Definicja macierzy odwrotnej

Niech A będzie macierzą kwadratową ustalonego stopnia.Macierz A jest odwracalna, jeśli istnieje taka macierz B, że zachodzi AB=BA=I, gdzie I jest macierzą jednostkową.

Cramera

Jeżeli układ n rozwiązań o n niewiadomych A_{n x n} X _{n x 1} = B _{n x 1}, spełnia warunek: detA≠0 to istnieje dokładnie jedno rozwiązanie dane wzorami Crammera: X_j=detA _xj / detA, j=1,…,n, gdzie A _{x j} są macierzami utworzonymi z mac A przez zastąpienie j-tej kolumny kolumną wyrazów wolnych.

Kroneckera

1)Układ A _{m x n} X _{n x 1} = B _{m x 1} ma rozwiązanie <=> rząd A=rząd[A|B], przyczym jeśli rząd A=l ≤ min{m,n} to rozwiązanie zależy od k=n-l parametrów (n-l. niewiad.; l-rząd) (układ jest sprzeczny)

2)układ nie posiada rozwiązań (jest sprzeczny) <=> rządA≠rząd[A|B]

Liniowa niezależność

Układ wektorów(v1,…vn) p.w.V nad ciałem R nazywamy liniowo niezależnym, gdy zachodzi implikacja: α1v1+..+αnvn=0 ->α1=αn=0

Kombinacja wektorowa:

$$\sum_{i = 1}^{n}{\alpha_{i}v_{i}}$$

Funkcja wzajemnie jednoznaczna wtedy gdy taka finkcja jest jednocześnie „na” i różnowartościowa, czyli: każdemu elementowi dziedziny odpowiada dokładnie jeden element obrazu każdemu elementowi obrazu odpowiada dokładnie jedne element przeciw obrazu.

Rząd macierzy:

Rzędną mac A=[a _{i j} ] _{m x n} nazywamy najwyższy stopień niezerowego wyznacznika wyjętego z tej macierzy, oznaczamy rządA

Własności wyznacznika

1) jeśli kwadratowa detA=detA^T 2) jeżeli mac A ma wiersz/kol złożoną z samych zer to detA=0 3)jeżeli A ma dwa identyczne w/k to detA=0 4) jeżeli w/k mac A pomnożymy przec c€R, to c*detA

Własności u x v

1. Ortagonalny do u i v

2. U i v niezerowe a u x v = 0, to u i v są równoległe

3. u x v ≠ v x u

Zastosowanie: można sprawdzić czy wektory są równoległe, pozwala policzyć wektor prostopadły do dwóch wektorów, pole równoległoboku |a x b|=P

Własności u*v

1)u*v=v*u 2)(a*u)*v=a(u*v) 3)u*u=0<=>u=0 4)prostopadłe gdy u*v=0 zastosowanie: pozwala określicz czy wektory są prostopadłe, można obliczyć kąt między wektorami cos(a,b)=a*b/|a||b|

Iloczyn mieszany

Określa czy wektory są komplanarne a*(b x c)=0; objętość równoległościanu