 | Pobierz cały dokument z1.06.sprawozdania.czyjes.doc Rozmiar 99 KB |
Tomasz Madejski
WPROWADZENIE DO SYSTEMÓW TELEKOMONIKACYJNYCH -SEMINARIUM.
Semestr zimowy 2000/2001.
Prowadzący: dr inż. Wojciech J. Krzysztofik.
Zadanie Z1/6.
Wyznaczyć metodą pochodnych współczynniki Fn rozkładu w wykładniczy szereg Fouriera następujących funkcji:
1.Wstęp teoretyczny.
Podstawowym aparatem matematycznym analizy widmowej są szereg i przekształcenie (transformata) Fouriera. Z jego istoty wynika, że każdą funkcję okresową (w tym przypadku sygnał) spełniającą określone warunki (tzw. warunki Dirichleta :
1.posiadający skończoną liczbę punktów nieciągłości w okresie,
2.posiadający skończoną liczbę ekstremów (przedziałami monotoniczny),
3.bezwzględnie całkowalny w okresie) można przedstawić w postaci równoważnego jej szeregu Fouriera w postaci trygonometrycznej lub wykładniczej (zespolonej):
, 
- pulsacja podstawowa
gdzie:
, 
Tak więc istotą przekształcenia Fouriera jest przedstawienie sygnału okresowego w postaci sumy elementarnych drgań harmonicznych.
Własności wykładniczego szeregu Fouriera:
Jeżeli f(t) ↔ Fn oraz g(t) ↔ Gn, wówczas:
Liniowość: a f(t) + b g(t) ↔ a Fn + bGn (jeżeli f(t) i g(t) mają ten sam okres).
Przesunięcie w dziedzinie czasu: f(t - to) ↔ Fn e- j n ωoto (liniowa zmiana widma fazowego: ϕn = arg Fn - nωoto),
Różniczkowanie funkcji czasu: df k(t)/dt k ↔ (jnωo)kFn n ≠ 0.
Zmiana skali czasu: f(at) ↔ Fn, (okres f(at) równy T/a, pulsacja podstawowa równa 2πa/T= aωo), kształt widma identyczny jak f(t).
|
|
Bardzo użyteczną funkcją periodyczną jest periodyczny ciąg impulsów delta Diraca:
|
|
|
Korzystając z własności próbkujących funkcji delta Diraca znajdujemy:
δp(t, T) ↔ Fn =
2.Rozwiązanie zadania.
a)
Korzystając z metody pochodnych i wzorów przytoczonych w części teoretycznej obliczamy odpowiednie współczynniki rozwinięcia Fouriera (dla T = p,czyli 
=2) :
Jak widać z powyższych rysunków po dwukrotnym zróżniczkowaniu funkcji f(t) otrzymaliśmy ciąg funkcji impulsowych oraz funkcję okresową -f(t).
Możemy teraz ułożyć następujące równanie:
 | Pobierz cały dokument z1.06.sprawozdania.czyjes.doc rozmiar 99 KB |
