ElementywykªaduzAnalizyMatematycznej2

drin».GertrudaGwó¹d¹-Šukawska

CentrumNauczaniaMatematykiiFizyki

PolitechnikaŠódzka,Šód¹2011

1

Spistre±ci

Wst¦p2

1Przestrzeniemetryczne3

1.1Rodzajezbiorów.............................3

1.2Ci¡giwprzestrzeniachmetrycznych...................5

2Funkcjerzeczywistewieluzmiennych8

2.1Granicaici¡gªo±¢funkcjidwóchzmiennych..............8

3Rachunekró»niczkowyfunkcjiwieluzmiennych12

3.1Pochodnekierunkowe,cz¡stkoweiró»niczkowalno±¢funkcji......12

3.2Ekstremafunkcjidwóchzmiennych...................17

4Funkcjeuwikªane19

5Caªkiwielokrotne21

5.1Wªasno±cicaªkipodwójnej........................22

5.2Zamianazmiennychwcaªkachpodwójnych...............25

5.3Caªkipotrójna..............................27

5.4Wªasno±cicaªkipotrójnej........................28

5.5Zamianazmiennychwcaªkachpotrójnych...............31

2

Wst¦p

ZakrestematykiwykªaduzAnalizyMatematycznej2obejmujenast¦puj¡ceza-

ganienia:

Funkcjewieluzmiennych.

Granicefunkcjiwieluzmiennych,ci¡gªo±¢iograniczono±¢.

Rachunekró»niczkowyfunkcjiwieluzmiennych.

Pochodnecz¡stkowe.

Pochodnakierunkowaijejzwi¡zekzpochodnymicz¡stkowymi.

Ekstremalokalne,globalnefunkcjiwieluzmiennych.

Funkcjauwikªanajednejzmiennej.

Zagadnieniejejistnieniairó»niczkowalno±ciorazekstremafunkcjiuwikªanej.

Równanieró»niczkowezwyczajne:rozwi¡zanieogólne,szczególne,interpretacjage-

ometryczna.

Zagadnieniepocz¡tkowe,twierdzenieoistnieniuijednoznaczno±ci.

Równanieozmiennychrozdzielonych.

Równanieró»niczkoweliniowedowolnegorz¦du(jednorodneiniejednorodne).

Metodauzmienianiastaªychiprzewidywa«.

TransformataLaplace'a.*

Niniejszapublikacjaniezawierawszystkichtre±ciprzekazywanychpodczaswykªadu.

1Przestrzeniemetryczne3

Rozdziaª1

Przestrzeniemetryczne

1.1Rodzajezbiorów

Denicja1.1(Przestrze«metryczna).NiechXb¦dziedowolnymzbioremnie-

pustym.

Funkcj¦d:XX!Rnazywamymetryk¡(lubfunkcj¡odlegªo±ci);je»eli

speªniones¡nast¦puj¡cewarunki:

1.8x;y2Xd(x;y)0;

2.8x;y2X(d(x;y)=0,x=y);

3.8x;y2Xd(x;y)=d(y;x):

4.8x;y;z2Xd(x;z)d(x;y)+d(y;z):

Par¦uporz¡dkowan¡(X;d);gdziedjestmetryk¡,nazywamyprzestrzeni¡me-

tryczn¡.ZbiórXnazywamyzbiorempunktówprzestrzenimetrycznej(X;d);

za±warto±¢funkcjiddlaustalonychx;y2X;tj.d(x;y);nazywamyodlegªo±ci¡

punktówxiy:

n

Uwaga1.1.NiechX=Roraz

v

u

n

uX

t2

d(x;y):=(xiyi);gdziex=(x1;:::;xn);y=(y1;:::;yn):

i=1

1.1Rodzajezbiorów4

Dowodzisi¦,»efunkcjadjestmetryk¡.

Takzdeniowan¡przestrze«metryczn¡(X;d)nazywamyprzestrzeni¡euklide-

sow¡n-wymiarow¡,za±funkcj¦d-metryk¡euklidesow¡.

Wszczególnymprzypadku,dlan=1;metrykaeuklidesowawzbiorzeRprzyjmuje

posta¢

d(x;y)=jxyjdlax;y2R

inazywanajestrownie»metryk¡naturaln¡naprostej.

Denicja1.2(Kulawprzestrzenimetrycznej).Niech(X;d)b¦dzieprzestrzeni¡

metryczn¡,a2Xorazr-dodatni¡liczb¡rzeczywist¡.

Kul¡o±rodkuaipromieniur(lubkul¡otwart¡)nazywamyzbiór

K(a;r):=fx2X:d(x;a)<rg:

Denicja1.3(Punktwewn¦trznyzbioru).NiechAX:

Punkta2Xnazywamypunktemwewn¦trznymzbioruA;je»eli

9r2RK(a;r)A:

Denicja1.4(Zbiórotwartyiotoczeniepunktu).ZbiórAX;któregoka»dy

punktjestpunktemwewn¦trznym,nazywamyzbioremotwartym.

Otoczeniempunktux02XnazywamydowolnyzbiórU(x0)otwartywprzestrzeni

(X;d)izawieraj¡cypunktx0:

Twierdzenie1.1.Ka»dakulaotwartajestzbioremotwartym.

Denicja1.5(Zbiórdomkni¦ty).ZbiorBX;któregodopeªnienieXnBjest

zbioremotwartym,nazywamyzbioremdomkni¦tym.

Denicja1.6(Zbiórograniczony).NiechAb¦dzieniepustympodzbioremprzestrzeni

metrycznej(X;d):‘rednic¡zbioruAnazywamyliczb¦

(A):=supfd(x;y):x;y2Ag:

ZbiórAnazywamyograniczonym,je»eli(A)<1.Wprzeciwnymprzypadku

mówimy,»ezbiórAjestnieograniczony.

1.2Ci¡giwprzestrzeniachmetrycznych5

Denicja1.7(Wn¦trzezbioru).Wn¦trzempodzbioruAprzestrzenimetrycznej

(X;d)nazywamysum¦rodzinywszystkichzbiorówotwartychzawartychwzbiorze

AioznaczamyInt(A):

Twierdzenie1.2.ZbiórAjestotwartywprzestrzenimetrycznej(X;d)wtedyi

tylkowtedy,gdyA=Int(A):

1.2Ci¡giwprzestrzeniachmetrycznych

Denicja1.8(Zbie»no±¢ci¡guwprzestrzenimetrycznej).Niech(X;d)b¦dzie

przestrzeni¡metryczn¡ipn2Xdlan2N:

Mówimy,»eci¡g(pn)jestzbie»nywprzestrzenimetrycznej(X;d)dopunktu

p02X;cooznaczamylimpn=p0;je»eli

n!1

limd(pn;p0)=0:

n!1

Denicja1.9(WarunekCauchy'ego).Mówimy,»eci¡g(pn)punktówprzestrzeni

metrycznej(X;d)speªniawarunekCauchy'ego,je»eli

8">09n2X8m;n2N((n>n0^m>n0))d(pn;pm)<"):0

Twierdzenie1.3.Ka»dyci¡gzbie»nywprzestrzenimetrycznejspeªniawarunek

Cauchy'ego.

Uwaga1.2.ImplikacjaodwrotnadoTwierdzenia1.3niejestprawdziwa.

n

Twierdzenie1.4.Niech(pk)b¦dzieci¡giempunktówprzestrzenieuklidesowejRi

nkk00

niechp02Rorazpk=(x1;:::;xn);k=1;2;:::;p0=(x1;:::;xn):

Wówczas

k0

limpk=p0,8i2f1;:::;nglimx=x:ii

k!1k!1

1.2Ci¡giwprzestrzeniachmetrycznych6

Twierdzenie1.5.Ka»dyci¡gzbie»nywprzestrzenimetrycznejjestograniczony.

Denicja1.10(Punktskupieniazbioruipunktizolowany).Niech(X;d)

b¦dzieprzestrzeni¡metryczn¡,zbiórAX:

Punktp02XnazywamypunktemskupieniazbioruA;je»eliistniejetakici¡g

(pn);»e

8n2Npn2A^pn=6p0^limpn=p0:n!1

0

ZbiórwszystkichpunktówskupieniazbioruAoznaczamyA:

0

Punktp2AnAnazywamypunktemizolowanymzbioruA:

Denicja1.11(Domkni¦ciezbioru).NiechAb¦dziepodzbioremprzestrzeni

metrycznej(X;d):

0

Domkni¦ciemzbioruAnazywamyzbió

rA:=A[A:

Twierdzenie1.6.ZbiórAjestdomkni¦tywprzestrzenimetrycznej(X;d)wtedyi

tylkowtedy,gdyA=A:

Denicja1.12(Zbiórzwarty).NiechAX:

ZbiórAnazywamyzbioremzwartymwprzestrzenimetrycznej(X;d);je»eliz

ka»degoci¡gupunktówzbioruAmo»nawybra¢podci¡gzbie»nydopewnegopunktu

zbioruA:

n

Twierdzenie1.7.PodzbiórAprzestrzenieuklidesowejRjestzwartywtedyitylko

wtedy,gdyjestdomkni¦tyiograniczony.

Denicja1.13(Zbiórspójny).ZbiórA=6;nazywamyzbioremspójnymw

przestrzenimetrycznej(X;d);je»elidladowolnychniepustychzbiorówA1Ai

A2Atakich,»eA1[A2=A;mamy

A1\A2[A1

\A2=6;:

1.2Ci¡giwprzestrzeniachmetrycznych7

n

Uwaga1.3.ZbiórotwartyARjestspójny,je»elika»dedwajegopunktymo»na

poª¡czy¢ªaman¡zawart¡wA:

n

Denicja1.14(Obszariobszardomkni¦ty).ZbiórotwartyispójnywR

nazywamyobszarem.

Obszarª¡czniezeswoimbrzegiemnazywamyobszaremdomkni¦tym.

2Funkcjerzeczywistewieluzmiennych8

Rozdziaª2

Funkcjerzeczywistewieluzmiennych

Denicja2.1(Funkcjawieluzmiennych).Funkcj¦fodwzorowuj¡c¡zbiórA

n

RwzbiórRnazywamyfunkcj¡rzeczywist¡nzmiennychioznaczamyf:A!

R:

Warto±¢funkcjifwpunkciep=(x1;:::;xn)2Aoznaczamyf(p)lubf(x1;:::;xn):

Denicja2.2(Wykresipoziomicafunkcjidwóchzmiennych).Wykresem

funkcjifdwóchzmiennychnazywamyzbiór

3

f(x;y;z)2R:(x;y)2Df^z=f(x;y)g;

gdzieDfoznaczadziedzin¦funkcjif:

Poziomic¡wykresufunkcjifodpowiadaj¡c¡poziomowih2Rnazywamyzbiór

f(x;y)2Df:f(x;y)=hg:

2.1Granicaici¡gªo±¢funkcjidwóchzmiennych

Denicja2.3(Granican-krotna.DenicjaCauchy'ego).Niechf:A!R;

n

ARorazniechp0b¦dziepunktemskupieniazbioruA:

Liczb¦gnazywamygranic¡funkcjifwpunkciep0;je»eli

8">09>08p2A(d(p;p0)<)jf(p)gj<")

2.1Granicaici¡gªo±¢funkcjidwóchzmiennych9

izapisujemylimf(p)=g:

p!p0

Granic¦gnazywamytak»egranic¡n-krotn¡.

Je»eligjestliczb¡sko«czon¡,tomówimy,»egjestgranic¡wªa±ciw¡funkcjif

wpunkciep0:

Denicja2.4(Granican-krotna.DenicjaHeinego).Niechf:A!R;A

n

Rorazniechp0b¦dziepunktemskupieniazbioruA:

Liczb¦gnazywamygranic¡funkcjifwpunkciep0;je»eli



8(p)A8n2Npn=6p0^limpn=p0)limf(p)=g:nn

n!1n!1

Uwaga2.1.

1.DenicjeCauchy'egoiHeinegogranicyfunkcjinzmiennychs¡równowa»ne.

2.Granic¦niewªa±ciw¡1wpunkciep0deniujesi¦analogiczniejakdlafunkcji

jednejzmiennej.

2

Denicja2.5(Graniceiterowane).Niechf:A!R;ARorazniechp0=

(x0;y0)b¦dziepunktemskupieniazbioruA:

Je»eliistniej¡liczby



g1=limlimf(x;y)ig2=limlimf(x;y);

x!x0y!y0y!y0x!x0

tonazywamyjegranicamiiterowanymifunkcjif:

Uwaga2.2.Istnieniegranicyfunkcjiwpunkciep0=(x0;y0)jestniezale»neod

istnieniagraniciterowanychg1ig2:

Granicapodwójnafunkcjifmo»enieistnie¢,natomiastgraniceg1ig2mog¡istnie¢

inaodwrót.

Ponadto,je»eligraniceiterowaneg1ig2istniej¡,tomog¡by¢ró»ne.

Mo»nate»udowodni¢,»eje»eliistniejegranicapodwójnafunkcjifwpunkciep0i

conajmniejjednazgraniciterowanychg1lubg2;togranicapodwójnajestrównatej

granicyiterowanej.

2.1Granicaici¡gªo±¢funkcjidwóchzmiennych10

Uwaga2.3.Dlagranicyn-krotnejfunkcjizachodz¡twierdzeniaoarytmetycegranic

funkcjiorazogranicyfunkcjizªo»onejpodobniejakdlafunkcjijednejzmiennej.

2

Denicja2.6(Ci¡gªo±¢funkcjinzmiennych).Niechf:A!R;ARoraz

niechp0=(x0;y0)b¦dziepunktemskupieniazbioruA:

Mówimy,»efunkcjafjestci¡gªawpunkciep0;je»elilimf(p)=f(p0):Mówimy,

p!p0

»efunkcjafjestci¡gªanazbiorzeA;je»elijestci¡gªawka»dympunkcietego

zbioru.

Twierdzenie2.1.Ka»dafunkcjafnzmiennychjestci¡gªawpunktachizolowanych

swojejdziedziny.

Uwaga2.4.Je»elifunkcjanzmiennych(x1;:::;xn)!7f(x1;:::;xn)okre±lonaw

00

pewnymotoczeniupunktup0=(x;:::;x)jestwtympunkcieci¡gªa,todlaka»dego

1n

0000

k2f1;:::;ngfunkcjaxk7!f(x;:::;x;xk;x;:::;x)jednejzmiennejx

1k1k+1nkjest

0

ci¡gªawpunkciex(inaczejmówimy,»efunkcjafjestci¡gªawpunkciep0ze

k

wzgl¦dunaka»d¡zmienn¡oddzielnie):

Implikacjaodwrotnaniejestprawdziwa.

Twierdzenie2.2(Odziaªaniacharytmetycznych).Je»elifunkcjef;gs¡ci¡gªe

n

wpunkciep02R;torównie»funkcje

f

f+g;fg;f
goraz(oileg(x)=60dlax2X)

g

s¡ci¡gªewpunkciep0:

Twierdzenie2.3(Oci¡gªo±cifunkcjizªo»onej).Je»elifunkcjef;g1;g2;:::;gn

speªniaj¡warunki:

1.funkcjeg1;g2;:::;gns¡ci¡gªewpunkciep0;

2.funkcjafjestci¡gªawpunkcieq0=(g1(p0);:::;gn(p0));

tofunkcjazªo»onaf(g1;:::;gn)jestci¡gªawpunkciep0:

2.1Granicaici¡gªo±¢funkcjidwóchzmiennych11

Twierdzenie2.4(Olokalnymzachowaniuznaku).Je»elifunkcjaf;okre±lona

wpewnymotoczeniupunktup0;jestwtympunkcieci¡gªaorazf(p0)>0(albo

f(p0)<0);toistniejes¡siedztwoS(p0)punktup0takie,»e

8p2S(p)f(p)>0albo8

0p2S(p)f(p)<0:0

Twierdzenie2.5(Weierstrassaoosi¡ganiukresów).Je»elifunkcjafjest

n

ci¡gªanazbiorzezwartymDR;tojestwtymzbiorzeograniczonaoraz



9p2D9

1p22Df(p1)=inff(p)^f(p2)=supf(p):

p2Dp2D

Twierdzenie2.6.Niechfb¦dziefunkcj¡rzeczywist¡ci¡gª¡,okre±lon¡nazbiorze

n

spójnymDR:

Wówczasobrazf(D)jestzbioremspójnymwR:

Twierdzenie2.7(Darboux,oprzyjmowaniuwarto±cipo±rednich).Je»eli

n

funkcjafjestci¡gªanaobszarzedomkni¦tymiograniczonymDR;to



8z2Rinff(p)zsupf(p))9p02Dz=f(p0):

p2Dp2D

3Rachunekró»niczkowyfunkcjiwieluzmiennych12

Rozdziaª3

Rachunekró»niczkowyfunkcjiwielu

zmiennych

3.1Pochodnekierunkowe,cz¡stkoweiró»niczkowal-

no±¢funkcji

Denicja3.1(Pochodnakierunkowa).Niechf:U(p0)!R;gdzieU(p0)jest

!

00n

pewnymotoczeniempunktup0=(x;:::;x)2Rorazniechh=[h1;:::;hn]b¦dzie

1n

n

wektoremwprzestrzeniR:

!

Pochodn¡kierunkow¡funkcjifwpunkciep0wkierunkuwektorahokre±lamy

wzorem:

!

f(p0+th)f(p0

)

0

f!(p0):=lim;

ht!0t

gdzie

!

000

p0+th=(x+th1;x+th2;:::;x+thn):12n

Uwaga:Zauwa»my,»eje»eliokre±limyfunkcj¦



!

'(t):=fp0+th;

!

nn

gdziep02R;za±hjestwektoremwR;to

0'(t)'(0)

'(0)=lim:

t!0t

Zatem

00

f!(p0)='(0):

h

3.1Pochodnekierunkowe,cz¡stkoweiró»niczkowalno±¢funkcji13

Wynikast¡d,»edlapochodnejkierunkowejmamytakiesamewzoryrachunkowe(tzn.wzorydoty-

cz¡cepochodnejsumy,iloczynuiilorazufunkcji)jakdlazwykªejpochodnejfunkcjijednejzmiennej.

Naprzykªad,

000

(f+g)!(p0)=f!(p0)+g!(p0):

hhh

Interpretacjageometrycznapochodnejkierunkowejdlafunkcjidwóch

zmiennych

!

2

Niechz=f(x;y)orazniechhb¦dziewektoremwprzestrzeniR:

Oznaczmyprzezlstyczn¡dokrzywejotrzymanejwwynikuprzekrojuwykresu

funkcjipóªpªaszczyzn¡przechodz¡c¡przezpunkt(x0;y0;0);równolegª¡dowektora

!

horazdoosiOz:

Wówczas

0

f!(x0;y0)=tg;

h

gdzieoznaczak¡tnachyleniaprostejldopªaszczyznyOxy:

!

Pochodnakierunkowaokre±laszybko±¢zmianywarto±cifunkcjiwkierunkuh:

Twierdzenie3.1.Niechf:U(p0)!R;gdzieU(p0)jestpewnymotoczeniem

!

nn

punktup02R:Niechhb¦dziewektoremwprzestrzeniR;orazrdowoln¡liczb¡

rzeczywist¡.

00

Wówczas,je»elipochodnaf!(p0)istnieje,torównie»istniejef!(p0)izachodzi

hrh

równo±¢

00

f!(p0)=rf!(p0):

rhh

000

Uwaga:Wogólnymprzypadkuf!!(p0)6=f!(p0)+f!(p0):

(h1+h2)h1h2

Równo±¢zachodziprzydodatkowychzaªo»eniachopochodnychkierunkowych.

Mamymianowicie:

Twierdzenie3.2.Niechf:U(p0)!R;gdzieU(p0)jestpewnymotoczeniem

!!

nn

punktup02R:Niechh1;h2b¦d¡wektoramiwprzestrzeniR:

00

Je»elipochodnaf!istniejewpunkciep0;za±f!istniejeijestci¡gªawp0;to

h1h2

000

f!!(p0)=f!(p0)+f!(p0):

(h1+h2)h1h2

3.1Pochodnekierunkowe,cz¡stkoweiró»niczkowalno±¢funkcji14

Twierdzenie3.3.Niechf:U(p0)!R;gdzieU(p0)jestpewnymotoczeniem

!

nn

punktup02R;hniechb¦dziedowolnymwektoremwRorazniechliczba>0

!

b¦dzietaka,»eodcinekª¡cz¡cypunktyp0ip0+hle»ycaªkowiciewotoczeniu

U(p0):

Je»eliwka»dympunkcietegoodcinkaistniejepochodnakierunkowawkierunkuwek-

!

torah;toistniejeliczba2(0;1)taka,»e



!

fp0+hf(p

)

0!

0

=f!p0+h:

h

Szczególnymprzypadkiempochodnejkierunkowejfunkcjis¡pochodnecz¡stkowe

funkcji.

Denicja3.2(Pochodnecz¡stkowe).Nieche1;:::;enoznaczaj¡wersoryosiwspóªrz¦d-

n

nychwprzestrzeniR:

n

Pochodn¡kierunkow¡funkcjifwpunkciep02Rwkierunkuwektoraeinazywamy

pochodn¡cz¡stkow¡funkcjifwpunkciep0wzgl¦demi-tejzmiennej(lub

i-tejwspóªrz¦dnej)ioznaczamy

@f0

f(p)lub(p):xi00

@xi

n

Uwaga:Dlafunkcjif:U(p0)!R;gdzieU(p0)R;mog¡istnie¢wszystkiepochodne

cz¡stkowewpunkciep0;za±funkcjafmo»enieby¢ci¡gªawtympunkcie.

Zistnieniapochodnychcz¡stkowychwynikajedynieci¡gªo±¢funkcjizewzgl¦dunaka»d¡zmienn¡

oddzielnie.

Jednakprzydodatkowymzaªo»eniu,mamy:

Twierdzenie3.4.Je»elifunkcjafmaci¡gªepochodnecz¡stkowewpewnymob-

n

szarzeDR;tofjestwtymobszarzeci¡gªa.

Ci¡gªo±¢pochodnychcz¡stkowychfunkcjifpozwalarównie»nainnysposób

obliczaniapochodnejkierunkowejfunkcjif:

n

Denicja3.3(Gradientfunkcji).Niechf:A!R;AR:Gradientem

funkcjifwpunkciep0nazywamywektor

"#

@

f@f

(rf):=(p0);:::;(p):p00

@x1@xn

3.1Pochodnekierunkowe,cz¡stkoweiró»niczkowalno±¢funkcji15

Zmieniaj¡cpunktp0otrzymujemypolewektorowe

"#

@

f@f

rf:=;:::;;

@x1@xn

którenazywamygradientemfunkcjif:

Zale»no±¢pomi¦dzypochodn¡kierunkow¡funkcjiajejgradientempodajenast¦pu-

j¡ce

@f

Twierdzenie3.5.Je»elipochodnecz¡stkowedlai=1;:::;ns¡funkcjami

@xi

n0

ci¡gªymiwpunkciep02R;topochodnakierunkowaf!(p0)istniejewka»dym

h

!

kierunkuhiwyra»asi¦wzorem

!

0

f!(p0)=(rf)h:

hp0

Gradientfunkcjiwpunkciewskazujekieruneknajszybszegowzrostufunkcjiw

tympunkcie.

Gradientfunkcjiwpunkciejestprostopadªydopoziomicyfunkcjiprzechodz¡cej

przeztenpunkt.

n

Denicja3.4(Funkcjaró»niczkowalna).Niechp02R;orazf:U(p0)!R;



!!

n

gdzieU(p0)R:Rozwa»mywektorh=[h1;:::;hn]taki,»ep0+h2U(p0):

0

Je»eliistniej¡pochodnecz¡stkowef(p0)dlai2f1;:::;ng;tofunkcj¦fnazywamy

xi

ró»niczkowaln¡wp0;gdy

!

00

f(p0+h)f(p0)[f(p0)h1+:::+f(p)h

]x1xn0n

lim=0;

!!

h!0khk

!!!

gdziekhkoznaczadªugo±¢wektorah;za±przezzbie»no±¢h!0rozumiemy,»e

hi!0dlaka»degoi2f1;:::;ng:

Wyra»eniewnawiasienazywamyró»niczk¡zupeªn¡funkcjifwpunkciep0:

2

Rozwa»myterazprzypadekprzestrzeniR:

!

2

Uwaga:Je»elip0=(x0;y0)2Roraz(x;y)2U(x0);torozwa»aj¡cwektorh=[
x;
y];

gdzie
x=xx0;
y=yy0;warunekró»niczkowalno±cifunkcjifwpunkciep0przyjmuje

posta¢

00

f(x0+
x;y0+
y)f(x0;y0)[fx(p0)
x+fy(p0)

y]

lim

p=0

x!0;
y!022

(
x)+(
y)

3.1Pochodnekierunkowe,cz¡stkoweiró»niczkowalno±¢funkcji16

iwówczaswyra»eniewnawiasiejestró»niczk¡zupeªn¡funkcjifwpunkciep0:

Wniosek:Je»elioznaczymy
f(p0)=f(x0+
x;y0+
y)f(p0);gdziep0=(x0;y0);toz

ró»niczkowalno±cifunkcjifwp0wynika,»e

00

f(p0)tfx(p0)
x+fy(p0)
y:

Twierdzenie3.6(Warunekkoniecznyró»niczkowalno±cifunkcji).Je»elifunkcja

n

fjestró»niczkowalnawpunkciep02R;tojestci¡gªawtympunkcie.

Uwaga:ImplikacjaodwrotnadoTwierdzenia3.6niejestprawdziwa.

Twierdzenie3.7(Warunekwystarczaj¡cyró»niczkowalno±cifunkcji).Je»eli

0

dlafunkcjifnzmiennychistniej¡pochodnecz¡stkowef(p0)dlaka»degoi2xi

n

f1;:::;ngis¡ci¡gªewpunkciep02R;tofunkcjafjestró»niczkowalnawp0:

Uwaga:Ci¡gªo±¢pochodnychcz¡stkowychniejestwarunkiemkoniecznymró»niczkowalno±ci

funkcji.

n

Denicja3.5(Pochodnecz¡stkowedrugiegorz¦du).Niechp02R;oraz

n@f

funkcjaf:U(p0)!R;gdzieU(p0)Rmapochodnecz¡stkowedlai=1;:::;n

@xi

okre±loneprzynajmniejnapewnymotoczeniupunktup0:

Pochodnecz¡stkowedrugiegorz¦dufunkcjifwpunkciep0okre±lamywzorami



2

@

f@@

(p0)=(p0);i;j=1;:::;n:

@xj@xi@xj@xi

22

@

f@f

Je»elii=j;tozamiastpiszemy2:

@xj@xi@x

i

@2f00

Pochodne(p0)oznaczamyte»f(p):

@xj@xixixj0

00

Je»elii6=j;topochodn¡fxnazywamyte»pochodn¡cz¡stkow¡mieszan¡

ixj

drugiegorz¦du.

Twierdzenie3.8(Schwarza).Je»elidlafunkcjif:U(p0)!Rwszystkiepochodne

@2f

cz¡stkowerz¦dudrugiegos¡funkcjamici¡gªymiwp0;tozachodzirówno±¢

@xj@xi

22

@

f@f

(p0)=(p0):

@xj@xi@xi@xj

3.2Ekstremafunkcjidwóchzmiennych17

Twierdzenie3.9(Opochodnejfunkcjizªo»onej).Je»elifunkcjaf:U!R;

n@f

gdzieUR;maci¡gªepochodnecz¡stkowedlai=1;:::;n;za±funkcje

@xi

t!7xi(t);gdziet2(;);s¡ró»niczkowalnena(;)dlai=1;:::;n;oraz

(x1(t);:::;xn(t))2Udlat2(;);tofunkcjazªo»onaf(x1;:::;xn)jestte»ró»niczkowalna

na(;);przyczym

n

X

d
@f
dx

0000i0

fx1(t);:::;xn(t)=x1(t);:::;xn(t)t;t02(;):

dt@xidt

i=1

Twierdzenie3.10(Opochodnychcz¡stkowychfunkcjizªo»onej).Je»elifunkcja

n@f

f:U!R;gdzieUR;maci¡gªepochodnecz¡stkowedlai=1;:::;nwUoraz

@xi

funkcje(t1;:::;tm)!7xi(t1;:::;tm)te»maj¡ci¡gªepochodnecz¡stkowewpewnymob-

m

szarzeDRipunkty(x1(t1;:::;tm);:::;xn(t1;:::;tm))2Udla(t1;:::;tm)2D;

0

tofunkcjazªo»onaf(x1;:::;xn)te»mapochodnecz¡stkowedlat=(t1;:::;tm)2D

równe

n

X

@(x(t);:::;x(t)

)@f
@x

10n000k0

=x1(t);:::;xn(t)t;j1;:::;m:

@tj@xk@tj

k=1

3.2Ekstremafunkcjidwóchzmiennych

n

Denicja3.6(Ekstremalokalnefunkcji).Niechf:D!R;gdzieDR:

Mówimy,»efunkcjafmawpunkciep02D

ˆminimumlokalne,gdy9U(p)D8p2U(p)f(p)f(p000);

ˆminimumlokalnewªa±ciwe,gdy9S(p)D8p2S(p)f(p)>f(p000):

(U(p0)-oznaczaotoczeniepunktup0;za±S(p0)-s¡siedztwopunktup0)Analogicznie

okre±lasi¦maksimumlokalnewpunkciep0orazmaksimumlokalnewªa±ciwe.

Twierdzenie3.11(Warunekkoniecznyistnieniaekstremum).Je»elifunkcja

2

f:U!R;gdzieUR;speªniawarunki:

1.maekstremumlokalnewpunkcie(x0;y0);

@f@f

2.istniej¡pochodnecz¡stkowe(x0;y0);(x0;y0);

@x@y

3.2Ekstremafunkcjidwóchzmiennych18

to

@

f@f

(x0;y0)=0;(x0;y0)=0:

@x@y

Uwaga:Prawdziwejestrównie»analogicznetwierdzeniedlafunkcjinzmiennych.

ImplikacjaodwrotnadoTwierdzenia3.11niejestprawdziwa.

Twierdzenie3.12(Warunekwystarczaj¡cyistnieniaekstremumfunkcji

2

dwóchzmiennych).Je»elifunkcjaf:U!R;gdzieUR;maci¡gªepochodne

cz¡stkowerz¦dudrugiegonaotoczeniupunktu(x0;y0)oraz

@f@f

1.(x0;y0)=0;(x

@x@y0;y0)=0;

"#

22

@

f@f

(x;y)(x;y)

@x200@x@y00

2.det>0;

@2f@2f

(x0;y0)2(x0;y0)

@y@x@y

towpunkcie(x0;y0)funkcjafmaekstremumlokalnewªa±ciweijestto:

2

@

f

ˆminimum,gdy

@x2(x0;y0)>0

albo

2

@

f

ˆmaksimum,gdy2(x0;y0)<0:

@x

Denicja3.7(Wyznacznikfunkcyjny,inaczejjakobian).Je»elifunkcjeyi=

n

fi(x1;::;xn);i2f1;:::;ng;maj¡pochodnecz¡stkowewpewnymobszarzeGR;

towyznacznikiemfunkcyjnymlubjakobianemnazywamy



@f@f

11

...

@x1@xn





.............





@fn@fn

...

@x1@xn

D(y1;:::;yn)

ioznaczamy:

D(x1;:::;xn)

4Funkcjeuwikªane19

Rozdziaª4

Funkcjeuwikªane

Denicja4.1.NiechFb¦dziefunkcj¡dwóchzmiennychokre±lon¡napewnym

obszarze.Funkcj¡uwikªan¡okre±lon¡równaniem

F(x;y)=0

nazywamyka»d¡funkcj¦y=y(x)ci¡gª¡napewnymprzedzialeI;speªniaj¡c¡

równo±¢

F(x;y(x))=0

dlawszystkichxzprzedziaªuI:Podobnieokre±lasi¦funkcj¦uwikªan¡postacix=

x(y);gdziey2J:

Twierdzenie4.1(Oistnieniuiró»niczkowalno±cifunkcjiuwikªanej).Je»eli

funkcjaFmaci¡gªepochodnecz¡stkowerz¦dupierwszegonapewnymotoczeniu

punktu(x0;y0)orazspeªniawarunki:

1.F(x0;y0)=0;

0

2.F(x0;y0)=60;y

tonapewnymotoczeniupunktux0istniejedokªadniejednafunkcjauwikªanay=

y(x)okre±lonarównaniemF(x;y)=0;speªniaj¡cawaruneky(x0)=y0:

Jejpochodnajestwówczasci¡gªaiwyra»asi¦wzorem:

0

F(x;y(x)

)0x

y(x)=

0

F(x;y(x))y

dlaka»degoxzotoczeniapunktux0:

4Funkcjeuwikªane20

Uwaga:Je»eliwTwierdzeniu4.1zaªo»ymydodatkowo,»efunkcjaFmaci¡gªepochodne

cz¡stkowedrugiegorz¦dunaotoczeniupunktu(x0;y0);tofunkcjauwikªanay=y(x)jestdwukrot-

nieró»niczkowalnanapewnymotoczeniupunktux0ijejpochodnawyra»asi¦wzorem

000200000002

F(F)2FFF+F(F)

00xxyxyxyyyx

y=:

(F0)3y

Twierdzenie4.2(Oekstremachlokalnychfunkcjiuwikªanej).Je»elifunkcja

Fmaci¡gªepochodnecz¡stkowerz¦dudrugiegonapewnymotoczeniupunktu(x0;y0)

orazspeªniawarunki:

1.F(x0;y0)=0;

0

2.F(x0;y0)=60;y

0

3.F(x0;y0)=0;x

00

4.Fxx(x0;y0)=60;

tofunkcjauwikªanay=y(x)okre±lonarównaniemF(x;y)=0;ispeªniaj¡ca

waruneky(x0)=y0mawpunkciex0ekstremumlokalnewªa±ciweijestto

00

Fxx(x0;y0

)

ˆminimum,gdy>0;

F0y(x0;y0)

00

Fxx(x0;y0

)

ˆmaksimum,gdy0<0:

Fy(x0;y0)

00

Uwaga:Równo±¢Fx(x0;y0)=0jestwarunkiemkoniecznym,aukªadFx(x0;y0)=0i

00

F(x0;y0)=60warunkiemwystarczaj¡cymistnieniawpunkcie(x0;y0)ekstremumfunkcjiuwikªanej

xx

okre±lonejprzezrównanieF(x0;y0)=0:

Prawdziwejesttak»eanalogicznetwierdzenieoekstremachfunkcjiuwikªanejpostacix=x(y):

5Caªkiwielokrotne21

Rozdziaª5

Caªkiwielokrotne

2

Denicja5.1(Šukzwykªy).Krzyw¡KR;okre±lon¡równaniamiparame-

trycznymi

x=x(t);y=y(t)dlat2[;];

nazywamyªukiemzwykªym,je»elixiys¡funkcjamici¡gªyminaprzedziale[;]

orazró»nymwarto±ciomparametrut2(;)odpowiadaj¡ró»nepunktykrzywejK:

Je»eliponadto(x();y())=(x();y());toªukzwykªyKnazywamyzamkni¦-

tym.

2

Denicja5.2(Obszarregularny).OgraniczonyobszarDRnazywamyregu-

larnym,gdybrzegtegoobszarujestsum¡sko«czonejliczbyªukówzwykªychdanych

równaniami:

y=y(x)dlax2[a;b]lubx=x(y)dlay2[c;d];

przyczymªukitemog¡redukowa¢si¦dopunktów.

Denicja5.3(Caªkapodwójna).Niechfb¦dziefunkcj¡okre±lon¡nadomkni¦-

2

tymregularnymobszarzeDRiniechPnoznaczapodziaªobszaruDwdowolny

sposóbnandomkni¦tychobszarówcz¦±ciowychDiodpowiednioopolachjDij;

i=1;2;:::;nwtensposób,aby:

1.»adnedwaobszaryDi;Djdlai=6jniemiaªywspólnychpunktówwewn¦trznych,

2.D=D1[D2[:::[Dn:

5.1Wªasno±cicaªkipodwójnej22

Liczb¦

n=maxf(Di):i2f1;2;:::;ngg;gdzie(Di)jest±rednic¡zbioruDi;

nazywamy±rednic¡podziaªuPn:Wka»dymobszarzeDiwybieramypunktpo±redni

(xi;yi)itworzymysum¦caªkow¡

n

X

Sn=f(xi;yi)
jDij:

i=1

Je»elidlaka»degoci¡gufPngn2NpodziaªówobszaruDnaobszarycz¦±ciowespeªni-

aj¡cegowaruneklimn=0idlaka»degowyborupunktówpo±rednichwobszarach

n!1

cz¦±ciowychistniejetasamasko«czonagranicaci¡gufSngn2Nsumcz¦±ciowych

funkcjif;togranic¦t¦nazywamycaªk¡podwójn¡funkcjifnaobszarzeD

ioznaczamyZZ

f(x;y)dxdy:

D

Funkcj¦f;dlaktórejistniejecaªkapodwójnanaobszarzeDnazywamyfunkcj¡

caªkowaln¡naobszarzeD:

5.1Wªasno±cicaªkipodwójnej

Twierdzenie5.1(Warunekkoniecznycaªkowalno±ci).Je»elifunkcjafjest

2

caªkowalnanadomkni¦tymregularnymobszarzeDR;tojestfunkcj¡ograniczon¡

natymobszarze.

Twierdzenie5.2(IWarunekwystarczaj¡cycaªkowalno±ci).Je»elifunkcjaf

2

jestci¡gªanadomkni¦tymiregularnymobszarzeDR;tojestfunkcj¡caªkowaln¡

natymobszarze.

Twierdzenie5.3(IIWarunekwystarczaj¡cycaªkowalno±ci).Je»elifunkcja

2

fjestograniczonanadomkni¦tymiregularnymobszarzeDRorazjestci¡gªana

tymobszarzezwyj¡tkiemsko«czonejliczbyªukówzwykªychorównaniachy=y(x)

lubx=x(y);tojestfunkcj¡caªkowaln¡naobszarzeD:

5.1Wªasno±cicaªkipodwójnej23

Twierdzenie5.4.Je»elifunkcjafjestcaªkowalnanadomkni¦tymiregularnym

2

obszarzeDR;za±ograniczonafunkcjagpokrywasi¦zfunkcj¡fpozasko«czon¡

liczb¡ªukówzwykªychorównaniachy=y(x)lubx=x(y)zawartychwobszarzeD;

tofunkcjagte»jestcaªkowalnanaDoraz

ZZZZ

f(x;y)dxdy=g(x;y)dxdy:

DD

Twierdzenie5.5.Je»elifunkcjefigs¡caªkowalnenadomkni¦tym,regularnym

2

obszarzeDR;to

1.dladowolnejliczbyk2Rfunkcjak
fjestcaªkowalnanaDoraz

ZZZZ

k
f(x;y)dxdy=kf(x;y)dxdy:

DD

2.funkcjaf+gjestte»funkcj¡caªkowaln¡naDoraz

ZZZZZZ

(f(x;y)+g(x;y))dxdy=f(x;y)dxdy+g(x;y)dxdy:

DDD

Twierdzenie5.6(Addytywno±¢caªkiwzgl¦demobszarucaªkowania).Za-

2

ªó»my,»edomkni¦tyregularnyobszarDRjestsum¡domkni¦tychregularnych

obszarówD1iD2niemaj¡cychwspólnychpunktówwewn¦trznych.

WówczasfunkcjafjestcaªkowalnanaobszarzeDwtedyitylkowtedy,gdyjest

caªkowalnanaka»dymzobszarówD1iD2;przyczym

ZZZZZZ

f(x;y)dxdy=f(x;y)dxdy+f(x;y)dxdy:

DD1D2

Twierdzenie5.7(Monotoniczno±¢caªkipodwójnej).Je»elifunkcjefigs¡

2

caªkowalnenadomkni¦tymregularnymobszarzeDRorazf(x;y)g(x;y)dla

(x;y)2D;to

ZZZZ

f(x;y)dxdyg(x;y)dxdy:

DD

5.1Wªasno±cicaªkipodwójnej24

Twierdzenie5.8.Je»elifjestfunkcj¡caªkowaln¡nadomkni¦tymiregularnym

2

obszarzeDRorazmf(x;y)Mdlaka»dego(x;y)2D;to

ZZ

m
jDjf(x;y)dxdyM
jDj:

D

Denicja5.4(Warto±¢±redniafunkcjinaobszarze).Warto±ci¡±redni¡

funkcjifnaobszarzeDnazywamyliczb¦

ZZ

1

f=f(x;y)dxdy:

±r

jDj

D

Twierdzenie5.9(Owarto±ci±redniejdlacaªekpodwójnych).Niechfunkcja

2

fb¦dzieci¡gªanaobszarzenormalnymDR:Wówczasistniejepunkt(x0;y0)2

D;dlaktóregozachodzirówno±¢

f=f(x0;y0):

±r

Twierdzenie5.10(Ozamianiecaªkipodwójnejnaiterowan¡).1.Je»elifunkcja

2

fjestci¡gªanaobszarzeDRnormalnymwzgl¦demosiOx;przyczym

2

D=f(x;y)2R:axb^g(x)yh(x)g;

to"#

ZZZZ

bh(x)

f(x;y)dxdy=f(x;y)dydx:

ag(x)

D

2

2.Je»elifunkcjafjestci¡gªanaobszarzeDRnormalnymwzgl¦demosiOy;

przyczym

2

D=f(x;y)2R:ayb^k(y)xl(y)g;

to"#

ZZZZ

dl(y)

f(x;y)dxdy=f(x;y)dxdy:

ck(y)

D

5.2Zamianazmiennychwcaªkachpodwójnych25

3.Wszczególnymprzypadku,gdyobszarDjestprostok¡temobokachrównolegªych

doosiOxiOy;przyczym

2

D=f(x;y)2R:axb^cydg

orazfjestci¡gªanaD;to

ZZZZZZ

bddb

f(x;y)dxdy=f(x;y)dydx=f(x;y)dxdy:

acca

D

5.2Zamianazmiennychwcaªkachpodwójnych

Denicja5.5(Przeksztaªcenieobszarównapªaszczy¹nie).Niech
iDb¦d¡

obszaramiodpowiedniowpªaszczyznachOuviOxy:Przeksztaªceniemobszaru

wobszarDnazywamyfunkcj¦T:
!Dokre±lon¡wzorem

(x;y)=T(u;v)=((u;v); (u;v));gdzie(u;v)2
:

Obrazemzbioru
przyprzeksztaªceniuTnazywamyzbiór

T(
):=f(x;y):x=(u;v);y= (u;v);(u;v)2
g:

PrzeksztaªcenieTnazywamy:

ˆci¡gªym,je»elifunkcjei s¡ci¡gªenaobszarze
;

ˆwzajemniejednoznacznym,je±liró»nympunktomobszaru
odpowiadaj¡

ró»nepunktyjegoobrazuD:

Twierdzenie5.11(Ozamianiezmiennychwcaªcepodwójnej).Niech

1.odwzorowanie(x;y)=T(u;v);gdziex=(u;v);y= (u;v)przeksztaªca

wzajemniejednoznaczniewn¦trzeobszaruregularnego
nawn¦trzeobszaru

2

regularnegoD2R;

2.funkcjei maj¡ci¡gªepochodnecz¡stkowenapewnymzbiorzeotwartym

zawieraj¡cymobszar
;

5.2Zamianazmiennychwcaªkachpodwójnych26

3.funkcjafb¦dzieci¡gªanaobszarzeD;

4.jakobianJprzeksztaªceniaTb¦dzieró»nyodzerawewn¡trzobszaruD:

Wówczas

ZZZZ

f(x;y)dxdy=f((u;v); (u;v))jJ(u;v)jdudv:

D

Denicja5.6(Wspóªrz¦dnebiegunowe).Poªo»eniepunktunapªaszczy¹nie

mo»naopisa¢par¡liczb(';r);gdzie:

ˆ'-oznaczamiar¦k¡tami¦dzydodatni¡cz¦±ci¡osiOxapromieniemwodz¡cym

punktup;0'2(albo');

ˆr-oznaczaodlegªo±¢punktupodpocz¡tkuukªaduwspóªrz¦dnych,0r<1:

Par¦liczb(';r)nazywamywspóªrz¦dnymibiegunowymipunktupªaszczyzny.

Twierdzenie5.12(Oobj¦to±ciobszaruprzestrzennego).Je»eliobszarprzestrzenny

Vokre±lonyjestnast¦puj¡co:

3

V=f(x;y;z)2R:f1(x;y)zf2(x;y)^(x;y)2Dg

orazfunkcjef1if2s¡ci¡gªenadomkni¦tym,regularnymobszarzeD;toobj¦to±¢

jVjobszaruVjestrówna

ZZ

(f2(x;y)f1(x;y))dxdy:

D

3

Denicja5.7(Pªatpowierzchniowy).ZbiórpunktówS=f(x;y;z)2R:z=

2

f(x;y)^(x;y)2Dg;gdziefjestfunkcj¡ci¡gª¡nadomkni¦tymobszarzeDR;

nazywamypªatempowierzchniowym.

Je»eliponadtoobszarDjestregularny,za±funkcjafposiadaci¡gªepochodne

cz¡stkowepierwszegorz¦dunaD;topªatpowierzchniowySnazywamyregu-

larnym.

5.3Caªkipotrójna27

Twierdzenie5.13(Polepªatapowierzchniowego).Je»eliSjestpªatempowierzch-

niowymregularnymokre±lonymzapomoc¡funkcjiF:D!R(tzn.fmaci¡gªe

2

pochodnecz¡stkowepierwszegorz¦dunaobszarzedomkni¦tym,regularnymDR);

topolejSjpªatapowierzchniowegoSwyra»asi¦wzorem

ZZq

22

00

jSj=1+(f(x;y))+f(x;y)dxdy:xy

D

5.3Caªkipotrójna

Denicja5.8(Obszarnormalnywzgl¦dempªaszczyznukªaduwspóªrz¦d-

3

nych).Obszardomkni¦tyVRnazywamyobszaremnormalnymwzgl¦dem

pªaszczyznyOxy;je±limo»nagozapisa¢wpostaci

3

V=f(x;y;z)2R:(x;y)2Dxy^h(x;y)zg(x;y)g;

gdzieDxyjestobszaremregularnymnapªaszczy¹nieOxy;funkcjehigs¡ci¡gªena

Dxy;przyczym

h(x;y)<g(x;y)dla(x;y)2Int(Dxy):

Mo»nazauwa»y¢,»eje±liVjestobszaremnormalnymwzgl¦dempªaszczyznyOxy;

toobszarpªaskiDxyjestrzutemobszaruVnat¦pªaszczyzn¦.

Analogiczniedeniujesi¦obszaryprzestrzennenormalnewzgl¦dempªaszczyznyOxz

orazobszarynormalnewzgl¦dempªaszczyznyOyz:

Denicja5.9(Obszarregularnywprzestrzeni).Sum¦sko«czonejliczbyob-

szarównormalnychwzgl¦dempªaszczyznukªaduwspóªrz¦dnychoparamirozª¡cznych

wn¦trzachnazywamyobszaremregularnymwprzestrzeni.

Denicja5.10(Caªkapotrójna).Niechfb¦dziefunkcj¡okre±lon¡nadomkni¦-

3

tymregularnymobszarzeVRiniechPnoznaczapodziaªobszaruVwdowolny

sposóbnandomkni¦tychobszarówcz¦±ciowychViodpowiedniooobj¦to±ciachjVij;

i=1;2;:::;nwtensposób,aby:

1.»adnedwaobszaryVi;Vjdlai=6jniemiaªywspólnychpunktówwewn¦trznych,

5.4Wªasno±cicaªkipotrójnej28

2.V=V1[V2[:::[Vn:

Liczb¦

n=maxf(Vi):i2f1;2;:::;ngg;gdzie(Vi)jest±rednic¡zbioruVi;

nazywamy±rednic¡podziaªuPn:Wka»dymobszarzeViwybieramypunktpo±redni

(xi;yi;zi)(i=1;:::;n)itworzymysum¦caªkow¡

n

X

Sn=f(xi;yi;zi)
jVij:

i=1

Je»elidlaka»degoci¡gufPngn2NpodziaªówobszaruVnaobszarycz¦±ciowespeªni-

aj¡cegowaruneklimn=0idlaka»degowyborupunktówpo±rednichwobszarach

n!1

cz¦±ciowychistniejetasamasko«czonagranicaci¡gufSngn2Nsumcz¦±ciowych

funkcjif;togranic¦t¦nazywamycaªk¡podwójn¡funkcjifnaobszarzeV

ioznaczamy

ZZZ

f(x;y;z)dxdydz:

V

Funkcj¦f;dlaktórejistniejecaªkapodwójnanaobszarzeVnazywamyfunkcj¡

caªkowaln¡naobszarzeV:

5.4Wªasno±cicaªkipotrójnej

Twierdzenie5.14(Warunekkoniecznycaªkowalno±ci).Je»elifunkcjafjest

3

caªkowalnanadomkni¦tym,regularnymobszarzeVR;tojestfunkcj¡ograniczon¡

natymobszarze.

Twierdzenie5.15(Warunekwystarczaj¡cycaªkowalno±ci).Je»elifunkcjaf

3

jestci¡gªanadomkni¦tymiregularnymobszarzeVR;tojestfunkcj¡caªkowaln¡

naobszarzeV:

Twierdzenie5.16.Je»elifunkcjefigs¡caªkowalnenadomkni¦tym,regularnym

3

obszarzeVR;to

5.4Wªasno±cicaªkipotrójnej29

1.dladowolnejliczbyk2Rfunkcjak
fjestcaªkowalnanaVoraz

ZZZZZZ

k
f(x;y;z)dxdyz=kf(x;y;z)dxdydz:

VV

2.funkcjaf+gjestte»funkcj¡caªkowaln¡naVoraz

ZZZZZZ

(f(x;y;z)+g(x;y;z))dxdydz=f(x;y;z)dxdydz

VV

ZZZ

+g(x;y;z)dxdydz:

V

Twierdzenie5.17(Addytywno±¢caªkiwzgl¦demobszarucaªkowania).Za-

3

ªó»my,»edomkni¦tyregularnyobszarVRjestsum¡domkni¦tychregularnych

obszarówV1iV2niemaj¡cychwspólnychpunktówwewn¦trznych.

WówczasfunkcjafjestcaªkowalnanaobszarzeVwtedyitylkowtedy,gdyjest

caªkowalnanaka»dymzobszarówV1iV2;przyczym

ZZZZZZZZZ

f(x;y;z)dxdydz=f(x;y;z)dxdydz+f(x;y;z)dxdydz:

VV1V2

Twierdzenie5.18(Monotoniczno±¢caªkipotrójnej).Je»elifunkcjefigs¡

3

caªkowalnenadomkni¦tymregularnymobszarzeVRorazf(x;y;z)g(x;y;z)

dla(x;y;z)2V;to

ZZZZZZ

f(x;y;z)dxdydzg(x;y;z)dxdydz:

VV

Twierdzenie5.19.Je»elifjestfunkcj¡caªkowaln¡nadomkni¦tymiregularnym

3

obszarzeVRorazmf(x;y;z)Mdlaka»dego(x;y;z)2V;to

ZZZ

m
jVjf(x;y;z)dxdydzM
jVj:

V

5.4Wªasno±cicaªkipotrójnej30

Denicja5.11(Warto±¢±redniafunkcjinaobszarzeprzestrzennymV).

3

Warto±ci¡±redni¡funkcjifnadomkni¦tym,regularnymobszarzeVRnazy-

wamyliczb¦

ZZZ

1

f=f(x;y;z)dxdydz;

±r

jVj

V

gdziejVjoznaczaobj¦to±¢obszaruV:

Twierdzenie5.20(Owarto±ci±redniejdlacaªekpotrójnych).Niechfunkcja

3

fb¦dzieci¡gªanadomkni¦tym,regularnymobszarzeVR:Wówczasistnieje

punkt(x0;y0;z0)2V;dlaktóregozachodzirówno±¢

f=f(x0;y

±r0;z0):

Twierdzenie5.21(Ocaªkachiterowanych).Je»elifunkcjafjestci¡gªana

domkni¦tymobszarze

3

V=f(x;y;z)2R:(x;y)2Dxy^h(x;y)zg(x;y)g;

normalnymwzgl¦dempªaszczyznyOxy;gdziefunkcjehigs¡ci¡gªenaobszarze

2

regularnymDxyR;to

01

g(x;y)

ZZZZZZ

BC

f(x;y;z)dxdydz=@f(x;y;z)dzAdxdy:

VDxyh(x;y)

Uwagi:

1.Prawdziwes¡tak»eanalogicznewzoryzcaªkamiiterowanymidlafunkcjifnaobszarach

normalnychwzgl¦dempozostaªychpªaszczyznukªaduwspóªrz¦dnych.

3

2.Je»eliobszarVRnormalnywzgl¦dempªaszczyznyOxymo»nazapisa¢wpostaci

3

V=f(x;y;z)2R:axb^g1(x)yg2(x)^h1(x;y)zh2(x;y)g;

tozachodzirówno±¢

2013

bg2(x)h2(x;y)

ZZZZZZ

6BC7

f(x;y;z)dxdydz=4@f(x;y;z)dzAdy5dx:

Vag1(x)h1(x;y)

5.5Zamianazmiennychwcaªkachpotrójnych31

3.Wszczególnymprzypadku,gdyfunkcjafjestci¡gªanadomkni¦tymprostopadªo±cianie

3

V=f(x;y;z)2R:axb^cyd^pzqg;

tozachodzirówno±¢

2013

ZZZZbq

ZdZ

f(x;y;z)dxdydz=4@f(x;y;z)dzAdy5dx:

Vacp

Ponadtoostatniarówno±¢pozostajeprawdziwa,gdypoprawejstroniezmienimykolejno±¢

caªkowania(tzn.napiszemyinnyrodzajcaªkiiterowanej):

5.5Zamianazmiennychwcaªkachpotrójnych

Twierdzenie5.22(Ozamianiezmiennychwcaªkachpotrójnych).Niech

3

odwzorowanieT=(x;y;z):U!V;U;VR;okre±lonenast¦puj¡co:

x=x(u;v;w)

y=y(u;v;w)

z=z(u;v;w)

odwzorowujewzajemniejednoznaczniewn¦trzeobszarudomkni¦tego,regularnegoV;

przyczymfunkcjex;y;zmaj¡ci¡gªepochodnecz¡stkowepierwszegorz¦duwU:

Je»elifunkcjafjestci¡gªawobszarzeVorazjakobianprzeksztaªceniaT



@

x@x@x



@u@v@w

D(x;y;z

)

@y@y@y

JT===60wewn¡trzobszaruU;

@u@v@w

D(u;v;w)



@

z@z@z



@u@v@w

to

ZZZ

f(x;y;z)dxdydz=

V

ZZZ

f(x(u;v;w);y(u;v;w);z(u;v;w))jJTjdudvdw:

U

Denicja5.12(Wspóªrz¦dnewalcowe).Poªo»eniepunktup=(x;y;z)wprzestrzeni

3

Rmo»naopisa¢trójk¡liczb(';r;h);gdzie:

5.5Zamianazmiennychwcaªkachpotrójnych32

ˆ'-oznaczamiar¦k¡tami¦dzyrzutempromieniawodz¡cegopunktupna

pªaszczyzn¦Oxyadodatni¡cz¦±ci¡osiOx;0'<2(albo<');

ˆr-oznaczaodlegªo±¢rzutupunktupnapªaszczyzn¦Oxyodpocz¡tkuukªadu

wspóªrz¦dnych,0r<1;

ˆh-oznaczaodlegªo±¢punktupodpªaszczyznyOxypoprzedzon¡znakiem+

dlaz>0ipoprzedzon¡znakiemdlaz<0;1<h<+1:

Trójk¦liczb(';r;h)nazywamywspóªrz¦dnymiwalcowymipunktuprzestrzeni

3

R:

Uwaga:Zale»no±¢mi¦dzywspóªczynnikamiwalcowymiikartezja«skimipodajeprzeksztaªce-

nieWokre±lonewzorami

x=rcos'

y=rsin'

z=h:

Powy»szeprzeksztaªcenieW;którepunktowi(';r;h)przyporz¡dkowujepunkt(x;y;z)nazywamy

przeksztaªceniemwalcowym.JakobiantegoprzeksztaªceniaJW=r:

Denicja5.13(Wspóªrz¦dnesferyczne).Poªo»eniepunktup=(x;y;z)w

3

przestrzeniRmo»naopisa¢trójk¡liczb(';;r);gdzie:

ˆ'-oznaczamiar¦k¡tami¦dzyrzutempromieniawodz¡cegopunktupna

pªaszczyzn¦Oxyadodatni¡cz¦±ci¡osiOx;0'<2(albo<');

ˆ-oznaczamiar¦k¡tami¦dzypromieniemwodz¡cympunktupapªaszczyzn¡



Oxy;;

22

ˆr-oznaczaodlegªo±¢punktupodpocz¡tkuukªaduwspóªrz¦dnych0r<1:

Trójk¦liczb(';;r)nazywamywspóªrz¦dnymisferycznymipunktuprzestrzeni

3

R:

Uwaga:Zale»no±¢mi¦dzywspóªczynnikamisferycznymiikartezja«skimipodajeprzeksztaªce-

nieSprzyporz¡dkowuj¡cepunktowi(';phi;r)punkt(x;y;z)wedªugwzoru

x=rcos'cos

y=rsin'cos

z=rsin:

Powy»szeprzeksztaªcenieSnazywamyprzeksztaªceniemsferycznym.Jakobiantegoprzeksz-

taªceniaJS=rcos:

2