Belkowy element skończony.

Z teorii wytrzymałości materiałow wiadomo że belki obciążone są momentami gnącymi i siłami poprzecznymi, skupionymi lub rozłożonymi. Obciążenia te wywołują w poszczególnych przekrojach belki stan zginania.

Pod wpływem obciązenia zewnętrznego belka ugina się. Każdy jej przekrój doznaje przemieszczenia Wi oraz obrotu Φi. Belkowy element skonczony posiada cztery stopnie swobody. W związku z tym, w celu określenia belkowego el. Sk. Dzielimy plaska belke na odcinki (mogą być roznej dlugosci), zwane el. Skonczonymi, polaczone ze soba wezlami. Przyjmujemy ze belkowy el. Sk. Ma stały moment bezwładności J(przekroju) oraz moduł sprężystości E.

Rozważamy zginanie symetryczne. Zakładamy ze siły tnace majace znikomy wplyw na przemieszczenia, maja również maly udzial w energii odksztalcenia, mogą wiec być pominiete.

Każdy element belkowego elementu skonczonego ma dwa stopnie swobody:

-przemieszczenie wezlowe W

-kat obrotu Φ

Wynika z tego ze belkowy el. Sk. Rozwazany w jego lokalnym ukladzie wspolrzednych ma cztery stopnie swobody.

Lokalny wektor parametrów wezlowych:

[q]=[q1,q2,q3,q4]

Elementami wektora [q] sa ugiecia i katy obrotu przekrojow w wezlach: [q]=[W, Φ,W2, Φ2] gdzie w-ugiecie, Φ-kat obrotu.

Za wezly przyjmuje się:

-punkty gdzie wystepuje podpora, konce belki, punkty naglej zmiany wlasnosci fizycznych(modul Younge’a) bądź geometrycznych, punkty naglej zmiany obciazenia cialego lub skupionego, punkty w których należy dokladniej okreslic wartosci sil zewnetrznych lub przemieszczen.

W celu utworzenia modelu obliczeniowego belki należy:

-podzielic belke na el. Sk. i okreslic wezly

-ustalic cechy geometryczne, fizyczne poszczegolnych elementow

-zastapic dowolnie dzialajace obciazenia (o ile potrzeba) rownowaznym kinematycznie ukladem sil wezlowych.

W przypadku dzialania na belke obciazenia ciaglego zastepujemy je ukladem sil skupionych, tak aby uzyskac taka sama energie odksztalcenia.

Ugiecie belki – funkcje interpolacujne Hermite’a

Równanie opisujące ugiecie belki:

EJw^IV(ξ) = p(ξ) , p(ξ) − ociazenie belki,

E- modul Younge’a,

J- glowny centralny momen bezwladnosci przekroju belki

Ponieważ w metodzie al. Sk. wewnatrz elementu nie można przylozyc obciazenia, zatem p(x)=o, co powoduje ze w^IV(ξ) = 0 Wtedy rownanie ugiecia belki przyjmuje postac:

w(ξ) = α₁ + α₂ξ + α₃ξ² + α₄ξ³

W odniesieniu do rozważanej belki (el.sk.) można sformuowac nastepujace warunki brzegowe:

w(0) = w₁ = q              ∩             w(l) = w₂ = q₃

w^′(0) = Θ₁ = q₂           ∩             w^′(l) = Θ₂ = q₄

Zatem z rownania po uwzglednieniu warunkow brzegowych:

w(0) = α₁

w^′(0) = α₂

w(l) = α₁ + α₂l + α₃l² + α₄l³

w^′(l) = α₂ + 2α₃l + 3α₄l²

Rozwiazujac powyzszy uklad mamy:

α₁ = q₁

α₂ = q₂

α₃ = ( − 3q₁ − 2lq₂ + 3q₃ − lq₄)/l²

α₄ = (2q₁ + lq₂ − 2q₃ + lq₄)/l³

Zatem rownanie opisujace belke ma postac:

w(ξ) = N₁(ξ)q₁ + N₂(ξ)q₂ + N₃(ξ)q₃ + N₄(ξ)q₄

W postaci wektorowej: w(ξ) = [N(ξ)] * {q}

gdzie [N(ξ)] − model zjawiska

$$N_{1}\left( \xi \right) = 1 - 3\frac{\xi^{2}}{l^{2}} + 2\frac{\xi^{3}}{l^{3}}$$

$$N_{2}\left( \xi \right) = \xi - 2\frac{\xi^{2}}{l^{}} + 2\frac{\xi^{3}}{l^{2}}$$

$$N_{1}\left( \xi \right) = 3\frac{\xi^{2}}{l^{2}} - 2\frac{\xi^{3}}{l^{3}}$$

$$N_{1}\left( \xi \right) = - \frac{\xi^{2}}{l^{}} + 2\frac{\xi^{3}}{l^{2}}$$

Funkcje N_i(ξ) nazywaja się f-cjami ksztaltu (wzory interpolacyjne Hermite’a) i pelnia wazna role w MES. Sa tak dobrane, ze ugiecie lub kat obrotu odpowiadajace odpowiednim stopniom swobody sa rowne 1, podczas gdy pozostale przemieszczenia lub obroty sa rowne 0. Jest to kombinacja krzywych odpowiadajacych poszczegolnym stopniom swobody.

Macierz sztywnosci belkowego el.sk.

Calkowita energia potencjalna belki: W=U-L

Energia odksztalcenia calego ciala sprezystego

$$U = \sum_{i = 1}^{\text{Ni}}\text{Ui}$$

Energia odksztalcenia belkowego el.sk.:

$$U_{i} = \frac{1}{2}\int_{0}^{4}{EI(w")^{2}\text{dξ}}$$

Przy czym należy uwzglenic ze $M = EIw"$

Oraz $w" = (w')' = \Theta' = d\Theta/d\xi$

Uwzgleniajac operator rozniczkowania oraz model zjawiska

w = [N(ξ)] * {q}

$$w" = \left\lbrack N"\left( \xi \right) \right\rbrack*\{ q\}$$

Przy czym:

$$\frac{d^{2}N_{1}}{d\xi^{2}} = \frac{6}{l^{2}}(1 - 2L_{1})$$

$$\frac{d^{2}N_{2}}{d\xi^{2}} = \frac{1}{l^{}}( - 4L_{1} + 2L_{2})$$

$$\frac{d^{2}N_{3}}{d\xi^{2}} = \frac{6}{l^{2}}(1 - 2L_{2})$$

$$\frac{d^{2}N_{4}}{d\xi^{2}} = \frac{1}{l^{}}( - 2L_{1} + 4L_{2})$$

Kwadrat wielkosci skalarnej:

$\left( w\mathrm{)}^{\mathrm{2}}\mathrm{= w}*w\mathrm{= \lbrack q\rbrack\{ w} \right\}*\lbrack w"\rbrack\{ q\}$ wiersz*kolumna=skalar

Zatem:

$$U_{i} = \frac{1}{2}\left\lbrack q_{i} \right\rbrack*\int_{0}^{4}{(EI\{ N"\mathrm{\}\lbrack N"}\rbrack})d\xi\{ q_{i}\}$$

Co krocej można zapisac: $U_{i} = \frac{1}{2}\left\lbrack q \right\rbrack*K_{i}*\{ q_{i}\}$

Gdzise Ki – macierz sztywnosci elementu skonczonego o indeksie i (4x4 Belka, 2x2 pret). Calka z macierzy jest suma calek poszczegolnych komorek.

k_i = ∫₀⁴EIdξ

W przypadku gdy EI = const:

$$k_{i} = \frac{2EI}{l^{3}}\lbrack\rbrack$$

Analiza belki (ramy) polega na zbudowaniu globalnej macierzy sztywnosci calej belki, która zestawiamy na podstawie poprzednio wyznaczonych macierzy sztywnosci poszczegolnych belkowych el.skonczonych.

Globalna macierz sztywnosci jest symetryczna, a ponadto pasmowa. Pasmowośc sztywnosci jest konsekwencją odpowiedniej numeracji elementow skonczonych. Umozliwia to oszczedne gospodarowanie pamiecia komputera.

Dla calego ukladu globalna rzeczywista macierz sztywnosci:

$$K = G^{T}*\left( \sum_{i = 1}^{N}\pi_{i}^{T}*k_{i}*\pi_{i} \right)G$$

π_i-Macierz przyporzadkowanie i-tego elementu

G- macierz warunkow brzegowych

N_E- Number of elements (liczba elementow skonczonych)

Jeżeli wystepuje obciazenie ciagle dzialajace na element skonczony, wtedy wyznacza się obciazenie zastepcze w postaci sil lub momentow.

Globalny wektor parametr. wezlowych konstrukcji belkowej:

[r] = [w₁, θ₁, …, w_NE + 1, θ_NE + 1]

Obciążenia ciągłe

Poszukujemy takiego obciązenia dyskretnego (zlozonego z sil i momentow skupionych), którego praca na dowolnym przemieszczeniu przygotowanym będzie rowna pracy przygotowanej obciazenia rzeczywistego. Unieruchomiamy wszystkie stopnie swobody poza przemieszczeniem:

Sile zastepcza obciazenia ciaglego obliczamy za pomoca metod energetycznych.

[q_i] = [1, 0, 0, 0] Wezel i: [1,0 wezel i+1: 0,0]

Elementarna siła dPi: dP_i = p_i(ξ)dξ wykonuje elementarna prace dLp(x) na przemieszczeniach w_i(ξ)

w_i(ξ) = [N_i] * {q_i}

dlp(x)_i = dP_iw_i = p_i(ξ)[N]_i * dξ * {q}_i

przy czym [q]_i = [1, 0, 0, 0]

zatem: dLp(x)_i = p_i(ξ) * N_i * dξ

analogicznie: dLp(x)_i − 1 = p_i − 1(ξ) * N₃ * dξ

przy czym: [q]_i − 1 = [0, 0, −1, 0], [N]_i − 1{q}_i − 1 = N₃

Praca jest suma calek. Prace elementarne z el.sk. przylegajacych do wezla i:

Lp(x) = ∫₀^Li − 1p_i − 1 * N₃ * dξ + ∫₀^Lip_i * N_idξ

Praca sily skupionej R_i, 1 na odcinku 1 wynosi:

L_R, 1 = R_i, 1 * 1 = R_i, 1

Zatem:

R_i, 1 = ∫₀^Li − 1p_i − 1*N₃dξ + ∫₀^Lip_i * N_idξ

Uwzgledniajac wzory na funkcje modolujace N₃, N₁(Hermite’a)

$$R_{i,1} = \int_{0}^{Li - 1}p_{i - 1}\left( 3\frac{\xi^{2}}{L_{i - 1}^{2}} - 2\frac{\xi^{3}}{L_{i - 1}^{3}} \right)\text{dξ}$$

$$+ \int_{0}^{\text{Li}}p_{i}\left( 1 - 3\frac{\xi^{2}}{L_{i}^{2}} + 2\frac{\xi^{3}}{L_{i}^{3}} \right)\text{dξ}$$

Analogicznie otrzymamy:

R_i, 2 = ∫₀^Li − 1p_i − 1(N₄)dξ + ∫₀^Lip_i(N₂)dξ

$$= \int_{0}^{Li - 1}p_{i - 1}\left( \frac{{- \xi}^{2}}{L_{i - 1}^{}} + \frac{\xi^{3}}{L_{i - 1}^{2}} \right)\text{dξ}$$

$$+ \int_{0}^{\text{Li}}{}\left( \xi - 2\frac{\xi^{2}}{L_{i}^{}} + \frac{\xi^{3}}{L_{i}^{}} \right)\text{dξ}$$

R_i, 1- sila skupiona wyk. prace na przemieszczeniach w_i = 1

R_i, 1- sila skupiona wyk. prace na przemieszczeniach θ_i = 1

Najczesciej spotykane przypadki obciazenia ciaglego:

$$R_{i,1} = \frac{1}{2}p_{i - 1}l_{i - 1} + \frac{1}{2}p_{i}l_{i}$$

$$R_{i,2} = - \frac{1}{12}p_{i - 1}l_{i - 1} + \frac{1}{12}p_{i}(l_{i})^{2}$$

$$p_{i - 1} = p_{1} + \frac{p_{2} - p_{1}}{l_{i - 1}}\xi$$

$$p_{i} = p_{2} + \frac{p_{3} - p_{2}}{l_{i}}\xi$$

$$R_{i,1} = \left( \frac{3}{20}p_{1} + \frac{7}{20}p_{2} \right)l_{i - 1} + \left( \frac{7}{20}p_{2} + \frac{3}{20}p_{3} \right)l_{i}$$

$$R_{i,2} = \left( \frac{1}{30}p_{1} + \frac{1}{20}p_{2} \right)l_{i - 1}^{2} + \left( \frac{1}{20}p_{2} + \frac{1}{30}p_{3} \right){l_{i}}^{2}$$

Kratownice Płaskie

Kratownica nazywamy konstrukcje zlozona z pretow prostych, polaczonych wezlami. Dla kratownicy idealnej sa nastepujace warunki:1)wezly sa przegubami bez tarcia 2)osie pretow przecinaja się w srodkach przegubow 3)obciazenie zewnetrzne stanowia sily skupione przylozone do wezlow.

Przy tych zalozeniach każdy pret znajduje się w stanie prostego sciskania lub rozciagania.

Pret zajmuje pierwotne polozenie okreslone wspolrzednymi wezlow 1 i 2 globalnego ukladu wspolrzednych (x,y), w skutek dzialania sil zewnetrznych przemiescil się do polozenia 1’2’

Skladowe przemieszczen 11’ i 22’ stanowia wektor przemieszczen , który w ukladzie (x,y) ma postac:

[d] = [d₁,d₂,d₃,d₄] = [u₁, v₁, u₂, v₂]

Skladowe te w lokalnym ukladzie wspolrzednych (ξ, η) maja postac: [δ] = [δ₁,δ₂,δ₃,δ₄] = [q₁, t₁, q₂, t₂] przy czym oznaczaja a = cosα i b = sinα możemy napisac:

$$\begin{Bmatrix} q_{1} \\ q_{2} \\ \end{Bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a & b \\ \end{bmatrix}*\begin{Bmatrix} d_{1} \\ d_{2} \\ d_{3} \\ d_{4} \\ \end{Bmatrix}$$

Oraz: $\begin{Bmatrix} t_{1} \\ t_{2} \\ \end{Bmatrix} = \begin{bmatrix} - b & a & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - b & a \\ \end{bmatrix}*\begin{Bmatrix} d_{1} \\ d_{2} \\ d_{3} \\ d_{4} \\ \end{Bmatrix}$

Poniewarz o zachowaniu preta decyduja jedynie przemieszczenia q₁ i q₂ stad zwiazek okreslajacy [t₁, t₂]^T pominiemy. Przyjmujac macierz T- macierz przeksztalcenia wspolrzednych przez obrot o kat α, w postac:

$T = \begin{bmatrix} a & b & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a & b \\ \end{bmatrix}$ możemy napisac: {q} = [T] * {d}

Ponieważ energia odksztalcenia sprezystego w pretowym e.s o indeksie i wynosi$\ U_{i} = \frac{1}{2}\lbrack q\rbrack_{i}*k_{i}*\{ q\}_{i}$ zatem energia odksztalcenia i-tego pretowego e.s w kratownicy może być przedstawiona wzorem: $U_{i} = \frac{1}{2}\lbrack d\rbrack_{i}\lbrack T\rbrack_{i}^{T}k_{i}\lbrack T\rbrack_{i}\{ d\}_{i}$

Wprowadzajac macierze przyporzadkowania Tl_i mamy

{d}_i = π_i * {r}. Calkowita energia potencjalna kratownicy:

$W = U - L = \frac{1}{2}\left\lbrack x \right\rbrack\left\{ x \right\} - \left\lbrack x \right\rbrack\left\{ b \right\}$

gdzie: $\begin{matrix} \\ 4x4 \\ \end{matrix} = G^{T}\left( \sum_{i = 1}^{4}{\pi^{T}T_{i}^{T}k_{i}T_{i}\pi_{i}} \right)G$

- globalna macierz sztywnosci kratownicy

{b} = G^T * {p}, Minimalizacja calkowitej energii prowadzi do rownania: {x} = {b}, wprowadzamy: S_i = T_i^T * k_i * T_i

$$S_{i} = \frac{\text{EA}}{l}\begin{bmatrix} a^{2} & \text{ab} & {- a}^{2} & - ab \\ \text{ab} & b^{2} & - ab & {- b}^{2} \\ {- a}^{2} & - ab & a^{2} & \text{ab} \\ - ab & {- b}^{2} & \text{ab} & b^{2} \\ \end{bmatrix}\text{\ \ \ \ \ }\begin{matrix} a = cos\alpha \\ b = sin\alpha \\ \end{matrix}$$

[K_p]_i = [π_i]^T * [S_i] * [π_i] , kolejne przemieszczenia:

{r} = G{x},    {d}_i = π_i{r},    {q}_i = T_i{d}_i

Siły wewnetrzne w pretach kratownicy:

$$N_{i} = \sigma_{i}*A_{i} = - \frac{E_{i}A_{i}}{l_{i}}$$

Kratownica przestrzenna

W przypadku kratownicy przestrzennej każdy wezel doznaje przemieszczenia [u, v, w]. Jeśli os ξ preta tworzy katy  α₁, α₂, α₃ z osiami x,y,z to cosinusy kierunkowe maja postac:

a = cosα₁       b = cosα₂       c = cosα₃

O odkszt. decyduja przemieszczenia poosiowe q₁ i q₂

$$\begin{Bmatrix} q_{1} \\ q_{2} \\ \end{Bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b & c & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a & b & c \\ \end{bmatrix}*\begin{Bmatrix} u_{1} \\ v_{1} \\ w_{1} \\ u_{2} \\ v_{2} \\ w_{2} \\ \end{Bmatrix}$$

Wezel:$\begin{matrix} 2\ przemieszcz\text{enia} \\ 3\ obroty \\ \end{matrix}\}\ 2x3 = 6$

$$S_{i} = \frac{\text{EA}}{l}\begin{bmatrix} a^{2} & \text{ab} & \text{ac} & - a^{2} & - ab & - ac \\ \text{ab} & b^{2} & \text{bc} & - ab & - b^{2} & \\ \text{ac} & \text{bc} & c^{2} & - ac & & \\ - a^{2} & - ab & - ac & a^{2} & & \\ - ab & - b^{2} & - bc & \text{ab} & & \\ - ac & - bc & - c^{2} & \text{ac} & & \\ \end{bmatrix}$$

Belkowy element skonczony w ramie

Rame plaska podobnie jak belke możemy podzielic na pewna liczbe el.sk polaczonych ze soba wezlami. El.sk jest kombinacja alementu belkowego i pretowego, ponieważ poddany jest dzialaniu sil osiowych: tnacych i momentow gnacych. Taki el.sk może być dowolnie zorientowany w plaszczyznie ramy.

Belkowy el.sk w lokalnych ukladach (ξ,η),  (x, y).

Macierz sztywnosci belkowego el.sk w ramir plaskiej ma wymiar 6x6. Lokalny wektor parametrow wezlowych w ukl. Lokalnym (ξ, η): [q] = [w₁, θ₁, w₂, θ₂]

Lokalny wektor parametrow wezlowych w ukladzie globalnym:

[s] = [u₁, v₁, θ₁, u₂, v₂, θ₂]

Macierz przejsc z ukladu globalnego na lokalny wynika z nast. Ukladu rownan: $\begin{Bmatrix} \xi \\ \eta \\ \end{Bmatrix} = \begin{bmatrix} \text{cosα} & \text{sinα} \\ - sin\alpha & \text{cosα} \\ \end{bmatrix}*\begin{Bmatrix} x \\ y \\ \end{Bmatrix}$

W wezle laczacym el.sk mamy trzy skladowe przemieszczenia:

Dwa przesuniecia liniowe u i v oraz kat obrotu θ wezla. Zatem wezel ma trzy stopnie swobody, a el.sk szesc stopni swobody.

W przypadku ram plaskich ugiecie η wyrazone jest wzorem:

η = −sin(α)x + cos(α)y

Wektor przemieszczen el.sk w ukladzie lokalnym [q] oraz wektor przemieszczen w ukladzie globalnym [s] mogą być wyrazone wzorem: [q] = [s]T^T lub inaczej {q] = T{s}

gdzie T- macierz przyporzadkowania (transformacji)

$$T = \begin{bmatrix} - b & a & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - b & a & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}\text{\ \ \ }\begin{matrix} a = cos\alpha \\ b = sin\alpha \\ \end{matrix}$$

Macierz sztywnosci belkowego el.sk ramy

Energia calego ukladu:

$$U = \frac{1}{2}\left\lbrack q \right\rbrack*k*\left\{ q \right\} = \frac{1}{2}\left\lbrack s \right\rbrack T^{T}\text{kT}\left\{ s \right\} = \frac{1}{2}\lbrack s\rbrack k_{\alpha}\{ s\}$$

k- macierz sztywnosci al. Belkowego

k_α- macierz sztywnosci el.sk ramy plaskiej

*jej transformacja daje ta sama macierz poniewarz jest macierza symetryczna.

$$k_{\alpha} = \begin{bmatrix} 6b^{2} & & & & & \\ - 6ab & 6a^{2} & & & & \\ - 3lb & 3la & 2l^{2} & & & \\ 6b^{2} & 6ab & 3lb & 6b^{2} & & \\ 6ab & - 6a^{2} & - 3la & - 6ab & 6a^{2} & \\ - 3lb & 3la & l^{2} & 3lb & - 3la & 2l^{2} \\ \end{bmatrix}$$

Trojkatny element skonczony:

Trojkatne plaskie el. skonczone wystepuja np. w tarczach:

Zakladamy ze przebieg przemieszczen zalezy liniowo od wspolrzednych

$$\left\{ \begin{matrix} u\left( x,y \right) = a_{1} + a_{2}x + a_{3}y \\ v\left( x,y \right) = a_{4} + a_{5}x + a_{6}y \\ \end{matrix} \right.\ $$

Powyzsze możemy zapisac w postaci macierzy:

{u} = A{x}- model zjawiska

Gdzie: $\left\{ u \right\} = \begin{Bmatrix} u \\ v \\ \end{Bmatrix},\ \ \ \left\{ x \right\} = \begin{Bmatrix} 1 \\ x \\ y \\ \end{Bmatrix}$

$\begin{Bmatrix} u \\ v \\ \end{Bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ a_{4} & a_{6} & a_{7} \\ \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} 1 \\ x \\ y \\ \end{bmatrix}$ , $A = \begin{bmatrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ a_{4} & a_{5} & a_{6} \\ \end{bmatrix}$

Należy okreslic macierz A która odgrywa kluczowa role w modelu zjawiska, wyrazonym konkretnym ukladem rownan.

Wygodniej jest przyjac zamiast wspolrzednych kartezjanskich (x,y), które sa zwiazane z globalnym ukladem wspolrzednych, wspolrzedne barycentryczne z natury zwiazane z obszarem danego el. Skonczonego. Wspolrzedne barycenrtyczne ddefiniowane sa poprzez nastepujace zaleznosci:

$L_{i} = \frac{A_{i}}{A}\ ,\ \ i = 1,2,3\ \ ;\ \ L_{1} + L_{2} + L_{3} = 1$

Wspolrzedne barycentryczne $L_{i} = \frac{A_{i}}{A}$ sa nazywane wsp. Naturalnymi (powierzchniowymi). Dla kazdego okreslonego punktu p(x,y) mamy odpowiedni wektor wsp. Barycentrycznych ⌊L⌋ = L₁L₂L₃ Szukamy zwiazku miedzy wsp. Kartezjanskimi a barycentrycznymi. Widac ze zwiazek A₁ = A₁(x,y) jest liniowy. $\begin{Bmatrix} 1 \\ x \\ y \\ \end{Bmatrix} = C\begin{Bmatrix} L_{1} \\ L_{2} \\ L_{3} \\ \end{Bmatrix}$

$$\begin{Bmatrix} 1 \\ X \\ Y \\ \end{Bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ C_{1} & C_{2} & C_{3} \\ C_{4} & C_{5} & C_{6} \\ \end{bmatrix}*\begin{Bmatrix} L_{1} \\ L_{2} \\ L_{3} \\ \end{Bmatrix}$$

Wyznacznik macierzy jest podwojonym polem trojkata bedacego e.s detC = 2A, Widac ze detC ≠ 0

{x} = c{L} → {L} = c⁻¹{x}

Macierz C⁻¹ ma postac:

$$C^{- 1} = \frac{1}{2A}\begin{bmatrix} {2A}_{23} & b_{1} & c_{1} \\ {2A}_{31} & b_{2} & c_{2} \\ {2A}_{12} & b_{3} & c_{3} \\ \end{bmatrix}\text{\ \ }\begin{matrix} - ma\ wymiar\ 3x3 \\ - postac\ liniowa \\ - liczbowa \\ \end{matrix}$$

Gdzie: $\left\{ \begin{matrix} {2A}_{23} = x_{2}y_{3} - y_{2}x_{3} \\ {2A}_{31} = x_{3}y_{1} - y_{3}x_{1} \\ {2A}_{12} = x_{1}y_{2} - y_{1}x_{2} \\ \end{matrix} \right.\ $

$$\left\{ \begin{matrix} b_{1} = y_{2} - y_{3} \\ b_{2} = y_{3} - y_{1} \\ b_{3} = y_{1} - y_{2} \\ \end{matrix} \right.\ \ \ \ \ \ \ ;\ \ \ \ \ \ \ \ \ \left\{ \begin{matrix} c_{1} = - (x_{2} - x_{3}) \\ c_{2} = - (x_{3} - x_{1}) \\ c_{3} = - (x_{1} - x_{2}) \\ \end{matrix} \right.\ $$

Ponieważ

$$\left\{ L \right\} = c^{- 1}\left\{ x \right\} \rightarrow \ \frac{\delta L_{i}}{\text{δx}} = \frac{b_{i}}{2A},\ \ \frac{\delta L_{i}}{\text{δy}} = \frac{c_{i}}{2A}$$

Zatem możemy napisac:

$$\begin{matrix} \frac{\delta}{\text{δx}} = \sum_{i = 1}^{3}{\frac{b_{i}}{2A}*\frac{\delta}{\delta L_{i}}} \\ \frac{\delta}{\text{δy}} = \sum_{i = 1}^{3}{\frac{c_{i}}{2A}*\frac{\delta}{\delta L_{i}}} \\ \end{matrix}\text{\ \ \ \ }\begin{matrix} \text{obliczamy\ naprezeni}a^{\sigma}\text{\ i\ odksztalceni}a^{\varepsilon} \\ \text{zeby\ obliczyc\ minimum\ energii} \\ \end{matrix}$$

Pis naprazen i odksztalcen we wspolrzednych barycentrycznych jest niezalezny od ukladu wsporzednych. Jest prawidlowy dla kazdego plaskiego elementu skonczonego.

Wektor parametrow wezlowych

Wektor przemieszczen wezlow trojkatnego el. Skonczonego.

⌊q⌋ = ⌊q₁,…,q₆⌋ = ⌊u₁,v₁,u₂,v₂,u₃,v₃⌋

Model zjawiska (przemieszczen): {u} = N{q}

N- macierz funkcji modelujacych

$$\begin{Bmatrix} u\left( x,y \right) \\ v\left( x,y \right) \\ \end{Bmatrix} = \begin{bmatrix} N_{11} & N_{12} & N_{13} & N_{14} & N_{15} & N_{16} \\ N_{21} & N_{22} & N_{23} & N_{24} & N_{25} & N_{26} \\ \end{bmatrix}\begin{Bmatrix} u_{1} \\ v_{1} \\ u_{2} \\ v_{2} \\ u_{3} \\ v_{3} \\ \end{Bmatrix}$$

$$\begin{matrix} np.\ dla\ p3\ (0,0,1) \\ a = u_{1}L_{1} + u_{2}L_{2} + u_{3}L_{3} \\ u = {1L}_{3} \\ u = L_{3} \\ N_{1} = \begin{bmatrix} L_{1} & 0 & L_{2} & 0 & L_{3} & 0 \\ 0 & L_{3} & 0 & L_{3} & 0 & L_{3} \\ \end{bmatrix} \\ \end{matrix}$$

Odksztalcenia wewnatrz elementow skonczonych

Rozniczkujemy przemieszczenia

Odkszt. wewnatrz el.sk można obliczyc:{ε} = D{u} = B{q}

{q} – lokalny wektor parametrow wezlowych

D- macierz operatorow rozniczkowych

$D = \begin{bmatrix} \frac{\delta}{\text{δx}} & 0 \\ 0 & \frac{\delta}{\delta y} \\ \frac{\delta}{\text{δx}} & \frac{\delta}{\text{δx}} \\ \end{bmatrix}$ ; $\begin{matrix} \varepsilon_{x} = \frac{\text{δu}}{\text{δx}} \\ \varepsilon_{y} = \frac{\text{δu}}{\text{δy}} \\ \end{matrix}$ ; $\varepsilon_{\text{xy}} = \psi_{\text{xy}} = \frac{\text{δu}}{\text{δy}} + \frac{\text{δu}}{\text{δx}}$

B- macierz powiazania (stala dla danego e.s) która można obliczyc kozystajac ze wzoru:

$B = DN = \begin{bmatrix} \frac{\delta}{\text{δx}} & 0 \\ 0 & \frac{\delta}{\text{δy}} \\ \frac{\delta}{\text{δx}} & \frac{\delta}{\text{δx}} \\ \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} L_{1} & 0 & L_{2} & 0 & L_{3} & 0 \\ 0 & L_{3} & 0 & L_{3} & 0 & L_{3} \\ \end{bmatrix} = \frac{1}{2A}\begin{bmatrix} b_{1} & 0 & b_{2} & 0 & b_{3} & 0 \\ 0 & c_{1} & 0 & c_{2} & 0 & c_{3} \\ c_{1} & b_{1} & c_{2} & b_{2} & c_{3} & b_{3} \\ \end{bmatrix}$

Obliczone na nim odksztalcenia sa stale w calym modelu, w kazdym punkcie el.skonczonego. Co za tym idzie naprezenia wewnatrz el.skonczonego tez będą stale.

Naprezenia wewnatrz el. Skonczonego

Naprezenia powiazane sa z odkszalceniami rownaniami konstrukcyjnymi wyrazajacymi prawo Hooke’a: {σ} = c{ε}

C- macierz stalych sprezystych

W plaskim stanie naprezen dla materialu jednorodnego i izotropowego macierz stalych sprezystych jest rowna:

$$C = \frac{E}{1 - V^{2}}\begin{bmatrix} 1 & V & 0 \\ V & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1 - V}{2} \\ \end{bmatrix}$$

Analizujac rownanie oraz postac macierz B można stwierdzic, ze w obrebie danego el.sk {ε} = const oraz {σ} = const

Jest to tzw. Model CST (constant strain triangle)

Nalezy jeszcze okreslic lokalny wektor parametrow wezlowych

Można go wyznaczyc z zasady minimum energii.

Model pretowego elementu skonczonego

Numeracja globalna

Numeracja lokalna

Dowolne przemieszczenie przekrojow wezlowych możemy traktowac jako sume przemieszczen przypadkow ogolnych

$$\begin{matrix} q_{1} = 1 \\ q_{2} = 0 \\ \end{matrix}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\begin{matrix} q_{1} = 0 \\ q_{2} = 1 \\ \end{matrix}$$

Ad.1)⌊u(ξ)⌋ = ⌊N(ξ)⌋{q},   u(ξ)=q₁ * N₁(ξ) + q₂N₂(ξ)

Gdzie: ⌊u(ξ)⌋- pole przemieszczen pretowego el.sk.

⌊N(ξ)⌋− wektor funkcji modelujacych

{q} – lokalny wektor parametrow wezlowych

$$\left\lfloor N_{1}\left( \xi \right),N_{2}(\xi) \right\rfloor\begin{Bmatrix} q_{1} \\ q_{2} \\ \end{Bmatrix} = \left\lfloor N(\xi) \right\rfloor\left\{ q \right\}$$

Energia zalezy od wielkosci u(ξ). Szukamy minimum enargii, liczymy minimum enregi w zaleznosci od funkcji przemieszczen. $\sigma = - \frac{P_{1}}{A}$ $\varepsilon = - \frac{P_{1}}{\text{EA}}$

$$u\left( \xi \right) = \int_{0}^{\xi}{\varepsilon\left( \xi \right)\text{dξ} =}\int_{0}^{\xi}{- \frac{P_{1}}{\text{EA}}}\text{dξ} = - \frac{P_{1}}{\text{EA}}\xi + C$$

Warunki poczatkowe:

$u\left( l \right) = 0 \rightarrow C = \frac{P_{1}*l}{\text{EA}}$, $u\left( \xi \right) = - \frac{P_{1}}{\text{EA}}\left( - \xi + l \right) = - \frac{P_{1}*l}{\text{EA}}(1 - \frac{\text{EA}}{l})$

Czyli $u\left( 0 \right) = 1;\ \ \ \ \ \frac{P_{1}*l}{\text{EA}} = 1 \rightarrow P_{1} = \frac{\text{EA}}{l}\text{\ \ }$

Podstawiajac do rownania: $u\left( \xi \right) = 1 - \frac{\xi}{l} = L_{1}(\xi)$

Ad.2) $u\left( \xi \right) = \frac{\varepsilon}{l} = L_{2}(\xi)$

Opisujac oba zjawiska: $\left\{ \begin{matrix} u_{1}\xi = L_{1}(\xi) \\ u_{2}\xi = L_{2}(\xi) \\ \end{matrix} \right.\ $

W ogolniejszym przypadku funkcje modelujace N₁ i N₂ mogą być zalezne od obu funkcji barycentrycznych L₁(ξ), L₂(ξ)

N₁(ξ) = f[L₁(ξ), L₂(ξ)]

N₂(ξ) = f[L₁(ξ), L₂(ξ)]

Ostateczna postac reprezentuje wzor:

$u\left( \xi \right) = \left\lfloor L_{1}\left( \xi \right),L_{2}(\xi) \right\rfloor\begin{Bmatrix} q_{1} \\ q_{2} \\ \end{Bmatrix} -$ Model zjawiska

Rownanie to okresla pole przemieszczen w pretowym el.sk.

Wyznaczanie macierzy pretowego el. Skonczonego

Rozniczkujemy $\frac{u(\xi)}{\text{dξ}}$ z def. Rozniczkowania czesci zlozonych

$$\frac{\delta}{\text{δξ}} = \frac{\delta\delta L_{1}}{\delta L_{1}\text{δξ}} + \frac{\delta\delta L_{2}}{\delta L_{2}\text{δξ}} = \left\lfloor \frac{\delta}{\delta L_{1}},\frac{\delta}{\delta L_{2}} \right\rfloor*\begin{Bmatrix} - 1/l \\ 1/l \\ \end{Bmatrix}$$

$$\frac{\delta}{\text{δξ}} = - \frac{1}{l}(\frac{\delta}{\delta L_{1}} - \frac{\delta}{\delta L_{2}}$$

$$\frac{\text{δu}}{\text{δξ}} = \frac{\text{du}}{\text{dξ}} = - \frac{1}{l}(\frac{\delta}{\delta L_{1}} - \frac{\delta}{\delta L_{2}})\left\lfloor L_{1}\xi,L_{2}\xi \right\rfloor\begin{Bmatrix} q_{1} \\ q_{2} \\ \end{Bmatrix}$$

Ostatecznie otrzymamy wzor okreslajacy odksztalcenie preta przedstawionego wczesniej:$\varepsilon\left( \xi \right) = \frac{\text{du}}{\text{dξ}} = - \frac{1}{l}\left\lfloor - 1,1 \right\rfloor\begin{Bmatrix} q_{1} \\ q_{2} \\ \end{Bmatrix}$

W danym modelu odksztalcenie jest stale dla pretow dla których N(ξ) = const tzn nie wystepuje zmiana sil wewnetrznych miedzy wezlami wewnatrz pretow. Sytuacja taka wystepuje w pretach tworzacych kratownice.

$$\begin{matrix} \text{staly\ przekroj} \\ \text{stale\ wartosci\ materialowe} \\ \end{matrix} \rightarrow \begin{matrix} \text{stale\ odksztalcenia} \\ \text{stale\ sily\ wewnetrzne} \\ \end{matrix} \rightarrow \begin{matrix} \text{stala} \\ \text{energia} \\ \end{matrix}$$

Zasada minimum energii

Energia potencjalna w zagadnieniach cial sprezystych W = u + v, u- energia odksztalcen, v- energia potencjalna sil wewnetrznych. Poniewarz en. Potencjalna sil zewnetrznych V jest rowna pracy tyh sil z przeciwnym znakiem: W = U − L

Energie W można wyrazic jako funkcjonal przemieszczen:

W = W(u),     u = u(ξ)

Gdzie u(ξ) −  funkcja przemieszczen, która w przypadku pretowego el. Skonczonego zalezy od jednego parametru ξ okreslajacego polozenie dowolnego punktu analizy (polozenie dowolnego przekroju) wewnatrz tego elementu. Wg zasady minimum calkowitej energii potencjalnej ze wszystkich możliwych pol przemieszczen danego ukladu sprezystego, to pole ma miejsce w rzeczywistosci (przyroda pozwoli na przyjecie takiego pola), które odpowiada minimum calkowitej energii potencjalnej tego ukladu. W takiej sytuacji sily wewnetrzne w ciele sa w rownowadze. Dopuszczalne pole przemieszczen jest to pole ciagle i spelniajace dopuszczalne warunki brzegowe. Wlasciwa energia odksztalcenia (tzn. energia odksztalcenia odniesiona do jednostki objetosci):

$$u^{'} = \frac{1}{2}\varepsilon\sigma = \frac{16^{2}}{2E} = \frac{1}{2}E\varepsilon^{2}$$

Stad energia odksztalcenia odcinka dx preta:

$$du = \frac{1}{2}\text{AE}\varepsilon^{2}\text{dx}$$

Calkowita energia odksztalcenia preta o dlugosci l:

$$u = \int_{0}^{l}{\frac{1}{2}\text{AE}\varepsilon^{2}dx\ \ \ \ \ \ \ \ A,E,\varepsilon = const}$$

Ostatecznie otrzymujemy wzor okreslajacy odksztalcenie:

$$\begin{matrix} \varepsilon^{2} = \varepsilon*\varepsilon = \varepsilon^{T}*\varepsilon \\ \left\lfloor a \right\rfloor*\left\{ b \right\} = \left\lfloor b \right\rfloor*\{ a\} \\ \end{matrix}\text{\ \ \ \ \ \ \ }\begin{matrix} .^{T} - transponowane \\ \left\lfloor \right\rfloor - wektor\ wiersz \\ \left\{ \ \right\} - wektor\ kolumna \\ \end{matrix}\ $$

$$\varepsilon^{2} = \frac{1}{l^{2}}\left\lfloor q_{1},q_{2} \right\rfloor\begin{Bmatrix} - 1 \\ 1 \\ \end{Bmatrix}\left\lfloor 1, - 1 \right\rfloor\begin{Bmatrix} q_{1} \\ q_{2} \\ \end{Bmatrix} = \frac{1}{l^{2}}\left\lfloor q \right\rfloor_{i}\begin{bmatrix} 1 & - 1 \\ - 1 & 1 \\ \end{bmatrix}\left\{ q \right\}_{i}$$

Wstawiajac te zaleznosc do rownania otrzymamy w el. skonczonym o indeksie i- energie u_i:

$$u_{i} = \frac{1}{2}\left\lfloor q \right\rfloor_{i}\left( \int_{0}^{L_{i}}{\frac{E_{i}A_{i}}{l_{i}^{2}}\begin{bmatrix} 1 & - 1 \\ - 1 & 1 \\ \end{bmatrix}\text{dx}} \right)\left\{ q \right\}_{i}$$

Każdy koniec preta ma jeden stopien swobody (możliwe przesiniecie) a biorac pod uwage dwa przekroje mamy dwa stopnie swobody el.skonczonego. Macierz pretowego el.sk ma wymiar 2x2. W kratownicy wezel ma dwa stopnie swobody (wymiar 4x4). Po wykonaniu calkowania (przy zalozeniu ze pret jest jednorodny a ipryzmatyczny) macierz sztywnosci pretowego elementu skonczonego $k_{i} = \frac{E_{i}A_{i}}{l_{i}}\begin{bmatrix} 1 & - 1 \\ - 1 & 1 \\ \end{bmatrix}$

Calkowita energia odksztalcenia ciala zbudowanego z n pretowych el. Sk.: $U = \sum_{i = 1}^{n}u_{i}$

Lokalny wektor parametrow wezlowych ⌊q⌋_i zawiera przemieszczenia wezlow i może być wyrazony przez globalny wektor parametrow wezlowych ⌊r⌋ : {q}_i = π_i{r}

π_i− macierz przyporzadkowania $\pi_{i} = \begin{bmatrix} 0 & \ldots & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & \ldots & 0 & 1 & \ldots & 0 \\ \end{bmatrix}$

⌊q⌋_i = ⌊r⌋π^T

Np.

$$\left\{ q \right\}_{4} = \begin{Bmatrix} u_{4} \\ u_{5} \\ \end{Bmatrix}$$

$\begin{Bmatrix} u_{4} \\ u_{5} \\ \end{Bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}*\begin{Bmatrix} u_{1} \\ u_{2} \\ u_{3} \\ u_{4} \\ u_{5} \\ u_{6} \\ u_{7} \\ u_{8} \\ \end{Bmatrix}$ Zatem:

$$U = \frac{1}{2}\left\lfloor r \right\rfloor\left\lbrack \sum_{i = 1}^{n}{(\pi_{i}*k_{i}*\pi_{i})} \right\rbrack\left\{ r \right\},\ \ \ \ \ \ \ \ \ u = \frac{1}{2}\left\lfloor r \right\rfloor k_{p}\{ r\}$$

k_p− globalna pozorna macierz sztywnosci konstrukcji zbudowanej z n elementow skonczonych

Prety mogą być swobodne lub spelniac jakies warunki brzegowe, wtedy liczba nieznanych przemieszczen stanowiacych alementy wektora ⌊r⌋ zmniejszy się. Rzeczywisty wektor przemieszczen ⌊x⌋ zawiera informacje o wszystkich nieznanych przemieszczeniach i zwiazany jest z wektorem ⌊r⌋ rownaniem: {r} = G{x},  gdzie G- macierz warunkow brzegowych konstrukcji. Stad uwzgledniajac ta zaleznosc- globalna rzeczywista macierz sztywnosci konstrukcji:

$K = G^{T}\left( \sum_{i = 1}^{n}{\pi_{i}^{T}k_{i}\pi_{i}} \right)G$ przy czym $U = \frac{1}{2}\left\lfloor x \right\rfloor k\{ x\}$

K- globalna rzeczywista macierz sztywnosci konstrukcji

k_i −  macierz pretowego elementu skonczonego

Globalna pozorna macierz sztywnosci K_p jest to macierz sztywnosci dla ciala swobodnego, któremu nie odebrano stopni swobody. Może się ona poruszac jako cala bryla i nie może przenosic zadnych sil. Wyjatek stanowia uklady zrownowazone. W zagadnieniach, gdy wplyw bezwladnosci można pominac, takie cialo jest podatne na każdy bodziec. Stad jego sztywnosc jest rowna 0. Pozorna macierz sztywnosci jest macierza osobliwa i dopiero jej transformacja do rzeczywistej macierzy sztywnosci K, przez uwzglednienie macierzy warunkow brzegowych G, daje macierz nieosobliwa.

Funkcjonal energii: argumentem funkcji jest inna funkcja

$$W\left( u \right) = U - L;\ \ \ \ \ \ \ \ W\left( u \right) = \frac{1}{2}\left\lfloor x \right\rfloor K\left\{ x \right\} - \left\lfloor x \right\rfloor\left\{ p \right\}$$

Szukamy takich wartosci pola przemieszczen, aby funkcjonal był minimalny ze wszytkich możliwych:

$$\begin{matrix} \frac{\text{δW}}{\delta\left\lfloor u \right\rfloor} = \left\{ 0 \right\} \leftrightarrow K\left\{ x \right\} - \left\{ p \right\} = \{ 0\} \\ 1.K\left\{ x \right\} = \{ p\} \\ 2.\left\{ x \right\} = K^{- 1}\{ p\} \\ \end{matrix}$$

Przykład: interpretacja fizyczna

Praca sil zastepczych na przemieszczeniach musi być rowna pracy obciazenia ciaglego na tych przemieszczeniach. Jest to zasada rownosci energi/pracy. Jako przemieszczenie przygotowane wybierzemy przemieszczenie o postaci

⌊x^*⌋ = ⌊0,0,…,1,…,0⌋

Praca obciazenia zastepczego: ⌊L^*⌋ = ⌊x^*⌋{p^*} = p_i^* * 1 = p_i^*

Praca obciazenia rzeczywistego:

Elementarna praca obciazenia P_i − 1:

dP_i − 1 = P_i − 1 * dξ −  elementarna siła

dL_i − 1 = P_i − 1 * dξ * u_i − 1 −  elementarna praca

L_i − 1 = ∫₀^{l_i − 1}P_i − 1 * u_i − 1 * dξ −  praca el.sk. o dlugosci L_i − 1

Analogicznie praca obciazenia P_i

Wykresy przemieszczen w elementach skonczonych L_i − 1, L_i (liczac prace sil zamrazamy wszystkie stopnie swobody poza rozpatrywanym wezlem).

$$u\left( \xi \right) = \frac{\xi}{l} = l_{2}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }u\left( \xi \right) = 1 - \frac{\xi}{l} = l_{1}\text{\ \ }$$

Podstawiajac powyzsze wzory do wyrazen na prace na przemieszczeniu przygotowanym mamy:

$$L_{i - 1,i} = \int_{0}^{L_{i - 1}}{p_{i}*\frac{\xi}{l_{i - 1}}*d\xi +}\int_{0}^{L_{i}}{p_{i}\left( 1 - \frac{\xi}{L_{i}} \right)\text{dξ}}$$

Z war. row. pracy obciazenia rzeczywistego i zastepczego:

$$p_{i}^{*}*1 = \int_{0}^{L_{i - 1}}{p_{i}*\frac{\xi}{l_{i - 1}}*d\xi +}\int_{0}^{L_{i}}{p_{i}\left( 1 - \frac{\xi}{L_{i}} \right)\text{dξ}}$$