Mechatronika 1 rok	Wyznaczanie przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego.	26.02.2011r.
Ćw. Nr 16

1. Cel ćwiczenia:

Celem ćwiczenia jest wyznaczenie przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego.

1. Opis zagadnienia:

• WAHADŁO REWERSYJNE

Wahadłem fizycznym jest bryła sztywna wykonująca wahania wokół osi poziomej zawieszenia, ulokowanej powyżej środka ciężkości. Na bryłę wychyloną z położenia równowagi o kąt działa moment obrotowy:

We wzorze tym jest odległością środka ciężkości od punktu zawieszenia. Równanie ruchu wynosi:

gdzie - moment bezwładności, - przyśpieszeniem kątowym. Dla małych kątów sinus można zastąpić wartością kąta w mierze łukowej. Drgania wahadła fizycznego są w przybliżeniu harmoniczne o okresie:

Wzór ten jednak nie pozwala na wyznaczenie przyśpieszenia ziemskiego ze względu na kłopotliwy sposób określania zarówno momentu bezwładności, jak i odległości . Problemów tych unikamy stosując tzw. wahadło rewersyjne, które jest rodzajem wahadła fizycznego o dwóch równoległych osiach zawieszenia i regulowanym rozkładzie masy. Dzięki czemu możliwe jest osiągnięcie identycznych okresów drgań przy obu sposobach zawieszenia. Pozwala to na precyzyjne wyznaczenie wartości przyspieszenia grawitacyjnego w badanym miejscu.

• OPIS METODY POMIARU

W celu przeprowadzenia pomiarów użyliśmy wahadła fizycznego z nieruchomą masą S1 umieszczoną za jednym z ostrzy (O₁), oraz drugiej, takiej samej masy S2, o regulowanym położeniu na ramieniu wahadła.Regulacja położenia masy S2 odbywała się na odcinku między ostrzami O₁ a O₂. Początkowo wahadło zostało umieszczone ostrzem O₁ na wsporniku.Przesuwaliśmy masę S2 od najbliższej odległości S1 w całym zakresie odległości między ostrzami, co ok. 4cm i mierzyliśmy czas 10 wahnięć dla każdego położenia S2. Następnie zamocowaliśmy wahadło na drugim ostrzu O₂ i dokonaliśmy pomiarów w takim ułożeniu.

Pomiary i obliczenia

1. Tabela pomiarowa 1.

	L.p.	Liczba wahnięć n	Czas tn [s]	Odległość x [cm]	Okres T [s]	Długość l [cm]
OSTRZE O1	1	10	13,472	4,8	1,347	44,2
	2		11,243	8,8	1,124
	3		10,462	12,8	1,046
	4		10,33	16,8	1,033
	5		10,537	21,1	1,054
	6		10,942	25,6	1,094
	7		11,429	29,7	1,143
	8		11,882	33,7	1,188
	9		12,41	37,8	1,241
	10		12,912	41,7	1,291
	11		13,437	45,7	1,344
OSTRZE O2	1	10	13,406	4,8	1,341	44,2
	2		13,174	8,8	1,317
	3		12,975	12,8	1,298
	4		12,804	16,8	1,28
	5		12,662	21	1,266
	6		12,587	25,5	1,259
	7		12,578	29,7	1,258
	8		12,648	33,7	1,265
	9		12,803	37,7	1,28
	10		13,062	41,7	1,306

1. Wykres 1. Zależność okresu T [s] od położenia ciężarka x [cm] dla ostrza O1 i ostrza O2.

• Niepewności wzorcowania i eksperymentatora dla pomiarów wielkości x, l i t_n

Δ_dx= 1[mm]

Δ_ex= 2[mm]

Δ_dl= 1[mm]

Δ_el= 2[mm]

Δ_dt_n= 1[ms]

Δ_et_n= 3[ms]

• Obliczanie okresu T:

T_n=$\frac{t_{n}}{n}$

np. T₁= 13,472/10= 1,3472≈1,347[s]

Resztę okresów policzyłem analogicznie do tego przykładu. Wyniki zamieściłem w tabeli.

• Jako punkt przecięcia krzywych przyjąłem x= 4,8 cm. Ponieważ rzędne nie są równe, musimy wyliczyć ich średnią wartość, aby otrzymać szukany okres T.

$$\overset{\overline{}}{T} = \frac{T_{O1} + T_{O2}}{2} = \frac{1,347 + 1,341}{2} = 1,344\lbrack s\rbrack$$

• Obliczanie przyśpieszenia ziemskiego:

Odległość między ostrzami: l= 44,2 cm= 0,442 m

Wzór na przyśpieszenie ziemskie:

g= 4π²$\frac{l}{T^{2}}$

g= 4*(3,142)²*$\frac{0,442}{{1,344}^{2}} =$39,49*0,244=9,6356$\ \lbrack\frac{m}{s^{2}}\rbrack$

Dyskusja niepewności pomiarowych

Niepewność obliczyłem z odchylenia standardowego średniej dla małej ilości pomiarów .

$$\overset{\overline{}}{T} = \sqrt{\frac{{(T_{A} - \overset{\overline{}}{T})}^{2} + {(T_{B} - \overset{\overline{}}{T})}^{2}}{2(2 - 1)}} = \sqrt{\frac{{(1,347 - 1,344)}^{2} + {(1,341 - 1,344)}^{2}}{2}} = 0,0009\lbrack s\rbrack$$

$$\overset{\overline{}}{T} = \left( 1,344 \pm 0,0009 \right)\lbrack s\rbrack$$

• Odległość l między ostrzami została zmierzona za pomocą katetometru. Za niepewność pomiaru odległości przyjąłem

Δl₀=1[mm]

l₀=(442±1)*10^-3[m]

• Niepewność całkowita pomiaru przyśpieszenia u_c(g)

Δg=$\sqrt{\left( \left( \frac{\partial g}{\partial l_{0}} \right)l_{0} \right)^{2} + {(\left( \frac{\partial g}{\partial\overset{\overline{}}{T}} \right)\overset{\overline{}}{T})}^{2}}$= $\sqrt{{{(4\pi}^{2}\frac{1}{{\overset{\overline{}}{T}}^{2}}l_{0})}^{2} + {( - {8\pi}^{2}\frac{l_{0}}{{\overset{\overline{}}{T}}^{3}}\overset{\overline{}}{T})}^{2}}$ =

$$\sqrt{\left( 4*\left( 3,142 \right)^{2}*\frac{10^{- 3}}{\left( 1,344 \right)^{2}} \right)^{2} + \left( - 8*\left( 3,142 \right)^{2}*\frac{0,442}{\left( 1,344 \right)^{3}}*0,0009 \right)^{2}} =$$

$$\sqrt{{0,0218}^{2} + \left( - 0,0129 \right)^{2}} = \sqrt{0,0004752 + 0,0001664 =}\ \sqrt{0,0006416 =}$$

0,02533$\ \lbrack\frac{m}{s^{2}}\rbrack$

W wyniku przeprowadzonych pomiarów oraz obliczeń wyznaczyliśmy wartość stałej grawitacji:

g= (9,6356±0,0253)$\ \lbrack\frac{m}{s^{2}}\rbrack$

Wnioski

Uzyskana wartość przyśpieszenia nieznacznie różni się od wartości tabelarycznej, która wynosi . Błędy pomiarów mogły wynikać z różnego odchylania wahadła od położenia równowagi. Jak również istnieje tarcie w punkcie zawieszenia wahadła oraz opór powietrza na pręt wahadła rewersyjnego. Ćwiczenie wykazało, że nawet w prostym ćwiczeniu laboratoryjnym można wyznaczyć stałą grawitacji z nienajgorszym przybliżeniem.