Pęd i popęd

Na ciało o masie m posiadające prędkość początkową v₁ działa siła F, której zwrot jest zgodny ze zwrotem wektora prędkości ciała. Pod działaniem tej siły prędkość ciała wzrasta do wartości v₂ (ruch jednostajnie przyspieszony). 

Z II zasady dynamiki... 

...a z definicji przyspieszenia dla ruchu jednostajnie przyspieszonego... 

...stąd: 

Popęd siły: 

Pęd siły: 

Zatem: 

Powyższe trzy wzory przedstawiają nam uogólnioną postać II zasady dynamiki, którą możemy sformułować w następujący sposób:

Popęd siły równy jest przyrostowi pędu masy ciała.

Zasada zachowania pędu

Najpierw musimy się dowiedzieć, co to jest układ odosobniony (zamknięty). Aby dokładnie opisać ruch określonego ciała, należy uwzględnić wszystkie siły działające na to ciało. Jednakże takie zadanie jest w praktyce niewykonalne ze względu na olbrzymią ilość tych sił. Na szczęście zwykle jednak tylko skończona niewielka liczba ciał oddziałuje znacząco na rozpatrywane ciało, tworząc układ. Wszystkie inne oddziaływania w praktyce można pominąć, jako że są one bardzo małe, znajdują się one więc poza naszym układem. 
Siły, którymi działają na siebie części składowe układu, nazywamy siłami wewnętrznymi. Siły oddziaływania z ciałami spoza układu nazywamy siłami zewnętrznymi. Układ nazywa się odosobnionym, jeżeli można zaniedbać siły zewnętrzne.

W przypadku układów odosobnionych obowiązuje prawo zachowania pędu, które można sformułować w następujący sposób:

Całkowity pęd układu odosobnionego jest stały i nie ulega zmianie podczas dowolnych procesów zachodzących w układzie.

Oczywiście pędy poszczególnych ciał, wchodzących w skład danego układu mogą się zmieniać, ale całkowity pęd układu, to znaczy wektorowa suma wszystkich pędów składowych, nie ulega zmianie.

Udowodnijmy więc nasze prawo. Powyżej wyprowadziliśmy wzór (uogólniona postać II zasady dynamiki): 

Z definicji układu odosobnionego (zamkniętego)... 

...zatem: 

Środek masy

Pojęcie środka masy jest bardzo użyteczne, gdyż jak się przekonamy, pozwala na znakomite uproszczenie opisu ruchu układu składającego się z wielu ciał. Zamiast rozpatrywać poszczególne ruchy dużej ilości ciał, wystarczy w wielu przypadkach rozważyć jedynie ruch jednego punktu będącego środkiem mas układu tych ciał. 

Rozważmy dwa ciała o masach m₁ i m₂ położone na osi X w punktach x₁ i x₂ odległe od siebie o l = x₂ - x₁ (patrz rysunek). Punkt S, który dzieli odcinek l w stosunku odwrotnie proporcjonalnym do mas tych ciał nazywamy środkiem masy układu dwóch ciał (punktów materialnych). Zatem: 

Jeżeli przez x_S oznaczymy współrzędną środka masy, to: 

Podstawmy to do naszego powyższego wzoru: 

Po nieskomplikowanych przekształceniach otrzymamy wzór na środek masy: 

Wzór ten można uogólnić na n punktów materialnych: 

W celu określenia środka masy w przestrzeni należy podać wszystkie trzy współrzędne. Współrzędne y_S i z_S wyrażają się analogicznymi wzorami do x_S.

Środek masy może być w spoczynku lub poruszać się podczas ruchu poszczególnych ciał układu. Zapytajmy, jaka jest prędkość środka masy v_S, gdy znane są prędkości i masy ciał układu. Pisząc dwa powyższe równania dla dwóch różnych chwil czasu i odejmując je od siebie stronami, otrzymamy: 

Dzieląc obie strony równania przez Δt = t₂ - t₁ i uwzględniając, że prędkość środka masy wynosi 

oraz że prędkości poszczególnych ciał wynoszą 

otrzymamy: 

Widzimy, że w liczniku tego wzoru występuje sumaryczny pęd całego układu, a w mianowniku sumaryczna masa całego układu, więc powyższy wzór można zapisać (w postaci wektorowej): 

W przypadku, gdy układ jest odosobniony, jego całkowity pęd jest stały i wtedy prędkość środka masy jest również stała co do wartości i co do kierunku, czyli środek masy porusza się ruchem bezwładnym, niezależnie od tego, jak poruszają się części składowe układu. Na układ odosobniony nie działają siły zewnętrzne. Widzimy zatem, że siły wewnętrzne nie wpływają na ruch środka masy.
Jak zachowuje się środek masy, gdy na układ działają siły zewnętrzne? Środek masy uzyskuje wtedy przyspieszenie a_S, które można obliczyć z drugiej zasady dynamiki Newtona: 

gdzie F oznacza sumę wektorową zewnętrznych sił działających na wszystkie ciała układu. Zatem środek masy układu zachowuje się tak, jak gdyby cała masa układu znajdowała się w punkcie środka masy i jak gdyby wszystkie siły działające na ciała układu były przyłożone do tego punktu.

Na koniec przykład:
Granat spada pionowo w dół. Na pewnej wysokości nad ziemią granat wybucha, odłamki upadają w różne miejsca, ale środek masy wszystkich odłamków spada w dalszym ciągu, tak jakby nic się nie wydarzyło. To znaczy tak, jak gdyby granat spadał nie rozrywając się na części. Dzieje się tak dlatego, gdyż granat rozpada się tylko pod wpływem sił wewnętrznych, które w czasie wybuchu działają na odłamki granatu, a siły wewnętrzne nie wpływają na ruch środka masy układu.

---