Cel doświadczenia:

Celem ćwiczenia jest wyznaczenie częstotliwości rezonansowej szeregowego układu rezonansowego.

Krótki opis teoretyczny:

Obwód rezonansowy LC jest wyidealizowanym przypadkiem obwodu elektrycznego RLC, składającym się z cewki (L) i kondensatora (C), bez udziału rezystancji (R). W obwodzie tym zachodzi rezonans prądów (w równoległym) lub napięć (w szeregowym). Rysunek po prawej stronie pokazuje schemat obwodów rezonansowych: szeregowego i równoległego.

Kondensator i cewka są biernymi elementami obwodu elektrycznego, które charakteryzują się między innymi impedancją zależną od częstotliwości i przesunięciem fazowym pomiędzy napięciem i prądem równym 90°, z tym, że dla cewki impedancja rośnie ze wzrostem częstotliwości, a dla kondensatora maleje, oraz przeciwnym znakiem przesunięcia fazy.

W stanie rezonansu, prąd i napięcie na zacisku obwodu rezonansowego są zgodne w fazie, a wypadkowa moc bierna pobierana przez obwód jest równa zeru.

Obwody rezonansowe znajdują szerokie zastosowania w radiotechnice, dzięki faworyzowaniu wąskiego przedziału częstotliwości używane są jako filtry selektywne (środkowoprzepustowe) do wydzielania jednego, odbieranego pasma częstotliwości spośród wszystkich dochodzących z anteny.

Częstotliwość rezonansową obwodu LC określa wzór Thomsona:

$$f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{1}{2\pi\sqrt{\text{LC}}}$$

gdzie:

f – częstotliwość obwodu w hercach,

L – indukcyjność cewki w henrach,

C – pojemność kondensatora w faradach,

ω – częstość kołowa w radianach/sekundę.

Rezonans prądów następuje wtedy gdy susceptancja układu równa się zero. Susceptancje poszczególnych gałęzi obwodu (susceptancja pojemnościowa i susceptancja indukcyjna) są sobie równe: B_L = B_C. Gdy układ taki zasilany jest napięciem zmiennym U, to popłyną przez elementy prądy: I_C przez kondensator, a I_L przez cewkę. Ponieważ prądy te mają przeciwne fazy to znoszą się wzajemnie i sumaryczny prąd I jest mniejszy od sumy prądów I_C i I_L. Dla pewnej częstotliwości, gdy prąd cewki równa się prądowi kondensatora prądy te zniosą się zupełnie i prąd I będzie równy zeru - zachodzi rezonans prądów, a obwód rezonansowy przestaje pobierać prąd ze źródła - staje się przerwą w obwodzie, czyli ma nieskończenie dużą oporność (prądy w rzeczywistym kondensatorze i cewce nie są jednak równe zeru i mogą osiągać duże wartości).

Rezonans napięć Impedancja obwodu szeregowego złożonego z cewki i kondensatora wynosi:

$$Z = R + i\omega L + \frac{1}{\text{iωc}}$$

Z tego wzoru wynika, że dla pewnej części ω₀ impedancja przyjmuje wartość rzeczywistą Z = R. Co oznacza, że dla częstości ω₀ zachodzi:

$$i\omega L = \ \frac{1}{\text{iωC}}$$

Częstość, ω₀ dla której jest spełnione powyższe równanie nazywa się częstością rezonansową obwodu. Z tego wzoru można również wyznaczyć częstotliwość rezonansową f₀:

$$f_{0} = \frac{1}{2\pi\sqrt{\text{LC}}}$$

Krótki opis przyrządu pomiarowego:

Opornik, rezystor (z łac. resistere, stawiać opór) – najprostszy, rezystancyjny element bierny obwodu elektrycznego. Jest elementem liniowym: spadek napięcia jest wprost proporcjonalny do prądu płynącego przez opornik. Przy przepływie prądu zamienia energię elektryczną w ciepło. Występuje na nim spadek napięcia. W obwodzie służy do ograniczenia prądu w nim płynącego. Idealny rezystor posiada tylko jedną wielkość, która go charakteryzuje – rezystancję. W praktyce występuje jeszcze pojemność wewnętrzna oraz wewnętrzna indukcyjność, co, np. w technice wysokich częstotliwości (RTV), ma duże znaczenie (jest to tzw. pojemność oraz indukcyjność pasożytnicza).

Symbol rezystora (Europa)

Kondensator - jest to element elektryczny (elektroniczny), zbudowany z dwóch przewodników (okładek) rozdzielonych dielektrykiem. Doprowadzenie napięcia do okładek kondensatora powoduje zgromadzenie się na nich ładunku elektrycznego. Po odłączeniu od źródła napięcia, ładunki utrzymują się na okładkach siłami przyciągania elektrostatycznego. Jeżeli kondensator, jako całość, nie jest naelektryzowany to cały ładunek zgromadzony na obu okładkach jest jednakowy, co do wartości, ale przeciwnego znaku. Kondensator charakteryzuje pojemność określająca zdolność kondensatora do gromadzenia ładunku:

$$C = \ \frac{Q}{U}$$

gdzie:

C – pojemność, w faradach

Q – ładunek zgromadzony na jednej okładce, w kulombach

U – napięcie elektryczne między okładkami, w woltach.

Symbole kondensatorów – na schematach układów elektrycznych i elektronicznych kondensatory oznacza się następującymi symbolami:

• zwykły kondensator niespolaryzowany:

• kondensator spolaryzowany (elektrolityczny):

• kondensator zmienny, strojeniowy (trymer):

Cewka (zwojnica, solenoid, rzadziej induktor) – element elektroniczny bierny.

Cewka składa się z pewnej liczby zwojów przewodnika nawiniętych np. na powierzchni walca (cewka cylindryczna), na powierzchni pierścienia (cewka toroidalna) lub na płaszczyźnie (cewka spiralna lub płaska). Wewnątrz lub na zewnątrz zwojów może znajdować się rdzeń z materiału magnetycznego, diamagnetycznego lub ferromagnetycznego.

Dla prądu stałego cewka jest elementem rezystancyjnym o rezystancji przewodnika, z którego jest wykonana. Dla prądu o pulsacji różnej od zera wykazuje inną wartość oporu nazywaną reaktancją. Reaktancja jest tym większa, im większa jest indukcyjność i pulsacja prądu.

Strumień indukcji pola magnetycznego przepływającego przez cewkę opisuje wzór:

F = Li

Przyjmując, że indukcyjność cewki nie zmienia się, co jest spełnione dla większości obwodów elektrycznych powyższy wzór upraszcza się do:

$$\varepsilon = \ - L\frac{\text{di}}{\text{dt}}$$

gdzie:

ɸ – strumień indukcji magnetycznej,

L – indukcyjność cewki,

i – natężenie prądu elektrycznego płynącego przez cewkę,

ε – siła elektromotoryczna samoindukcji,

t – czas.

Indukcyjność cewki Indukcyjność jest podstawowym parametrem elektrycznym opisującym cewkę. Jednostką indukcyjności jest 1 henr [H]. Prąd płynący w obwodzie wytwarza skojarzony z nim strumień magnetyczny. Indukcyjność definiujemy jako stosunek tego strumienia i prądu który go wytworzył:

$$L = k\ \frac{F}{i}$$

Współczynnik k zależy od geometrii układu, a więc między innymi od kształtu cewki, liczby zwojów, grubości użytego drutu. Indukcyjność cewki zależy również od własności magnetycznych rdzenia.

(Symbol cewki, jej oznaczenie oraz prąd i napięcie)

Oscyloskop – przyrząd elektroniczny służący do obserwowania, obrazowania i badania przebiegów zależności pomiędzy dwiema wielkościami elektrycznymi, bądź innymi wielkościami fizycznymi reprezentowanymi w postaci elektrycznej.

Generator podstawy czasu jest źródłem napięcia odchylającego. Każdy oscyloskop zawiera generator napięcia piłokształtnego. W celu uzyskania innej podstawy czasu, na przykład sinusoidalnej, odpowiednie napięcie należy podać na wejście kanału X ze źródła zewnętrznego.

Napięcie piłokształtne wytwarzane przez generator podstawy czasu powinno charakteryzować się dobrą liniowością odcinka powodującego ruch roboczy promienia, dużym nachyleniem odcinka powodującego ruch powrotny promienia i amplitudą wystarczającą do odchylenia promienia na całą szerokość ekranu. Częstotliwość (okres) napięcia podstawy czasu powinna być regulowana w szerokich granicach.

Zasada pracy generatorów liniowej podstawy czasu, stosowanych w oscyloskopach, polega na wytwarzaniu napięcia podstawy czasu na okładzinach kondensatora, który jest automatycznie przełączany ze stanu ładowania do rozładowania i na odwrót, za pomocą odpowiedniego układu przełączającego. Jeśli układ przełączający pracuje jako samowzbudny, to uzyskuje się samobieżną podstawę czasu. W celu uzyskania wyzwalanej podstawy czasu układ przełączający powinien pracować jako wyzwalany.

Aby przeprowadzić to doświadczenie trzeba postępować następująco:

1. Należy zbudować układ zgodnie z rysunkiem:

1. Wyznaczyć częstotliwość rezonansową układu, która będzie polegała na pomiarze napięcia na oporniku w funkcji częstotliwości sygnału. Napięcie na oporniku jest dane wzorem:

U_R = R  • I

gdzie:

R – opór,

I – natężenie prądu płynącego przez cały układ

$$I = \frac{U_{R}}{Z}$$

gdzie:

U_z – napięcie podawane na układ z generatora sygnału.

1. Pomiar należy rozpocząć od częstotliwości f=400Hz. Częstotliwość należy zmieniać co Δf w następujący sposób:

• Pomiędzy f=400Hz a f=1kHz, Δf=100Hz,

• Pomiędzy f=1kHz a f=2kHz, Δf=200Hz,

• Pomiędzy f=5kHz a f=10kHz, Δf=1kHz,

1. Następnie należy porównać napięcie (względem położenia max./min.) na oporniku i na układzie cewka – kondensator, dla częstotliwości dalekiej od częstotliwości rezonansowej i dla częstotliwości sygnału bliskiej i równej częstotliwości rezonansowej. Należy wyjaśnić różnicę.

Opracowanie pomiarów:

L.p	UR	f	ΔUR
1	25	400 Hz	2
2	30	500 Hz
3	36	600 Hz
4	44	700 Hz
5	53	800 Hz
6	63	900 Hz
7	78	1 kHz
1	85	1 kHz	10
2	110	1,2 kHz
3	160	1,4 kHz
4	215	1,6 kHz
5	190	1,8 kHz
6	140	2 kHz
1	146	2 kHz	4
2	60	3 kHz
3	40	4 kHz
4	30	5 kHz

4

Indukcyjność cewki:

Wyznaczyć częstotliwość rezonansową układu:

U_R = R  • I

U_R=?•?

stąd:

$$f_{0} = \frac{1}{2\pi\sqrt{\text{LC}}}$$

$$\mathbf{f}_{\mathbf{0}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}\mathbf{\pi}\sqrt{\mathbf{??}}}$$