Liczby rzeczywiste to liczby, których używamy do reprezentacji wartości ciągłych (w tym zera i liczb ujemnych). Klasycznym modelem zbioru liczb rzeczywistych jest linia prosta. Zbiór liczb rzeczywistych oznaczany jest symbolem R albo
.

Pojęcie liczby rzeczywistej obejmuje wszystkie rodzaje liczb używane w codziennej praktyce - liczby naturalne, całkowite, ułamki, liczby ujemne, pierwiastki...

Uogólnieniem pojęcia liczby rzeczywistej jest liczba zespolona.

Liczby wymierne to liczby, które można zapisać w postaci stosunku dwóch liczb całkowitych. Inaczej: to te liczby rzeczywiste, które mają skończone bądź (od pewnego miejsca) okresowe rozwinięcia dziesiętne. Zbiór liczb wymiernych najczęściej oznacza się przez Q albo
.

Liczby niewymierne to te liczby rzeczywiste, które nie są liczbami wymiernymi. Oznacza to, że liczby niewymiernej nie można zapisać w postaci ilorazu dwu liczb całkowitych.

Rozwinięcie dziesiętne liczby niewymiernej jest nieskończone i nieokresowe.

Przykłady liczb niewymiernych:
, π, 0,123456789101112131415... (zapisy dziesiętne kolejnych liczb naturalnych).

Pierwiastek arytmetyczny drugiego stopnia z liczby naturalnej jest liczbą wymierną wtedy i tylko wtedy, gdy liczba ta jest kwadratem liczby naturalnej. Zatem na przykład
jest liczbą niewymierną.

Liczby niewymierne odkryli Pitagorejczycy, w związku z twierdzeniem Pitagorasa. Zauważyli oni mianowicie, że przekątna kwadratu o boku 1 jest niewspółmierna z bokiem, co właśnie oznacza niewymierność liczby
(zobacz dowód).

Liczby niewymierne są szczególnym przypadkiem:

• liczb rzeczywistych

• liczb zespolonych

• kwaternionów

• oktaw Cayleya

Liczba algebraiczna to liczba rzeczywista lub zespolona, która jest pierwiastkiem pewnego wielomianu o współczynnikach wymiernych (a więc i całkowitych).

Dowodzi się, że dla każdej liczby algebraicznej α istnieje wielomian nierozkładalny nad Q, którego pierwiastkiem jest α. Stopień tego wielomianu nazywamy stopniem liczby α.

Zbiór liczb algebraicznych tworzy ciało. W 1882 Ferdynand Lindemann dowiódł, że liczba π nie jest algebraiczna i tym samym udowodnił, że kwadratura koła nie jest możliwa.

[Edytuj]

Przykłady

• Każda liczba wymierna p/q jest liczbą algebraiczną stopnia 1, bo jest pierwiastkiem wielomianu nierozkładalnego px−q.

• Liczba
  jest liczbą algebraiczną stopnia 2, bo jest pierwiastkiem wielomianu nierozkładalnego x²−2.

Liczby algebraiczne są szczególnym przypadkiem:

• liczb zespolonych,

• kwaternionów,

• oktaw Cayleya.

Szczególnym przypadkiem liczb algebraicznych są:

• liczby naturalne,

• liczby całkowite,

• liczby wymierne.

Liczba przestępna to taka liczba rzeczywista lub zespolona, która nie jest pierwiastkiem żadnego wielomianu jednej zmiennej o współczynnikach całkowitych:

a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₁x¹ + a₀ = 0

Inaczej: liczba nie będąca liczbą algebraiczną.

Przykłady liczb przestępnych:

• pi - udowodnił to Ferdinand Lindemann w 1882

• e - udowodnił to Charles Hermite w 1873

Istnienie liczb przestępnych udowodnił francuski matematyk Joseph Liouville w 1844.

Jeśli a jest liczbą algebraiczną różną od zera to e^a jest liczbą przestępną. Jeśli a jest liczbą algebraiczną różną od zera i od 1 oraz b jest liczbą niewymierną to a^b jest liczbą przestępną.

---