,3502	48
20	10	13105	43	1,3105	48	20	10	13 612	9	1,3612	48
21	10	13360	45	1,336	48	21	10	13 722	7	1,3722	48
22	10	13610	47	1,361	48	22	10	13 848	5	1,3848	48

3. Obliczenia

T = 1, 37 s

Obliczyć przyśpieszenie ziemskie ze wzoru:

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}\text{\ \ \ }$$

$$\text{\ \ \ }g = \frac{4\pi^{2}l}{T^{2}}$$

π- (pi) stała wynosząca 3,14

T - okres wahnięcia 1,37 s

l - odległość między ostrzami O₁ i O₂ =› 48 cm

g - przyśpieszenie ziemskie

$$g = \frac{4*{3,14}^{2}*0,48}{{1,37}^{2}}$$

$$g = \frac{18,93}{1,877} = 10,09\ \frac{m}{s^{2}}$$

4. Niepewność pomiaru

• odległości u(l) :

∆_dl – 1 mm

∆el – 2 mm

$$u\left( l \right) = \sqrt{\frac{{0,001}^{2} + {0,002}^{2}}{3}} = 0,0013m$$

• odległości u(x) :

_d(x) = 0, 1cm

_e(x) = 0, 3cm

$$u\left( x \right) = \sqrt{\frac{{0,001}^{2} + {0,003}^{2}}{3}} = 0,0018m$$

• czasu u(t) :

_d(t) = 0, 001s

_e(t) = 0, 01s

$$u\left( t \right) = \sqrt{\frac{{0,001}^{2} + {0,01}^{2}}{3}} = 0,0058s$$

• okresu u(T)

$$u\left( T \right) = \frac{0,0058}{10}s = 0,00058s$$

• przyspieszenia u_c(g)

$$u_{c}\left( g \right) = \sqrt{\left( \frac{4\pi^{2}}{T^{2}}*u(l) \right)^{2} + \left( \frac{- 8\pi^{2}}{T^{3}}*u(T) \right)^{2}}$$

$$u_{c}\left( g \right) = \sqrt{\left( \frac{4{*3,14}^{2}}{{1,37}^{2}}*0,0013 \right)^{2} + \left( \frac{- 8{*3,14}^{2}}{{1,37}^{3}}*0,00058 \right)^{2}} = 0,0054\frac{m}{s^{2}}$$

• Obliczamy niepewność rozszerzoną

$$U\left( g \right) = 2*u\left( g \right) = \ 2\ *0,0054\ = \ 0,011\ \frac{m}{s^{2}}$$

5.Wnioski:

Wartość tablicowa	Wartość obliczeniowa	Niepewność rozszerzona
9,81 m/s^2	$$10,09\ \pm 0,0054\frac{m}{s^{2}}$$	$$0,011\frac{m}{s^{2}}$$

Celem zadania było wyliczenie przyspieszenia ziemskiego. Do tego celu używaliśmy wahadła rewersyjnego. Zrobiliśmy pomiary dla dwóch możliwości, zmieniając odległość masy co 2 cm. Wartość obliczeniowa wyszła

o 0,28 m/s² większa niż wartość tablicowa. Błędy w pomiarach mogły być spowodowane przez różne wychylenia z punktu równowagi.